搜索
第14课时二次函数的图象与性质(二)考点一二次函数解析式的确定用待定系数法求二次函数的解析式时,注意解析式的设法,常见情况如下:条件设法顶点在原点y=ax2(a≠0)顶点在y轴上y=ax2+c(a≠0,y轴为对称轴)顶点在x轴上y=a(x-h)2(a≠0,直线x=h是对称轴)抛物线过原点y=ax2+bx(a≠0)顶点为(h,k)y=a(x-h)2+k(a≠0)抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)考点二二次函数的图象与系数的关系项目字母y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)字母的符号图象的特征aa0开口向①a0开口向②bb=0对称轴为③轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴④侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴⑤侧上下y左右(续表)项目字母y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)字母的符号图象的特征cc=0经过点⑥c0与y轴⑦相交c0与y轴⑧相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac0与x轴有⑨个不同的交点b2-4ac0与x轴没有交点(0,0)正半轴负半轴两项目字母y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)字母的符号图象的特征特殊关系当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=⑩若a+b+c0,则当x=1时,y0若a-b+c0,则当x=时,y0a-b+c-1(续表)考向一二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象信息题例1[2019·益阳]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-1所示,下列结论:①ac0,②b-2a0,③b2-4ac0,④a-b+c0,正确的是()A.①②B.①④C.②③D.②④图14-1[答案]A[解析]∵抛物线开口向下,且与y轴的正半轴相交,∴a0,c0,∴ac0,故①正确;由图象知-2-𝒃𝟐𝒂-1,∴4ab2a,∴b-2a0,故②正确;∵抛物线与x轴有两个交点,∴Δ=b2-4ac0,∴③错误;∵当x=-1时,y=a-b+c0,∴④错误.∴正确的说法是①②.故选A.【方法点析】求解此类问题的一般步骤:(1)判定a的符号:开口向上,则a0;开口向下,则a0;(2)判定b的符号:对称轴在y轴左侧,则a,b同号;对称轴在y轴右侧,则a,b异号;(3)判定c的符号:交点在y轴正半轴,则c0;交点在y轴负半轴,则c0;(4)根据a,b,c的符号判定ab,bc,ac,abc的符号;(5)根据抛物线与x轴的交点个数判定b2-4ac与0的大小关系;(6)特殊等式(或不等式)的判断:a+b+c(或4a+2b+c)为x=1(或x=2)时的y值,a-b+c(或4a-2b+c)为x=-1(或x=-2)时的y值,根据抛物线上相应点的位置判定其符号.|考向精练|1.[2019·娄底]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-2所示,下列结论中正确的有()①abc0;②b2-4ac0;③2ab;④(a+c)2b2.A.1个B.2个C.3个D.4个图14-2[答案]A[解析]①由抛物线的开口方向向下知a0,由对称轴在y轴的左侧得a,b同号,由抛物线与y轴交于正半轴得c0,所以abc0;故结论①错误;②由抛物线与x轴有两个交点得b2-4ac0,故结论②错误;③由图象知对称轴x=-𝒃𝟐𝒂-1得𝒃𝟐𝒂1;由a0,结合不等式的性质可得b2a,即2ab;故结论③错误;④由图象知:当x=1时,y0,即a+b+c0;当x=-1时,y0,即a-b+c0,∴(a+b+c)(a-b+c)0,即(a+c)2-b20,∴(a+c)2b2.故结论④正确.故选A.2.[2019·包头样题一]已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图14-3所示,下列结论:①abc0;②9a+3b+c0;③2c-3b0;④b2-4ac=8a.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)图14-3[答案]①②③④[解析]由图可知,a0,c0,由于-𝒃𝟐𝒂=1,所以a=-𝒃𝟐,b0.当x=3时,y=9a+3b+c0,故①②正确.因为y=-𝒃𝟐x2+bx+c,当x=-1时,y=-𝒃𝟐-b+c0,即2c-3b0,故③正确.由图可知𝟒𝒂𝒄-𝒃𝟐𝟒𝒂=-2,故4ac-b2=-8a,即b2-4ac=8a,故④正确,故填①②③④.考向二二次函数解析式的求法例2根据下列条件求解析式:(1)抛物线y=ax2+bx+2过B-1,𝟕𝟐,C(4,6)两点,试求抛物线的解析式;(2)已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5),求二次函数的解析式;(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,求这个二次函数的解析式(用两种方法).解:(1)由题意得𝒂-𝒃+𝟐=𝟕𝟐,𝟏𝟔𝒂+𝟒𝒃+𝟐=𝟔,解得𝒂=𝟏𝟐,𝒃=-𝟏,∴抛物线的解析式为y=𝟏𝟐x2-x+2.例2根据下列条件求解析式:(2)已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5),求二次函数的解析式;(2)由顶点A(-1,4),可设二次函数解析式为y=a(x+1)2+4(a≠0).∵二次函数的图象过点B(2,-5),∴点B(2,-5)的坐标满足二次函数解析式,∴-5=a(2+1)2+4,解得a=-1.∴二次函数的解析式是y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.例2根据下列条件求解析式:(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,求这个二次函数的解析式(用两种方法).