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第14课时二次函数的实际应用【考情分析】考点二次函数的实际应用年份2018201720152014题号22222212题型解答题解答题解答题填空题分值12分12分12分5分热度预测★★★★★★考点二次函数的实际应用考点聚焦1.应用二次函数解决实际问题的方法(1)弄清问题的变化过程,寻找数量关系;(2)根据等量关系列出函数表达式;(3)根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围;(4)利用函数性质解决问题;(5)检验并写出合适答案.2.二次函数应用问题的常见类型(1)最值型①列出二次函数表达式,根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围;②配方或用公式求顶点;③如果顶点在自变量的取值范围内,那么二次函数在顶点处取得最大值(或最小值).如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2,顶点的横坐标在自变量的取值范围x1≤x≤x2内,则当x=-𝑏2𝑎时,y最值=4𝑎𝑐-𝑏24𝑎;如果顶点的横坐标不在此范围内,则需根据二次函数增减性确定最值.(2)几何图形面积型①找出引起面积变化的长度、坐标或时间等作为变量;②找出题目中变量与面积的对应关系,求出二次函数关系式;③确定自变量的取值范围;④利用函数性质求解,并检验其是否符合实际问题.(3)现实生活中的抛物线型①弄清函数中自变量和函数的实际意义,建立平面直角坐标系,将题目中实际条件转化成坐标;②利用待定系数法求出二次函数关系式;③将题目中提出的实际问题转化为函数问题;④利用函数性质求解,并检验其是否符合实际问题.题组一必会题对点演练1.苹果熟了,从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s=12gt2(g=9.8),则s与t的函数图象大致是()图14-1B2.如图14-2,一边靠校园围墙,其他三边用总长为80米的铁栏杆围成一个矩形花圃,设矩形ABCD的边AB为x米,面积为S平方米,要使矩形ABCD面积最大,则x的长为()A.40米B.30米C.20米D.10米图14-2C3.一个运动员打高尔夫球,若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y=-190(x-30)2+10,则高尔夫球第一次落地时距离运动员()A.10mB.20mC.30mD.60mD4.[2014·安徽12题]某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数表达式为y=.a(1+x)25.有一个抛物线形拱桥,其最大高度为16m,跨度为40m,现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图14-3所示,则抛物线的解析式是.[答案]y=-0.04x2+1.6x[解析]根据题图得到顶点坐标是(20,16),因而可以利用顶点式求解析式.设解析式是y=a(x-20)2+16,根据题意得:400a+16=0,解得a=-0.04.∴函数关系式为y=-0.04(x-20)2+16,即y=-0.04x2+1.6x.图14-3题组二易错题【失分点】求实际问题中的最值时,忽略自变量取值范围的限制.6.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,小王按4.1元/千克购入,若原价出售,则每天平均可卖出200千克,若价格每上涨0.1元,则每天少卖出20千克,则蔬菜价格定为元/千克时,每天获利最大,最大利润为元.[答案]4.548[解析]设定价为x元/千克,每千克获利(x-4.1)元,∵价格每上涨0.1元,每天少卖出20千克,∴每天的销售量为200-20(x-4.1)×10=-200x+1020,设每天获利W元,则W=(-200x+1020)(x-4.1)=-200x2+1840x-4182=-2(100x2-920x+2116)+4232-4182=-2(10x-46)2+50,∵a=-20,∴当x≤4.6时,W随x的增大而增大,∵物价局规定该蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,∴4.1≤x≤4.5,∴当x=4.5时,W有最大值,即获利最大,最大利润=-2×(10×4.5-46)2+50=-2+50=48(元).考向一最大利润问题例1[2019·铜陵一模]某服装有限公司生产了一款夏季服装,通过实体商店和网上商店两种途径进行销售,销售一段时间后,该公司对这种商品的销售情况进行了为期30天的跟踪调查,其中实体商店的日销售量y1(百件)与时间t(t为整数,单位:天)的函数关系式是y1=-15t2+6t;网上商店的日销售量y2(百件)与时间t(t为整数,单位:天)的关系如图14-4所示.图14-4(1)求y2与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;(2)在跟踪调查的30天中,设实体商店和网上商店的日销售总量为y(百件),求y与t的函数关系式,当t为何值时,日销售总量y达到最大,并求出此时的最大值.图14-4解:(1)当0≤t≤10时,设y2=kt,∵(10,40)在其图象上,∴10k=40,∴k=4,∴y2=4t.当10t≤30时,设y2=mt+n,将(10,40),(30,60)代入得10𝑚+𝑛=40,30𝑚+𝑛=60,解得𝑚=1,𝑛=30,∴y2=t+30.综上所述,y2与t的函数关系式为:y2=4𝑡(0≤𝑡≤10),𝑡+30(10𝑡≤30),t为整数.例1[2019·铜陵一模]某服装有限公司生产了一款夏季服装,通过实体商店和网上商店两种途径进行销售,销售一段时间后,该公司对这种商品的销售情况进行了为期30天的跟踪调查,其中实体商店的日销售量y1(百件)与时间t(t为整数,单位:天)的函数关系式是y1=-15t2+6t;网上商店的日销售量y2(百件)与时间t(t为整数,单位:天)的关系如图14-4所示.(2)在跟踪调查的30天中,设实体商店和网上商店的日销售总量为y(百件),求y与t的函数关系式,当t为何值时,日销售总量y达到最大,并求出此时的最大值.