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第2课时整式与因式分解(含规律探索)【考情分析】考点代数式整式的运算因式分解年份2018201620192018201720162015201820172016题号661823221351212题型选择题选择题解答题选择题选择题选择题选择题填空题选择题填空题填空题分值4分4分8分4分4分4分4分4分4分5分5分热度预测★★★★★★★★★★★★考点一代数式与代数式的值1.代数式:用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式,单独的一个数或一个字母也是代数式.注意:代数式中不含等号、不等号.2.列代数式:把问题中与数量有关的词语,用含有字母、数字和运算符号的式子表示出来.3.代数式的值:用数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出结果,叫做代数式的值.考点二整式的概念内容单项式多项式定义数或字母的①组成的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式几个单项式的②叫做多项式次数一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数项多项式中,每个单项式叫做多项式的项积和考点三同类项、合并同类项1.同类项:所含字母③,并且相同字母的指数也④的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.2.合并同类项:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母连同它的指数不变.相同相同【温馨提示】(1)同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关,如-7xy与yx是同类项.(2)只有同类项才能合并,如x2与x3不能合并.考点四整式的运算类别法则整式的加减整式的加减实质就是⑤.一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项幂的运算同底数幂相乘am·an=⑥(m,n都是整数)幂的乘方(am)n=⑦(m,n都是整数)积的乘方(ab)n=⑧(n为整数)同底数幂相除am÷an=⑨(a≠0,m,n都为整数)am+n合并同类项anbnamnam-n(续表)类别法则整式的乘法单项式与单项式相乘把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘m(a+b+c)=⑩多项式与多项式相乘(m+n)(a+b)=⑪ma+mb+na+nbma+mb+mc(续表)类别法则整式的除法单项式除以单项式单项式除以单项式,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式(am+bm)÷m=a+b乘法公式平方差公式(a+b)(a-b)=⑫完全平方公式(a±b)2=⑬常用恒等变形(1)a2+b2=⑭=⑮;(2)(a-b)2=⑯-4aba2±2ab+b2a2-b2(a-b)2+2ab(a+b)2-2ab(a+b)2考点五因式分解1.定义:把一个多项式化为几个整式的⑰的形式,这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解.积(2)公式法(1)提公因式法用字母表示:𝑚𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑐=𝑚(𝑎+𝑏+𝑐)公因式的确定:取各项系数的最大公约数,取各2.方法项相同的因式及其最低次幂..3.一般步骤图2-1考向一列代数式及其求值1.[2018·安徽6题]据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%,假定2018年的年增长率保持不变,2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件,则()A.b=(1+22.1%×2)aB.b=(1+22.1%)2aC.b=(1+22.1%)×2aD.b=22.1%×2aB2.[2016·安徽6题]2014年我省财政收入比2013年增长8.9%,2015年比2014年增长9.5%,若2013年和2015年我省财政收入分别为a亿元和b亿元,则a,b之间满足的关系式为()A.b=a(1+8.9%+9.5%)B.b=a(1+8.9%×9.5%)C.b=a(1+8.9%)(1+9.5%)D.b=a(1+8.9%)2(1+9.5%)3.[2014·安徽7题]已知x2-2x-3=0,则2x2-4x的值为()A.-6B.6C.-2或6D.-2或30CB4.[2019·重庆A卷]按如图2-2所示的运算程序,能使输出y值为1的是()A.m=1,n=1B.m=1,n=0C.m=1,n=2D.m=2,n=1[答案]D[解析]A.∵m=1,n=1,∴y=2m+1=3;B.∵m=1,n=0,∴y=2n-1=-1;C.∵m=1,n=2,∴y=2m+1=3;D.∵m=2,n=1,∴y=2n-1=1.故选D.图2-2考向二整式的运算5.[2019·安徽2题]计算a3·(-a)的结果是()A.a2B.-a2C.a4D.-a46.[2018·安徽3题]下列运算正确的是()A.(a2)3=a5B.a2·a4=a8C.a6÷a3=a2D.(ab)3=a3b3DD7.[2017·安徽2题]计算(-a3)2的结果是()A.a6B.-a6C.-a5D.a58.[2016·安徽2题]计算a10÷a2(a≠0)的结果是()A.a5B.a-5C.a8D.a-8AC9.[2014·安徽2题]x2·x3=()A.x5B.x6C.x8D.x910.[2013·安徽4题]下列运算正确的是()A.2x+3y=5xyB.5m2·m3=5m5C.