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第6课时分式方程及其应用考点一分式方程的概念及解法1.分式方程:分母中含有①的方程.2.分式方程的解法(1)基本思想:把分式方程转化为整式方程.(2)一般步骤:图6-1未知数最简公分母3.增根:使分式方程的最简公分母为③的根.(1)产生增根的原因:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,将其转化为整式方程后没有此条件限制了.(2)分式方程的增根与无解的区别:分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为0的根.0考点二分式方程的实际应用1.一般步骤2.双检验(1)检验求出的解是否为原分式方程的解;(2)检验是否符合变量的实际意义.图6-2解:去分母,得2x-5+3(x-2)=3x-3,去括号,得2x-5+3x-6=3x-3,移项,合并同类项,得2x=8,系数化为1,得x=4,经检验,x=4是原分式方程的解.考向一分式方程的解法例1[2019·泰州]解方程:𝟐𝒙-𝟓𝒙-𝟐+3=𝟑𝒙-𝟑𝒙-𝟐.【方法点析】解分式方程常见的误区(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘整式项;(3)去分母时没有注意符号的变化.|考向精练|1.[2019·滨州]方程𝒙-𝟑𝒙-𝟐+1=𝟑𝟐-𝒙的解是.x=12.[2019·凉山州]方程𝟐𝒙-𝟏𝒙-𝟏+𝟐𝟏-𝒙𝟐=1的解是.[答案]x=-2[解析]原方程可化为𝟐𝒙-𝟏𝒙-𝟏−𝟐(𝒙+𝟏)(𝒙-𝟏)=1,去分母得(2x-1)(x+1)-2=(x+1)(x-1),解得x1=1,x2=-2,经检验x1=1是增根,x2=-2是原方程的解,∴原方程的解为x=-2.故答案为x=-2.3.解分式方程:𝒙-𝟐𝒙-𝟏+2=𝟐𝟏-𝒙.解:由𝒙-𝟐𝒙-𝟏+2=𝟐𝟏-𝒙得𝒙-𝟐𝒙-𝟏+2=-𝟐𝒙-𝟏,方程两边同乘(x-1),得x-2+2(x-1)=-2,解得x=𝟐𝟑,检验:当x=𝟐𝟑时,x-1≠0,所以x=𝟐𝟑是原分式方程的解,所以原分式方程的解为x=𝟐𝟑.考向二含参分式方程问题例2(1)[2019·巴中]若关于x的分式方程𝒙𝒙-𝟐+𝟐𝒎𝟐-𝒙=2m有增根,则m的值为.[答案]1[解析]解原分式方程,去分母得:x-2m=2m(x-2),若原分式方程有增根,则x=2,将其代入这个一元一次方程,得2-2m=2m(2-2),解得,m=1.例2(2)[2019·齐齐哈尔]关于x的分式方程𝟐𝒙-𝒂𝒙-𝟏−𝟏𝟏-𝒙=3的解为非负数,则a的取值范围为.[答案]a≤4且a≠3[解析]方程两边同时乘(x-1),得(2x-a)+1=3(x-1),∴x=4-a.∵解为非负数,∴x≥0且x≠1,∴a≤4且a≠3.|考向精练|1.[2019·龙东地区]已知关于x的分式方程𝟐𝒙-𝒎𝒙-𝟑=1的解是非正数,则m的取值范围是()A.m≤3B.m3C.m-3D.m≥-3[答案]A[解析]由𝟐𝒙-𝒎𝒙-𝟑=1得x=m-3,∵方程的解是非正数,∴m-3≤0,∴m≤3.当x-3=0,即x=3时,3=m-3,m=6,∵m=6不在m≤3范围内,∴m≤3.2.[2019·宿迁]关于x的分式方程𝟏𝒙-𝟐+𝒂-𝟐𝟐-𝒙=1的解为正数,则a的取值范围是.[答案]a5且a≠3[解析]去分母得:1-a+2=x-2,解得x=5-a,5-a0,解得a5,当x=5-a=2时,a=3不合题意,故a5且a≠3.3.若分式方程2+𝟏-𝒌𝒙𝒙-𝟐=𝟏𝟐-𝒙有增根,则k=.[答案]1[解析]2+𝟏-𝒌𝒙𝒙-𝟐=𝟏𝟐-𝒙,去分母,得2(x-2)+1-kx=-1,整理,得(2-k)x=2.当2-k≠0时,x=𝟐𝟐-𝒌.当2-k=0时,此方程无解,不符合要求.∵分式方程2+𝟏-𝒌𝒙𝒙-𝟐=𝟏𝟐-𝒙有增根,∴x-2=0,解得x=2,即𝟐𝟐-𝒌=2,解得k=1.考向三分式方程的应用例3[2019·黄冈]为了对学生进行革命传统教育,红旗中学开展了“清明节祭扫”活动.全校学生从学校同时出发,步行4000米到达烈士纪念馆.学校要求九(1)班提前到达目的地,做好活动的准备工作.行走过程中,九(1)班步行的平均速度是其他班的1.25倍,结果比其他班提前10分钟到达.分别求九(1)班、其他班步行的平均速度.