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第11课时一次函数的应用考点一次函数的应用1.建立函数模型解决实际问题的步骤:(1)审题,明确变量x和y;(2)根据等量关系,建立函数解析式;(3)确定x的取值范围;(4)在x的取值范围内解决实际问题.2.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤:(1)观察图象,获取有效信息;(2)信息加工、处理,理清各数量之间的关系;(3)选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等),通过建模解决问题.【温馨提示】注意根据实际情况确定变量的取值范围.考向一分段函数问题例1[2019·新疆生产建设兵团]某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克,销售了部分苹果后,余下的苹果每千克降价4元销售,全部售完.销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系如图11-1所示.请根据图象提供的信息完成下列问题:(1)降价前苹果的销售单价是元/千克;(2)求降价后销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式,并写出自变量的取值范围;(3)该水果店这次销售苹果盈利多少元?图11-1解:(1)16[解析]640÷40=16(元/千克),∴降价前苹果的销售单价是16元/千克.故填16.例1[2019·新疆生产建设兵团]某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克,销售了部分苹果后,余下的苹果每千克降价4元销售,全部售完.销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系如图11-1所示.请根据图象提供的信息完成下列问题:(2)求降价后销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的函数解析式,并写出自变量的取值范围;图11-1(2)16-4=12(元/千克),∴y=640+12(x-40),即:y=12x+160,令y=760,则12x+160=760,解得x=50,∴降价后y与x的函数解析式为y=12x+160(40x≤50).例1[2019·新疆生产建设兵团]某水果店以每千克8元的价格购进苹果若干千克,销售了部分苹果后,余下的苹果每千克降价4元销售,全部售完.销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系如图11-1所示.请根据图象提供的信息完成下列问题:(3)该水果店这次销售苹果盈利多少元?图11-1(3)760-50×8=360(元).∴该水果店这次销售苹果盈利360元.【方法点析】解决分段函数问题,一般从如下几方面入手:(1)寻找分段函数的分段点;(2)针对每一段函数关系,求解相应的函数解析式;(3)利用条件求未知问题.|考向精练|1.[2019·潍坊]如图11-2,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D.设运动的路程为x,△ADP的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是()图11-2图11-3[答案]D[解析]当点P在BC段运动时,0≤x≤3,此时△ADP的面积不变;点P在CD段运动时,3x5(当点P运动到点D时不构成三角形),y=𝟏𝟐×3×(3+2-x)=-𝟑𝟐x+𝟏𝟓𝟐,所以y=𝟑(𝟎≤𝒙≤𝟑),-𝟑𝟐𝒙+𝟏𝟓𝟐(𝟑𝒙𝟓),故选D.2.[2019·仙桃]某农贸公司销售一批玉米种子,若一次购买不超过5千克,则种子价格为20元/千克,若一次购买超过5千克,则超过5千克部分的种子价格打8折.设一次购买量为x千克,付款金额为y元.(1)求y关于x的函数解析式;(2)某农户一次购买玉米种子30千克,需付款多少元?解:(1)当0≤x≤5时,y=20x;当x5时,y=5×20+20×0.8(x-5)=16x+20.∴y=𝟐𝟎𝒙(𝟎≤𝒙≤𝟓),𝟏𝟔𝒙+𝟐𝟎(𝒙𝟓).(2)当x=30时,y=16x+20=500(元),故某农户一次购买玉米种子30千克,需付款500元.考向二利用一次函数解决方案最优问题例2[2019·山西]某游泳馆推出了两种收费方式.方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡200元,仅限本人一年使用,凭卡游泳,每次游泳再付费30元.方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次,选择方式一的总费用为y1(元),选择方式二的总费用为y2(元).(1)请分别写出y1,y2与x之间的函数表达式.(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时,选择方式一比方式二省钱?解:(1)y1=30x+200,y2=40x.例2[2019·山西]某游泳馆推出了两种收费方式.方式一:顾客先购买会员卡,每张会员卡200元,仅限本人一年使用,凭卡游泳,每次游泳再付费30元.