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提分微课(一)一次函数的简单综合问题一次函数在中考中是一个必考的知识点,除了考查待定系数法求表达式、直线与坐标轴的交点、两直线的位置关系与k值的关系外,还常常与几何图形综合,涉及三角形中的相似问题,最值(轴对称中的最短路径)问题等.类型一两直线间的关系1.如图T1-1,在平面直角坐标系中,直线y=-2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线y=kx交于点C(4,n),则tan∠OCB的值为()A.𝟏𝟑B.𝟓𝟕C.𝟓𝟓D.𝟑𝟕图T1-1[答案]A[解析]如图所示,过点O作OG⊥AB于点G,过点C作CD⊥y轴于点D,y=-2x+4中,令x=0,得y=4,∴B(0,4),令y=0,得x=2,∴A(2,0),令x=4,得y=-4,∴n=-4,C(4,-4).∵tan∠OBA=𝑶𝑨𝑶𝑩=𝟏𝟐,∴𝑶𝑮𝑩𝑮=𝟏𝟐.设OG=x,则BG=2x,则有x2+(2x)2=42,解得x=𝟒𝟓𝟓x=-𝟒𝟓𝟓舍去,∴OG=𝟒𝟓𝟓,BG=𝟖𝟓𝟓,∵CD=4,DB=8,∴BC=𝟒𝟐+𝟖𝟐=4𝟓,∴CG=𝟏𝟐𝟓𝟓,∴tan∠OCB=𝑶𝑮𝑪𝑮=𝟏𝟑.2.如图T1-2,若直线y=-2x+1与直线y=kx+4交于点B(-1,m),且两条直线与y轴分别交于点C,A,那么△ABC的面积为.图T1-2[答案]𝟑𝟐[解析]∵直线y=kx+4与y轴交点A的坐标为(0,4),直线y=-2x+1与y轴交点C的坐标为(0,1),∴AC=4-1=3,∵点B(-1,m),∴|xB|=1,∴S△ABC=𝟏𝟐AC·|xB|=𝟏𝟐×3×1=𝟑𝟐.3.[2019·包头一模]如图T1-3,已知点A的坐标为(𝟑,0),直线y=kx+b(b0)与直线y=x平行,且与y轴交于点B,连接AB,若∠α=75°,则直线y=kx+b的解析式为.图T1-3[答案]y=x+1[解析]设直线y=kx+b交x轴于点C,如图所示,∵直线y=kx+b(b0)与直线y=x平行,∴k=1.∵直线y=x+b分别交x轴、y轴于点C、点B,∴B(0,b),C(-b,0),∴OB=OC=b.∵∠BOC=90°,∴△BOC是等腰直角三角形,∴∠BCO=45°,∵∠α=∠BCO+∠BAO=75°,∴∠BAO=30°,∵A(𝟑,0),∴OA=𝟑,∵在Rt△AOB中,∠AOB=90°,tan∠BAO=𝑶𝑩𝑶𝑨,∴OB=OA·tan∠BAO=𝟑×tan30°=1,∴b=1,∴直线y=kx+b的解析式为y=x+1.4.如图T1-4,在平面直角坐标系中,直线y=-𝟏𝟐x+6分别与x轴,y轴交于点B,C,且与直线y=𝟏𝟐x交于点A,点D是直线OA上的点,当△ACD为直角三角形时,点D的坐标为.图T1-4[答案][解析]直线y=-𝟏𝟐x+6,当x=0时,y=6,当y=0时,x=12,则B(12,0),C(0,6),解方程组:𝒚=-𝟏𝟐𝒙+6,𝒚=𝟏𝟐𝒙,得𝒙=𝟔,𝒚=𝟑,则A(6,3).∵△ACD为直角三角形,∴∠ADC=90°或∠ACD=90°.①当∠ADC=90°时,CD⊥OA,设直线CD的解析式为y=-2x+b,把C(0,6)的坐标代入得,b=6,∴直线CD的解析式为y=-2x+6,解𝒚=-𝟐𝒙+𝟔,𝒚=𝟏𝟐𝒙得𝒙=𝟏𝟐𝟓,𝒚=𝟔𝟓,∴D𝟏𝟐𝟓,𝟔𝟓;𝟏𝟐𝟓,𝟔𝟓或(-4,-2)②当∠ACD=90°时,DC⊥BC,设直线CD的解析式为y=2x+a,把C(0,6)的坐标代入得,a=6,∴直线CD的解析式为y=2x+6,由𝒚=𝟐𝒙+𝟔,𝒚=𝟏𝟐𝒙,得𝒙=-𝟒,𝒚=-𝟐,∴D(-4,-2).综上所述,D点坐标为𝟏𝟐𝟓,𝟔𝟓或(-4,-2).5.如图T1-5,直线l:y=𝟑𝟑x-3分别与x轴、y轴交于点A和点B.直线l绕点A顺时针旋转,使直线与y轴的正半轴相交,交点为C,点O为坐标原点,若∠OAC=2∠OAB,求直线AC的函数解析式.