解:设其他班的平均速度为x米/分,则九(1)班的平均速度为1.25x米/分,依题意得:𝟒𝟎𝟎𝟎𝒙−𝟒𝟎𝟎𝟎𝟏.𝟐𝟓𝒙=10,解得:x=80.经检验:x=80是所列方程的解且符合实际.此时,1.25x=1.25×80=100.答:九(1)班的平均速度为100米/分,其他班的平均速度为80米/分.【方法点析】列分式方程解实际问题的关键是找出等量关系列出方程.需要注意的是解方程后要从两个方面检验:一是检验此解是否是原分式方程的解;二是检验解是否符合实际问题的意义.|考向精练|1.[2019·昆都仑区二模]甲、乙两个搬运工搬运某种货物,已知乙比甲每小时多搬运600kg,甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等,求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货物.设甲每小时搬运xkg货物,则可列方程为.[答案]𝟓𝟎𝟎𝟎𝒙=𝟖𝟎𝟎𝟎𝒙+𝟔𝟎𝟎[解析]甲每小时搬运xkg货物,则乙每小时搬运(x+600)kg货物,由题意得,𝟓𝟎𝟎𝟎𝒙=𝟖𝟎𝟎𝟎𝒙+𝟔𝟎𝟎.2.[2019·包头一模]某市为治理污水,需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加25%,结果提前30天完成这一任务,实际每天铺设多长管道?若设原计划每天铺设x米管道,根据题意可列方程为.[答案]𝟑𝟎𝟎𝟎𝒙−𝟑𝟎𝟎𝟎(𝟏+𝟐𝟓%)𝒙=30[解析]∵原计划每天铺设x米管道,则实际每天铺设(1+25%)x米管道,∴原计划的工作时间为𝟑𝟎𝟎𝟎𝒙天,实际的工作时间为𝟑𝟎𝟎𝟎(𝟏+𝟐𝟓%)𝒙天,由题中等量关系可知:原计划的工作时间-实际的工作时间=30天,故可得分式方程:𝟑𝟎𝟎𝟎𝒙−𝟑𝟎𝟎𝟎(𝟏+𝟐𝟓%)𝒙=30.3.[2019·菏泽]列方程(组)解应用题:德上高速公路巨野至单县段正在加速建设,预计2019年8月竣工.届时,如果汽车行驶在高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%,那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟,求该汽车在高速公路上的平均速度.解:设汽车行驶在普通公路上的平均速度是x千米/时,则汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x千米/时,由题意,得𝟖𝟏𝟏.𝟖𝒙+𝟑𝟔𝟔𝟎=𝟖𝟏𝒙.解得x=60.经检验,x=60是所列方程的根,且符合题意.所以1.8x=108.答:汽车在高速公路上的平均速度是108千米/时.4.[2019·巴中]在“扶贫攻坚”活动中,某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户,已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元,若用500元单独购买甲物品与用450元单独购买乙物品的数量相同.(1)请问甲、乙两种物品的单价各为多少?(2)如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件,总费用不少于5000元且不超过5050元,通过计算得出共有几种选购方案?解:(1)设甲物品单价为x元,则乙物品单价为(x-10)元,根据题意得:𝟓𝟎𝟎𝒙=𝟒𝟓𝟎𝒙-𝟏𝟎,解得x=100,经检验,x=100是原分式方程的解.x-10=90.故甲物品单价为100元,乙物品单价为90元.4.[2019·巴中]在“扶贫攻坚”活动中,某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户,已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元,若用500元单独购买甲物品与用450元单独购买乙物品的数量相同.(2)如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件,总费用不少于5000元且不超过5050元,通过计算得出共有几种选购方案?(2)设购买甲种物品a件,则购买乙种物品(55-a)件,根据题意得5000≤100a+90(55-a)≤5050,解得5≤a≤10,因为a是整数,所以a可取的值有6个,故共有6种选购方案.