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第12课时反比例函数及其应用考点一反比例函数的概念一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=𝒌𝒙(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.【温馨提示】(1)反比例函数中,自变量的取值范围是①;(2)解析式的变式:y=kx-1或xy=k(k≠0).x≠0考点二反比例函数的图象与性质一般形式y=𝒌𝒙(k为常数,k≠0),其图象上点的横、纵坐标之积为定值kk的符号k②0k③0图象所在象限第一、三象限第二、四象限（续表）增减性同一支上,y随x的增大而④;在两支上,第一象限y值大于第三象限y值同一支上,y随x的增大而⑤;在两支上,第二象限y值大于第四象限y值对称性关于直线y=x,y=-x成轴对称关于⑥成中心对称小结(1)反比例函数的图象是双曲线,反比例函数的增减性由系数k决定;(2)反比例函数图象的两支在两个象限内,根据自变量的值比较相应函数值的大小时,应注意象限问题减小增大原点考点三反比例函数中比例系数k的几何意义1.几何意义:过反比例函数y=𝒌𝒙(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线,两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为|k|.2.推导:如图12-1,过双曲线y=𝒌𝒙上任一点P(x,y)分别作x轴,y轴的垂线段PM,PN,所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.∵y=𝒌𝒙,∴xy=k,∴S=|k|.图12-13.常见的与反比例函数有关的图形面积S矩形OAPB=|k|S△AOP=⑦S△ABC=⑧𝑆△𝐴𝑃𝑃1=⑨|𝒌|𝟐|k|2|k|考点四反比例函数解析式的确定待定系数法(1)设出反比例函数的解析式y=𝐤𝐱(k≠0);(2)找出图象上一点的坐标P(x0,y0);(3)将P(x0,y0)的坐标代入y=𝐤𝐱(k≠0),求出k的值;(4)写出解析式几何法题中涉及面积时,考虑用k的几何意义求解考点五反比例函数的实际应用利用反比例函数解决实际问题,关键是建立函数模型.建立函数模型的思路主要有两种:(1)已知函数类型,直接设出函数的解析式,根据题目提供的信息求得k的值;(2)题目本身未明确表明变量间的函数关系,此时需通过分析,先确定变量间的关系,再求解析式.考向一反比例函数的定义、图象与性质例1(1)双曲线y=(m2-8m+4)𝒙𝒎𝟐-𝟔𝒎-𝟏位于第二、四象限,则m=.(2)[2019·天津]若点A(-3,y1),B(-2,y2),C(1,y3)都在反比例函数y=-𝟏𝟐𝒙的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y2y1y3B.y3y1y2C.y1y2y3D.y3y2y16B【方法点析】比较反比例函数值大小的方法:在同一个象限内,根据反比例函数的性质比较;在不同象限内,根据函数值的符号特征比较.|考向精练|1.[2019·海南]如果反比例函数y=𝒂-𝟐𝒙(a是常数)的图象在第一、三象限,那么a的取值范围是()A.a0B.a0C.a2D.a2D2.[2019·黔三州]若点A(-4,y1),B(-2,y2),C(2,y3)都在反比例函数y=-𝟏𝒙的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1y2y3B.y3y2y1C.y2y1y3D.y1y3y2C3.已知双曲线y=𝟏-𝟐𝒎𝒙上两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1x20时,y1y2,则m的取值范围为;当x10x2时,y1y2,则m的取值范围为.m𝟏𝟐m𝟏𝟐考向二反比例函数y=(k≠0)中k的几何意义𝒌𝒙例2[2019·株洲]如图12-2所示,在直角坐标系xOy中,点A,B,C为反比例函数y=𝒌𝒙(k0)图象上不同的三点,连接OA,OB,OC,过点A作AD⊥y轴于点D,过点B,C分别作BE⊥x轴,CF⊥x轴,垂足分别为点E,F,OC与BE相交于点M,记△AOD,△BOM,四边形CMEF的面积分别为S1,S2,S3,则()A.S1=S2+S3B.S2=S3C.S3S2S1D.S1S2S3图12-2[答案]B[解析]由题意知S1=𝒌𝟐,S△BOE=S△COF=𝒌𝟐,因为S2=S△BOE-S△OME,S3=S△COF-S△OME,所以S2=S3,所以选B.