图14-4解:(2)依题意得y=y1+y2,当0≤t≤10时,y=-15t2+6t+4t=-15t2+10t=-15(t-25)2+125,∴t=10时,y最大=80;当10t≤30时,y=-15t2+6t+t+30=-15t2+7t+30=-15t-3522+3654,∵t为整数,∴当t=17或18时,y最大=91.2,∵91.280,∴当t=17或18时,y达到最大,最大值为91.2(百件).|考向精练|1.[2017·安徽22题]某超市销售一种商品,成本为每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:(1)求y与x之间的函数表达式;(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本);(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?售价x(元/千克)506070销售量y(千克)1008060解:(1)根据题意,设y=kx+b,其中k,b为待定的常数,由表中的数据得:50𝑘+𝑏=100,60𝑘+𝑏=80,解得:𝑘=-2,𝑏=200.所以y=-2x+200(40≤x≤80).1.[2017·安徽22题]某超市销售一种商品,成本为每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:(2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本);售价x(元/千克)506070销售量y(千克)1008060解:(2)根据题意得:W=y·(x-40)=(-2x+200)·(x-40)=-2x2+280x-8000(40≤x≤80).1.[2017·安徽22题]某超市销售一种商品,成本为每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?售价x(元/千克)506070销售量y(千克)1008060解:(3)由(2)可知:W=-2(x-70)2+1800,所以当售价x在满足40≤x≤70的范围内时,利润W随着x的增大而增大;当售价x在满足70x≤80的范围内时,利润W随着x的增大而减小.所以当x=70时,利润W取得最大值,最大值为1800元.2.[2013·安徽22题]某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营,了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示.(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件;(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式;(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大?最大利润是多少?销售量p(件)p=50-x销售单价q(元/件)当1≤x≤20时,q=30+12x;当21≤x≤40时,q=20+525𝑥解:(1)①对于q=30+12x,当q=35时,30+12x=35,解得x=10.在1≤x≤20范围内;②对于q=20+525𝑥,当q=35时,20+525𝑥=35,解得x=35,在21≤x≤40范围内.综上所述,第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件.2.[2013·安徽22题]某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营,了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示.(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式;销售量p(件)p=50-x销售单价q(元/件)当1≤x≤20时,q=30+12x;当21≤x≤40时,q=20+525𝑥解:(2)①当1≤x≤20时,y=30+12x-20(50-x)=-12x2+15x+500;②当21≤x≤40时,y=20+525𝑥-20(50-x)=26250𝑥-525.2.[2013·安徽22题]某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营,了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示.(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大?最大利润是多少?销售量p(件)p=50-x销售单价q(元/件)当1≤x≤20时,q=30+12x;当21≤x≤40时,q=20+525𝑥解:(3)①y=-12x2+15x+500=-12(x-15)2+612.5,由于-120,抛物线开口向下,且1≤x≤20,所以当x=15时,y最大=612.5(元);②y=26250𝑥-525,26250𝑥越大(即x越小),y的值越大,由于21≤x≤40,所以当x=21时,y最大=1250-525=725(元).综上所述,这40天中该网店第21天获得的利润最大,最大利润是725元.3.[2018·安徽22题]小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆,售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元.调研发现:①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元).(1)用含x的代数式分别表示W1,W2;(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?解:(1)W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8000,W2=19(50-x)=-19x+950.3.[2018·安徽22题]小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆,售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元.调研发现:①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完