(a-b)2=a2-b2D.m2·m3=m6AB考向三因式分解11.[2018·安徽5题]下列分解因式正确的是()A.-x2+4x=-x(x+4)B.x2+xy+x=x(x+y)C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2D.x2-4x+4=(x+2)(x-2)[答案]C[解析]A.-x2+4x=-x(x-4),故此选项错误;B.x2+xy+x=x(x+y+1),故此选项错误;C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2,故此选项正确;D.x2-4x+4=(x-2)2,故此选项错误.故选C.12.[2014·安徽4题]下列四个多项式中,能分解因式的是()A.a2+1B.a2-6a+9C.x5+5yD.x2-5y13.[2017·安徽12题]因式分解:a2b-4ab+4b=.14.[2016·安徽12题]因式分解:a3-a=.15.[2013·安徽12题]分解因式:x2y-y=.Bb(a-2)2a(a+1)(a-1)y(x+1)(x-1)考向四数式规律探究16.[2019·合肥一六八教育集团一模]研究下列算式,你会发现什么规律?1×3+1=4=22;2×4+1=9=32;3×5+1=16=42;4×6+1=25=52;…(1)请你找出规律并计算7×9+1==()2;(2)用含有n的式子表示上面的规律:;(3)用找到的规律解决下面的问题:计算:1+11×3×1+12×4×1+13×5×1+14×6×…×1+19×11=.解:(1)7×9+1=64=82.16.[2019·合肥一六八教育集团一模]研究下列算式,你会发现什么规律?1×3+1=4=22;2×4+1=9=32;3×5+1=16=42;4×6+1=25=52;…(2)用含有n的式子表示上面的规律:;解:(2)n(n+2)+1=n2+2n+1=(n+1)216.[2019·合肥一六八教育集团一模]研究下列算式,你会发现什么规律?1×3+1=4=22;2×4+1=9=32;3×5+1=16=42;4×6+1=25=52;…𝟐𝟎𝟏𝟏(3)用找到的规律解决下面的问题:计算:1+11×3×1+12×4×1+13×5×1+14×6×…×1+19×11=.17.[2019·芜湖三模]观察下列等式:(1)第1个等式:(x-1)(x+1)=x2-1;(2)第2个等式:(x-1)(x2+x+1)=x3-1;(3)第3个等式:(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1;…按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第4个等式:(x-1)(x4+x3+x2+x+1)=;(2)写出你猜想的第n个等式:(x-1)(xn+xn-1+…+x+1)=;(3)请利用上述规律,确定22019+22018+…+2+1的个位数字是多少.x5-1xn+1-117.[2019·芜湖三模]观察下列等式:(1)第1个等式:(x-1)(x+1)=x2-1;(2)第2个等式:(x-1)(x2+x+1)=x3-1;(3)第3个等式:(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1;…按照以上规律,解决下列问题:(3)请利用上述规律,确定22019+22018+…+2+1的个位数字是多少.解:(3)22019+22018+…+2+1=(2-1)(22019+22018+…+2+1)=22020-1,∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,∴2n的个位数字是以2,4,8,6循环,∵2020=505×4,∴22020的个位数字为6.∴22019+22018+…+2+1的个位数字为5.18.[2019·张家界]阅读下面的材料:按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项,记为a1,排在第二位的数称为第二项,记为a2,依次类推,排在第n位的数称为第n项,记为an.所以,数列的一般形式可以写成:a1,a2,a3,…,an,……一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示.如:数列1,3,5,7,…为等差数列,其中a1=1,a4=7,公差d=2.根据以上材料,解答下列问题:(1)等差数列5,10,15,…的公差d为,第5项是.(2)如果一个数列a1,a2,a3,…,an,…是等差数列,且公差为d,那么根据定义可得到:a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d,……所以a2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d,……由此,请你填空完成等差数列的通项公式:an=a1+()d.(3)-4041是不是等差数列-5,-7,-9,…的项?如果是,是第几项?525n-118.[2019·张家界]阅读下面的材料:按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项,记为a1,排在第二位的数称为第二项,记为a2,依次类推,排在第n位的数称为第n项,记为an.所以,数列的一般形式可以写成:a1,a2,a3,…,an,……一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示.如:数列1,3,5,7,…为等差数列,其中a1=1,a4=7,公差d=2.根据以上材料,解答下列问题:(3)-4041是不是等差数列-5,-7,-9,…的项?如果是,是第几项?解:(3)是.设是第n项,由(2)得-5-2(n-1)=-4041,解得n=2019,即第2019项是-4041.