【方法点析】过反比例函数y=的图象上的某点向两坐标轴作垂线,两垂线与坐标轴围成的矩形的面积就等于|k|,故常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线,引出三角形或矩形的面积来解决问题.𝑘𝑥|考向精练|1.[2019·无锡]如图12-3,已知A为反比例函数y=𝒌𝒙(x0)的图象上一点,过点A作AB⊥y轴,垂足为B.若△OAB的面积为2,则k的值为()A.2B.-2C.4D.-4图12-3[答案]D[解析]∵AB⊥y轴,S△OAB=2,而S△OAB=𝟏𝟐|k|,∴𝟏𝟐|k|=2,∵k0,∴k=-4.故选D.2.如图12-4所示是反比例函数y=𝟑𝒙与y=-𝟕𝒙在x轴上方的图象,点C是y轴正半轴上一点,过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于A点和B点,若点P在x轴上运动,则△ABP的面积等于()A.5B.4C.10D.20图12-4[答案]A[解析]设点Aa,𝟑𝒂,∵AB∥x轴,∴点B的纵坐标为𝟑𝒂,又∵点B在反比例函数y=-𝟕𝒙的图象上,∴点B的坐标为-𝟕𝒂𝟑,𝟑𝒂,∴S△ABP=𝟏𝟐a+𝟕𝒂𝟑·𝟑𝒂=5.3.[2018·包头]以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点,以平行于两边的方向为坐标轴,建立如图12-5所示的平面直角坐标系,BE⊥AC,垂足为E.若双曲线y=𝟑𝟐𝒙(x0)经过点D,则OB·BE的值为.图12-5[答案]3[解析]由点D在双曲线y=𝟑𝟐𝒙(x0)上,得矩形的面积是4×𝟑𝟐=6,则△AOB的面积为𝟑𝟐.因为四边形ABCD为矩形,所以OA=OB,所以OB·BE=OA·BE=2S△AOB=3.4.[2019·包头样题二]如图12-6,A,B是双曲线y=𝒌𝒙(k0,x0)上的两点,过点A作AC⊥x轴,交OB于点D,垂足为C.若△ADO的面积为3,D为OB的中点,则k的值是.图12-6[答案]8[解析]过点B作BE⊥x轴于点E.∵D为OB的中点,∴CD是△OBE的中位线,即CD=𝟏𝟐BE.设Ax,𝒌𝒙,则B2x,𝒌𝟐𝒙,CD=𝒌𝟒𝒙,AD=𝒌𝒙−𝒌𝟒𝒙,∵△ADO的面积为3,∴𝟏𝟐AD·OC=3,即𝟏𝟐𝒌𝒙−𝒌𝟒𝒙·x=3,解得k=8.考向三求反比例函数的解析式例3[2019·山西]如图12-7,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上,点A的坐标为(-4,0),点D的坐标为(-1,4),反比例函数y=𝒌𝒙(x0)的图象恰好经过点C,则k的值为.图12-7[答案]16[解析]如图,分别过点D,C作x轴的垂线,垂足为E,F,则OE=1,DE=4,OA=4,∴AE=3,AD=5,∴AB=CB=5,∴B(1,0),易得△DAE≌△CBF,可得BF=AE=3,CF=DE=4,∴C(4,4),∴k=16.|考向精练|1.[2019·温州]验光师测得一组关于近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)的对应数据如下表.根据表中数据,可得y关于x的函数表达式为()A.y=𝟏𝟎𝟎𝒙B.y=𝒙𝟏𝟎𝟎C.y=𝟒𝟎𝟎𝒙D.y=𝒙𝟒𝟎𝟎近视眼镜的度数y(度)2002504005001000镜片焦距x(米)0.500.400.250.200.10[答案]A[解析]从表格中的近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)的对应数据可以知道,它们满足xy=100,因此,y关于x的函数表达式为y=𝟏𝟎𝟎𝒙.故选A.2.