图T1-5解:令y=0得,0=𝟑𝟑x-3,解得x=3𝟑,令x=0得,y=-3,∴点B的坐标为(0,-3),点A的坐标为(3𝟑,0),∴OB=3,AO=3𝟑,∴tan∠OAB=𝑶𝑩𝑶𝑨=𝟑𝟑𝟑=𝟑𝟑,∴∠OAB=30°.∵∠OAC=2∠OAB,∴∠OAC=60°,∴∠CAB=∠CAO+∠OAB=90°,∴CA⊥AB,设直线AC的解析式为y=-𝟑x+b.∵点A(3𝟑,0)在直线AC上,∴0=-𝟑×3𝟑+b,解得b=9,∴直线AC的解析式为y=-𝟑x+9.类型二与直线有关的最值问题6.如图T1-6,在平面直角坐标系中,A(0,1),B(3,2),点C是x轴上任意一点,当CA+CB取最小值时,C点的坐标为()A.(0,0)B.(1,0)C.(-1,0)D.(3,0)图T1-6[答案]B[解析]作点A(0,1)关于x轴的对称点D,连接BD交x轴于C,则D(0,-1),此时CA+CB有最小值.设直线BD的解析式为y=kx+b,∵B(3,2),D(0,-1)在直线BD上,∴𝒃=-𝟏,𝟐=𝟑𝒌+𝒃,解得:𝒌=𝟏,𝒃=-𝟏,∴直线BD的解析式为y=x-1,当y=0时,x=1,∴C(1,0).7.如图T1-7,在平面直角坐标系中,点A为直线y=x上一点,过点A作AB⊥x轴于点B,若OB=4,点E是OB边上一点,且OE=3,点P为线段AO上的动点,则△BEP周长的最小值为()A.4+2𝟐B.4+𝟏𝟎C.6D.4𝟐图T1-7[答案]C[解析]在y轴的正半轴上截取OF=OE=3,连接EF,∵A为直线y=x上一点,∴OA垂直平分EF,∴点E,F关于直线y=x对称,连接BF交OA于P,根据两点之间线段最短可知此时△BEP周长最小,最小值为BF+EB.∵OF=3,OB=4,∴BF=𝑶𝑭𝟐+𝑶𝑩𝟐=5,∵EB=4-3=1,∴△BEP周长的最小值为BF+EB=5+1=6.8.如图T1-8,已知点A(1,1),B(2,-3),点P为x轴上一点,当|PA-PB|最大时,点P的坐标为()A.(-1,0)B.𝟏𝟐,0C.𝟓𝟒,0D.(1,0)图T1-8[答案]B[解析]作点A关于x轴的对称点C,连接BC并延长交x轴于点P,∵A(1,1),∴点C的坐标为(1,-1).设直线BC的解析式为y=kx+b,∴𝒌+𝒃=-𝟏,𝟐𝒌+𝒃=-𝟑,解得𝒌=-𝟐,𝒃=𝟏,∴直线BC的解析式为y=-2x+1,当y=0时,0=-2x+1,得x=𝟏𝟐,∴点P的坐标为𝟏𝟐,0,当B,C,P不共线时,根据三角形三边的关系可得:|PA-PB|=|PC-PB|BC,∴B,C,P三点共线时,|PA-PB|=|PC-PB|=BC取得最大值.故选B.9.如图T1-9,在平面直角坐标系中,△OAB是边长为4的等边三角形,OD是AB边上的高,点P是OD上的一个动点,若点C的坐标是(0,-𝟑),则PA+PC的最小值是.图T1-9[答案][解析]如图,过B作BE⊥y轴于E,连接BP,∵△OAB是边长为4的等边三角形,OD是AB边上的高,∴D是AB的中点,∴OD垂直平分AB,∴AP=BP,∴PA+PC=BP+PC,当C,P,B三点共线时,PA+PC的最小值等于BC的长,∵∠BOE=90°-60°=30°,OB=4,∴BE=2,OE=2𝟑,又∵点C的坐标是(0,-𝟑),∴OC=𝟑,∴CE=3𝟑,∴Rt△BCE中,BC=𝑩𝑬𝟐+𝑪𝑬𝟐=𝟐𝟐+(𝟑𝟑)𝟐=𝟑𝟏,即PA+PC的最小值是𝟑𝟏.31类型三一次函数与几何图形的结合问题10.[2019·龙岩期末]如图T1-10,直线AB与坐标轴分别交于点A,B,将△AOB沿直线AB翻折到△ACB的位置,当点C的坐标为(3,𝟑)时,直线AB的函数解析式是.