方式二:顾客不购买会员卡,每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次,选择方式一的总费用为y1(元),选择方式二的总费用为y2(元).(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时,选择方式一比方式二省钱?(2)由y1y2,得30x+20040x,解得x20,所以当x20时,选择方式一比方式二省钱.|考向精练|[2019·常德]某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,设入园次数为x时所需费用为y元,选择这两种卡消费时,y与x的函数关系如图11-4所示,解答下列问题:(1)分别求出选择这两种卡消费时,y关于x的函数表达式;(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.图11-4解:(1)设y甲=kx,把(5,100)代入得100=5k,∴k=20,∴y甲=20x;设y乙=k1x+b,把(0,100)和(20,300)分别代入,得𝒃=𝟏𝟎𝟎,𝟐𝟎𝒌𝟏+𝒃=𝟑𝟎𝟎,解得𝒌𝟏=𝟏𝟎,𝒃=𝟏𝟎𝟎,∴y乙=10x+100.[2019·常德]某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,设入园次数为x时所需费用为y元,选择这两种卡消费时,y与x的函数关系如图11-4所示,解答下列问题:(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.图11-4(2)解方程组𝒚=𝟐𝟎𝒙,𝒚=𝟏𝟎𝒙+𝟏𝟎𝟎,得𝒙=𝟏𝟎,𝒚=𝟐𝟎𝟎,∴B(10,200),∴当0x10时,y甲y乙,即选择甲种消费卡合算;当x10时,y甲y乙,即选择乙种消费卡合算;当x=10时,y甲=y乙,即选择两种卡消费一样.考向三利用一次函数解决最值问题例3[2019·滨州]有甲、乙两种客车,2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人,1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人.(1)请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人?(2)某学校组织240名师生集体外出活动,拟租用甲、乙两种客车共6辆,一次将全部师生送到指定地点.若每辆甲种客车的租金为400元,每辆乙种客车的租金为280元,请给出最节省费用的租车方案,并求出最低费用.解:(1)设1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为a人,b人,根据题意得,𝟐𝒂+𝟑𝒃=𝟏𝟖𝟎,𝒂+𝟐𝒃=𝟏𝟎𝟓,解得𝒂=𝟒𝟓,𝒃=𝟑𝟎.答:1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人,30人.例3[2019·滨州]有甲、乙两种客车,2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人,1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人.(2)某学校组织240名师生集体外出活动,拟租用甲、乙两种客车共6辆,一次将全部师生送到指定地点.若每辆甲种客车的租金为400元,每辆乙种客车的租金为280元,请给出最节省费用的租车方案,并求出最低费用.(2)设租用甲种客车x辆,租车费用为y元,根据题意,得y=400x+280(6-x)=120x+1680.由45x+30(6-x)≥240,得x≥4.∵1200,∴y随x的增大而增大,∴当x为最小值4时,y值最小.答:租用甲种客车4辆,乙种客车2辆,费用最低,此时,最低费用为120×4+1680=2160(元).|考向精练|[2019·深圳]有A,B两个发电厂,每焚烧一吨垃圾,A发电厂比B发电厂多发40度电,A厂焚烧20吨垃圾比B厂焚烧30吨垃圾少发1800度电.(1)求焚烧1吨垃圾,A和B各发多少度电?(2)A,B两个发电厂共焚烧90吨垃圾,A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾的两倍,求A厂和B厂总发电量的最大值.解:(1)设焚烧1吨垃圾,A发电厂发电a度,B发电厂发电b度,则𝒂-𝒃=𝟒𝟎,𝟑𝟎𝒃-𝟐𝟎𝒂=𝟏𝟖𝟎𝟎,解得𝒂=𝟑𝟎𝟎,𝒃=𝟐𝟔𝟎.答:焚烧1吨垃圾,A发电厂发电300度,B发电厂发电260度.[2019·深圳]有A,B两个发电厂,每焚烧一吨垃圾,A发电厂比B发电厂多发40度电,A厂焚烧20吨垃圾比B厂焚烧30吨垃圾少发1800度电.(2)A,B两个发电厂共焚烧90吨垃圾,A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾的两倍,求A厂和B厂总发电量的最大值.(2)设A发电厂焚烧x吨垃圾,则B发电厂焚烧(90-x)吨垃圾,总发电量为y度,则y=300x+260(90-x)=40x+23400,∵x≤2(90-x),∴x≤60.∵y随x的增大而增大,∴当x=60时,y取最大值为25800.答:A,B两个发电厂总发电量最大是25800度.