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第15课时二次函数的应用考点一建立二次函数模型解决问题常见类型关键步骤抛物线形问题建立方便求解析式的平面直角坐标系,找到图象上三点的坐标,用待定系数法求二次函数的解析式销售利润问题理清各个量之间的关系,找出等量关系求得解析式,根据要求确定函数的最值或建立方程求解图形面积问题利用几何知识用变量x表示出图形的面积y,根据要求确定函数的最值或建立方程求解【温馨提示】(1)求函数的最值时,要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内,则最值在自变量取值的端点处取得.(2)建立平面直角坐标系的原则是易于求二次函数的解析式.考点二图象信息类问题1.表格类:观察点的特征,验证满足条件的二次函数的解析式及其图象,利用二次函数的性质求解.2.图文类:根据图文,借助图形上的关键点,提取信息,建立二次函数模型解题.考向一利用二次函数解决营销问题例1[2019·青岛]某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图15-1所示.(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式.(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?图15-1解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,将(30,100),(45,70)代入一次函数表达式得:𝟏𝟎𝟎=𝟑𝟎𝒌+𝒃,𝟕𝟎=𝟒𝟓𝒌+𝒃,解得:𝒌=-𝟐,𝒃=𝟏𝟔𝟎,故函数的表达式为y=-2x+160.例1[2019·青岛]某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图15-1所示.(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?图15-1(2)由题意得:w=(x-30)(-2x+160)=-2(x-55)2+1250,∵-20,故当x55时,w随x的增大而增大,而30≤x≤50,∴当x=50时,w有最大值,此时,w=1200,故销售单价定为50元时,才能使销售该商品每天的利润最大,最大利润是1200元.例1[2019·青岛]某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图15-1所示.(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件?图15-1(3)由题意得:(x-30)(-2x+160)≥800,解得:40≤x≤70,∴每天的销售量y=-2x+160≥20,∴每天的销售量最少应为20件.|考向精练|[2019·鄂州]“互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施.据市场调查反映:销售单价每降1元,每月可多销售5条.设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条.(1)直接写出y与x的函数关系式.(2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少?(3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4220元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的销售单价?解:(1)y=-5x+500.[解析]由题意可得:y=100+5(80-x),整理得y=-5x+500.[2019·鄂州]“互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施.据市场调查反映:销售单价每降1元,每月可多销售5条.设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条.(2)设该网店每月获得的利润为w元,当销售单价降低多少元时,每月获得的利润最大,最大利润是多少?(2)由题意,得:w=(x-40)(-5x+500)=-5x2+700x-20000=-5(x-70)2+4500,∵a=-50,∴w有最大值,当x=70时,w最大值=4500,∴应降价80-70=10(元).答:当销售单价降低10元时,每月获得的利润最大,最大利润为4500元.[2019·鄂州]“互联网+”时代,网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤,其成本为每条40元,当售价为每条80元时,每月可销售100条.为了吸引更多顾客,该网店采取降价措施.据市场调查反映:销售单价每降1元,每月可多销售5条.设每条裤子的售价为x元(x为正整数),每月的销售量为y条.(3)该网店店主热心公益事业,决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4220元,且让消费者得到最大的实惠,该如何确定休闲裤的销售单价?(3)由题意,得:-5(x-70)2+4500=4220+200,整理得x2-140x+4884=0,解得:x1=66,x2=74,∵抛物线w=-5(x-70)2+4500开口向下,对称轴为直线x=70,∴当66≤x≤74时,符合该网店要求,而为了让消费者得到最大实惠,故x=66,∴当销售单价定为66元时,既符合网店要求,又能让消费者得到最大实惠.考向二利用二次函数解决抛物线形问题例2[2019·临沂]从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图15-2所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40m;②小球抛出3秒后,速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度h=30m时,t=1.5s.