(3)方法一:设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),把C(0,-3)代入得a×1×(-3)=-3,解得a=1,所以这个二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.方法二:设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,则𝒂-𝒃+𝒄=𝟎,𝟗𝒂+𝟑𝒃+𝒄=𝟎,𝒄=-𝟑,解得𝒂=𝟏,𝒃=-𝟐,𝒄=-𝟑,所以二次函数的解析式为y=x2-2x-3.(注:其他方法合理也可)【方法点析】用待定系数法求二次函数解析式的三种设法:(1)已知抛物线上三点,设为y=ax2+bx+c(a≠0);(2)已知抛物线顶点坐标(h,k),设为y=a(x-h)2+k;(3)已知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0),设为y=a(x-x1)(x-x2).|考向精练|1.若二次函数图象的顶点坐标为(2,-1),且抛物线过点(0,3),则二次函数的解析式是()A.y=-(x-2)2-1B.y=-𝟏𝟐(x-2)2-1C.y=(x-2)2-1D.y=𝟏𝟐(x-2)2-1C2.[2017·百色]经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线解析式是.[答案]y=-𝟑𝟖x2+𝟑𝟒x+3[解析]设抛物线解析式为y=a(x-4)(x+2),把C(0,3)代入上式得3=a(0-4)(0+2),解得a=-𝟑𝟖,故y=-𝟑𝟖(x-4)(x+2)=-𝟑𝟖x2+𝟑𝟒x+3.3.已知抛物线经过点A(-5,0),B(1,0),且顶点的纵坐标为𝟗𝟐,求抛物线的解析式.解:方法一:∵抛物线与x轴的两个交点为A(-5,0),B(1,0),由对称性可知,它的对称轴为直线x=-𝟓+𝟏𝟐=-2,∴抛物线的顶点为P-𝟐,𝟗𝟐.已知抛物线上的三点A(-5,0),B(1,0),P-𝟐,𝟗𝟐,设一般式.设y=ax2+bx+c,把点A,B,P的坐标分别代入,得𝟐𝟓𝒂-𝟓𝒃+𝒄=𝟎,𝒂+𝒃+𝒄=𝟎,𝟒𝒂-𝟐𝒃+𝒄=𝟗𝟐,解得𝒂=-𝟏𝟐,𝒃=-𝟐,𝒄=𝟓𝟐,∴所求抛物线的解析式为y=-𝟏𝟐x2-2x+𝟓𝟐.方法二:由方法一知抛物线的顶点为P-𝟐,𝟗𝟐,可设顶点式.设y=a(x+2)2+𝟗𝟐,把x=1,y=0代入,得0=a(1+2)2+𝟗𝟐,解得a=-𝟏𝟐,∴y=-𝟏𝟐(x+2)2+𝟗𝟐,即y=-𝟏𝟐x2-2x+𝟓𝟐.方法三:由方法一知抛物线过点P-𝟐,𝟗𝟐.∵A(-5,0),B(1,0)是抛物线与x轴的交点,设交点式.设y=a(x+5)(x-1),把x=-2,y=𝟗𝟐代入,得(-2+5)(-2-1)a=𝟗𝟐,解得a=-𝟏𝟐,∴y=-𝟏𝟐(x+5)(x-1),即y=-𝟏𝟐x2-2x+𝟓𝟐.4.已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-4,4)和点B(m,0),且m≠0.(1)若该抛物线的对称轴经过点A,如图14-4,请根据图象说明此时y的最小值及m的值;(2)若m=4,求抛物线的解析式.解:(1)∵该抛物线的对称轴经过点A,∴点A(-4,-4)为抛物线的顶点,对称轴为直线x=-4,∴此时y的最小值为-4.∵点B和原点为抛物线的一对对称点,∴B(-8,0),∴m=-8.图14-44.已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-4,4)和点B(m,0),且m≠0.(2)若m=4,求抛物线的解析式.图14-4(2)当m=4时,B(4,0),设抛物线解析式为y=ax(x-4),把A(-4,-4)代入得-4=a×(-4)×(-4-4),解得a=-𝟏𝟖,∴抛物线解析式为y=-𝟏𝟖x(x-4),即y=-𝟏𝟖x2+𝟏𝟐x.考向三二次函数与几何图形的综合运用例3如图14-5,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴,设P是直线l上的一个动点.(1)一元二次方程ax2+bx+c=0的解为.(2)求抛物线的解析式.(3)求抛物线的顶点D的坐标.(4)P在何处时,PA+PC的值最小?(5)当△PAC的周长最小时,求点P的坐标.(6)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.图14-5x1=-1,x2=3例3如图14-5,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴,设P是直线l上的一个动点.(2)求抛物线的解析式.图14-5(2)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),又∵抛物线过点C(0,3),∴3=-3a,解得a=-1,∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3.例3如图14-5,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴,设P是直线l上的一个动点.(3)求抛物线的顶点D的坐标.图14-5(3)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴D(1,4).例3如图14-5,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴,设P是直线l上的一个动点.(4)P在何处时,PA+PC的值最小?图14-5(4)如图,连接BC,交直线l于点P,∵点A,B关于抛物线的对称轴对称,∴PA=PB,此时B,C,P三点共线,∴当点P在BC所在直线与直线l的交点处时,PA+PC的值最小.例3如图14-5,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴,设P是直线l上的一个动点.(5)当△PAC的周长最小时,求点P的坐标.图14-5(5)当点P为使△PAC的周长最小的点时,点P在BC所在直线上.设直线BC的解析式为y=kx+t,将B(3,0),C(0,3)代入得𝟑𝒌+𝒕=𝟎,𝒕=𝟑,解得𝒌=-𝟏,𝒕=𝟑,∴直线BC的解析式为y=-x+3.∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴当x=1时,y=2,即点P的坐标为(1,2).例3如图14-5