图T1-10[答案][解析]连接OC,过点C作CD⊥x轴于点D,∵将△AOB沿直线AB翻折得△ACB,C(3,𝟑),∴AO=AC,OD=3,DC=𝟑,BO=BC,则tan∠COD=𝑪𝑫𝑶𝑫=𝟑𝟑,故∠COD=30°,∠BOC=60°,∴△BOC是等边三角形,∠CAD=60°,则sin60°=𝑪𝑫𝑨𝑪,即AC=𝑫𝑪𝐬𝐢𝐧𝟔𝟎°=𝟑𝟑𝟐=2,故A(2,0).∵OD=3,DC=𝟑,∴OC=𝑶𝑫𝟐+𝑫𝑪𝟐=2𝟑.故BO=2𝟑,∴点B的坐标为(0,2𝟑),设直线AB的解析式为y=kx+b,则𝟐𝒌+𝒃=𝟎,𝒃=𝟐𝟑,解得𝒌=-𝟑,𝒃=𝟐𝟑,∴直线AB的解析式为y=-𝟑x+2𝟑.y=-𝟑x+2𝟑11.如图T1-11,在平面直角坐标系中,直线y=-𝟑𝟐x+2𝟑与x轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,以AB为边在第一象限内作等边三角形ABC,连接OC,则直线OC的解析式为.图T1-11[答案][解析]当x=0时,y=-𝟑𝟐x+2𝟑=2𝟑,则B(0,2𝟑).当y=0时,-𝟑𝟐x+2𝟑=0,解得x=4,则A(4,0).AB=(𝟐𝟑)𝟐+𝟒𝟐=2𝟕,∵△ABC为等边三角形,∴BC=AC=2𝟕,设C(x,y),则(𝒙-𝟒)𝟐+𝒚𝟐=𝟐𝟖,𝒙𝟐+(𝒚-𝟐𝟑)𝟐=𝟐𝟖,解得𝒙=𝟓,𝒚=𝟑𝟑或𝒙=-𝟏,𝒚=-𝟑(舍去),∴C(5,3𝟑).设直线OC的解析式为y=kx,把C(5,3𝟑)的坐标代入,得5k=3𝟑,解得k=𝟑𝟑𝟓,∴直线OC的解析式为y=𝟑𝟑𝟓x.y=𝟑𝟑𝟓x图T1-1212.如图T1-12,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点C的坐标是(0,4),且∠AOC=60°,则直线AC的解析式是.[答案][解析]如图,过点A作AD⊥x轴于D.由菱形OCBA的一个顶点在原点O处,C点的坐标是(0,4),得OC=OA=4.又∵∠1=60°,∴∠2=30°,sin∠2=𝑨𝑫𝑶𝑨=𝟏𝟐,∴AD=2.cos∠2=cos30°=𝑶𝑫𝑶𝑨=𝟑𝟐,∴OD=2𝟑,∴A(2𝟑,2).设直线AC的解析式为y=kx+b,将A,C点坐标代入函数解析式,得𝟐𝟑𝒌+𝒃=𝟐,𝒃=𝟒,解得𝒌=-𝟑𝟑,𝒃=𝟒,∴直线AC的解析式为y=-𝟑𝟑x+4.y=-𝟑𝟑x+413.如图T1-13,一次函数y=-𝟐𝟑x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A,B,以线段AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,∠BAC=90°,则过B,C两点的直线的解析式为.图T1-13[答案][解析]一次函数y=-𝟐𝟑x+4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=6,∴点B的坐标是(0,4),点A的坐标是(6,0).如图,作CD⊥x轴于点D,∵∠BAC=90°,∴∠OAB+∠CAD=90°,又∵∠CAD+∠ACD=90°,∴∠ACD=∠BAO.在△ABO与△CAD中,∠𝑩𝑨𝑶=∠𝑨𝑪𝑫,∠𝑩𝑶𝑨=∠𝑨𝑫𝑪=𝟗𝟎°,𝑨𝑩=𝑪𝑨,∴△ABO≌△CAD(AAS),∴OB=AD=4,OA=CD=6,OD=OA+AD=10,点C的坐标是(10,6).设直线BC的解析式是y=kx+b,根据题意得:𝟏𝟎𝒌+𝒃=𝟔,𝒃=𝟒,解得𝒌=𝟏𝟓,𝒃=𝟒,∴直线BC的解析式是y=𝟏𝟓x+4.y=𝟏𝟓x+414.如图T1-14,以矩形ABCD的相邻边所在直线为x轴,y轴建立直角坐标系,AB=3,BC=5.点E是边CD上一点,将△ADE沿着AE翻折,点D恰好落在BC边上,记为F.(1)求折痕AE所在直线的函数解析式;(2)若把翻折后的图形沿y轴正半轴向上平移m个单位,连接OF,若△OAF是等腰三角形,求m的值.图T1-14解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD=CB=5,AB=DC=3,∠D=