[2019·包头]如图12-8,在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(0,2),将△ABO沿直线AB翻折后得到△ABC,若反比例函数y=𝒌𝒙(x0)的图象经过点C,则k=.图12-8[答案]-3225[解析]连接OC交直线AB于点E,过点C作CD⊥x轴于点D.根据题意可知AO=AC=1,OC⊥AB,OE=CE.在Rt△AOB中,AB=𝑨𝑶𝟐+𝑶𝑩𝟐=𝟏𝟐+𝟐𝟐=𝟓.∵𝟏𝟐AO·OB=𝟏𝟐AB·OE,∴𝟏𝟐×1×2=𝟏𝟐×𝟓·OE,∴OE=𝟐𝟓𝟓.∴OC=𝟒𝟓𝟓.∵∠AOE+∠EOB=90°,∠EOB+∠ABO=90°,∴∠AOE=∠ABO.∵∠CDO=∠AOB=90°,∴△OCD∽△BAO,∴𝑫𝑪𝑨𝑶=𝑶𝑫𝑩𝑶=𝑶𝑪𝑩𝑨,∴𝑪𝑫𝟏=𝑶𝑫𝟐=𝟒𝟓𝟓𝟓=𝟒𝟓,∴CD=𝟒𝟓,OD=𝟖𝟓,即C-𝟖𝟓,𝟒𝟓.∵点C在函数y=𝒌𝒙(x0)的图象上,∴k=xy=-𝟖𝟓×𝟒𝟓=-𝟑𝟐𝟐𝟓.考向四反比例函数与一次函数的综合应用例4[2019·天水]如图12-9,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=𝟒𝒙的图象交于A(m,4),B(2,n)两点,与坐标轴分别交于M,N两点.(1)求一次函数的解析式;(2)根据图象直接写出kx+b-𝟒𝒙0中x的取值范围;(3)求△AOB的面积.图12-9解:(1)∵点A(m,4)在反比例函数y=𝟒𝒙的图象上,∴𝟒𝒎=4,解得m=1,∴点A的坐标为(1,4).又∵点B也在反比例函数y=𝟒𝒙的图象上,∴𝟒𝟐=n,解得n=2,∴点B的坐标为(2,2).∵点A,B在一次函数y=kx+b的图象上,∴𝒌+𝒃=𝟒,𝟐𝒌+𝒃=𝟐,解得𝒌=-𝟐,𝒃=𝟔,∴一次函数的解析式为y=-2x+6.例4[2019·天水]如图12-9,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=𝟒𝒙的图象交于A(m,4),B(2,n)两点,与坐标轴分别交于M,N两点.(2)根据图象直接写出kx+b-𝟒𝒙0中x的取值范围;图12-9(2)根据图象得:kx+b-𝟒𝒙0时,x的取值范围为x0或1x2.例4[2019·天水]如图12-9,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=𝟒𝒙的图象交于A(m,4),B(2,n)两点,与坐标轴分别交于M,N两点.(3)求△AOB的面积.图12-9(3)∵直线y=-2x+6与x轴的交点为N,∴点N的坐标为(3,0),S△AOB=S△AON-S△BON=𝟏𝟐×3×4-𝟏𝟐×3×2=3.【方法点析】(1)一次函数与反比例函数图象的交点问题,一般涉及求函数解析式,方法是根据题意,求图象上相应的点的坐标,用待定系数法列方程(组)求解.对于求反比例函数解析式,只要确定图象上一点的坐标即可.(2)根据图象比较两函数值的大小是一种常见问题,比较时要明确图象在上方的对应的函数值较大.(3)不能直接利用公式求三角形或四边形的面积时,常常采用分割法,把所求图形的面积分成几个三角形或四边形的面积的和或差.|考向精练|1.[2019·江西]已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,4),下列说法正确的是()A.反比例函数y2的解析式是y2=-𝟖𝒙B.两个函数图象的另一个交点坐标为(2,-4)C.当x-2或0x2时,y1y2D.正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大C2.[2019·宿迁]如图12-10,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=-𝟓𝒙的图象相交于点A(-1,m),B(n,-1)两点.(1)求一次函数表达式;(2)求△AOB的面积.解:(1)把A(-1,m),B(n,-1)代入y=-𝟓𝒙,得m=5,n=5,∴A(-1,5),B(5,-1),把A(-1,5),B(5,-1)代入y=kx+b,得-𝒌+𝒃=𝟓,𝟓𝒌+𝒃=-𝟏,解得𝒌=-𝟏,𝒃=𝟒.∴一次函数表达式为y=-x+4.图12-102.[2019·宿迁]如图12-10,