其中正确的是()A.①④B.①②C.②③④D.②③图15-2[答案]D[解析]①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m,故①错误;②小球抛出3秒后,开始下落,速度越来越快,故②正确;③小球抛出3秒时达到最高点,即速度为0,故③正确;④设函数解析式为:h=a(t-3)2+40,把O(0,0)代入得0=a(0-3)2+40,解得a=-𝟒𝟎𝟗,∴函数解析式为h=-𝟒𝟎𝟗(t-3)2+40,把h=30代入解析式得,30=-𝟒𝟎𝟗(t-3)2+40,解得:t=4.5或t=1.5,∴小球的高度h=30m时,t=1.5s或4.5s,故④错误,故选D.|考向精练|[2019·山西]北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥,它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆,拉索与主梁相连.最高的钢拱如图15-3所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱的函数表达式为()A.y=𝟐𝟔𝟔𝟕𝟓x2B.y=-𝟐𝟔𝟔𝟕𝟓x2C.y=𝟏𝟑𝟏𝟑𝟓𝟎x2D.y=-𝟏𝟑𝟏𝟑𝟓𝟎x2图15-3[答案]B[解析]设二次函数的表达式为y=ax2,由题可知,点A的坐标为(-45,-78),代入表达式可得:-78=a×(-45)2,解得a=-𝟐𝟔𝟔7𝟓,∴二次函数的表达式为y=-𝟐𝟔𝟔𝟕𝟓x2,故选B.考向三二次函数在几何图形中的应用例3[2019·合肥二模]某社区决定把一块长50m,宽30m的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图15-4,阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,其宽度不小于14m,不大于26m,设绿化区较长边为xm,活动区的面积为ym2.为了确定出口宽度的取值范围,小明同学根据出口宽度不小于14m,算出x≤18.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;(2)求活动区的最大面积;(3)预计活动区造价为50元/m2,绿化区造价为40元/m2,若社区的此项建造投资费用不得超过72000元,求投资费用最少时活动区的出口宽度.图15-4解:(1)根据题意,得绿化区的宽为:[30-(50-2x)]÷2=x-10,∴y=50×30-4x(x-10)=-4x2+40x+1500,∵4个出口宽度相同,其宽度不小于14m,不大于26m,∴12≤x≤18,∴y=-4x2+40x+1500(12≤x≤18).例3[2019·合肥二模]某社区决定把一块长50m,宽30m的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图15-4,阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,其宽度不小于14m,不大于26m,设绿化区较长边为xm,活动区的面积为ym2.为了确定出口宽度的取值范围,小明同学根据出口宽度不小于14m,算出x≤18.(2)求活动区的最大面积;图15-4(2)y=-4x2+40x+1500=-4(x-5)2+1600,∵a=-40,∴抛物线的开口向下,∴当12≤x≤18时,y随x的增大而减小,∴当x=12时,y有最大值,y最大=1404.答:活动区的最大面积为1404m2.例3[2019·合肥二模]某社区决定把一块长50m,宽30m的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图15-4,阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,其宽度不小于14m,不大于26m,设绿化区较长边为xm,活动区的面积为ym2.为了确定出口宽度的取值范围,小明同学根据出口宽度不小于14m,算出x≤18.(3)预计活动区造价为50元/m2,绿化区造价为40元/m2,若社区的此项建造投资费用不得超过72000元,求投资费用最少时活动区的出口宽度.图15-4(3)设投资费用为w元,由题意得,w=50(-4x2+40x+1500)+40×4x(x-10)=-40(x-5)2+76000,∴当w=72000时,解得:x1=-5(不符合题意,舍去),x2=15,∵a=-400,∴当x≥15时,w≤72000,又∵12≤x≤18,∴15≤x≤18,∴当x=18时,投资费用最少,此时出口宽度为50-2x=50-2×18=14(m),答:投资费用最少时活动区的出口宽度为14m.【方法点析】求解此类问题,关键是运用几何知识求出解析式.二次函数与三角形、圆等几何知识结合时,往往涉及最大面积、最小距离等问题,解题过程中需要建立函数关系,运用函数的性质求解.|考向精练|1.如图15-5,在△ABC中,∠B=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动(不与点C重合).如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么经过s时,四边形APQC的面积最小.图15-532.[2019·凉山州]如图15-6,正方形ABCD中,AB=12,AE=𝟏𝟒AB,点P在BC上运动(不与B,C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为.图15-6[答案]4[解析]在正方形ABCD中,∵AB=12,AE=𝟏𝟒AB=3,∴BC=AB=12,BE=9,设BP=x,则CP=12-x.∵PQ⊥EP,∴∠EPQ=∠B=∠C=90°,∴∠BEP+∠BPE=∠CPQ+∠BPE=90°,∴∠BEP=∠CPQ,∴△PCQ∽△EBP,∴𝑪𝑸𝑩𝑷=𝑷𝑪𝑩𝑬,∴𝑪𝑸𝒙=𝟏𝟐-𝒙𝟗,整理得CQ=-𝟏𝟗(x-6)2+4,∴当x=6时,CQ取得最大值,最大值为4.