搜索
第11课时反比例函数及其应用【考情分析】考点一次函数与反比例函数综合反比例函数图象和性质反比例函数的应用年份20182019201520142013题号13521922题型填空题选择题解答题选择题解答题分值5分4分12分4分5分热度预测★★★★★★★★★考点一反比例函数的概念考点聚焦【温馨提示】(1)反比例函数中,自变量的取值范围是①;(2)解析式的变式:y=kx-1或xy=k(k≠0).一般地,形如y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.x≠0考点二反比例函数的图象与性质一般形式k的符号k②0k③0图象所在象限第一、三象限第二、四象限y=kx(k为常数,k≠0),其图象上点的横、纵坐标之积为定值k(续表)k的符号k②0k③0增减性同一支上,y随x的增大而④;在两支上,第一象限y值大于第三象限y值同一支上,y随x的增大而⑤;在两支上,第二象限y值大于第四象限y值对称性关于直线y=x,y=-x成轴对称关于⑥成中心对称小结(1)反比例函数的图象是双曲线,反比例函数的增减性由系数k决定;(2)反比例函数图象的两支在两个象限内,根据自变量的值比较相应函数值的大小时,应注意象限问题增大减小原点1.几何意义:过反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线,两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为|k|.考点三反比例函数比例系数k的几何意义2.常见的与反比例函数有关的图形面积S矩形OAPB=|k|S△AOP=⑦S△ABC=⑧=⑨S△APP1|𝒌|𝟐|k|2|k|考点四反比例函数解析式的确定待定系数法几何法题中涉及面积时,考虑用k的几何意义求解(1)设出反比例函数的解析式y=kx(k≠0);(2)找出图象上一点的坐标P(x0,y0);(3)将P(x0,y0)的坐标代入y=kx(k≠0),求出k的值;(4)写出解析式考点五反比例函数的实际应用利用反比例函数解决实际问题,关键是建立函数模型.建立函数模型的思路主要有两种:(1)已知函数类型,直接设出函数的解析式,根据题目提供的信息求得k的值;(2)题目本身未明确表明变量间的函数关系,此时需通过分析,先确定变量间的关系,再求解析式.题组一必会题对点演练1.反比例函数y=2𝑥的图象在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限2.若点A(a,b)在反比例函数y=2𝑥的图象上,则代数式ab-4的值为()A.0B.-2C.2D.-6BB3.如图11-1,点A在双曲线y=𝑘𝑥上,AB⊥x轴于点B,且S△AOB=2,则k的值是()A.2B.-2C.4D.-4图11-1D题组二易错题【失分点】判断反比例函数的增减性时,忽略自变量的取值范围;利用k的几何意义确定几何图形的面积时,图形割补不恰当.4.已知反比例函数y=-3𝑥,下列结论不正确的是()A.图象必经过点(-1,3)B.若x1,则-3y0C.图象在第二、四象限内D.y随x的增大而增大D5.已知点(x1,y1),(x2,y2)是反比例函数y=2𝑥图象上的点,若x10x2,则一定成立的是()A.y1y20B.y10y2C.0y1y2D.y20y1B6.[2018·郴州]如图11-2,A,B是反比例函数y=4𝑥在第一象限内的图象上的两点,且A,B两点的横坐标分别是2和4,则△OAB的面积是()A.4B.3C.2D.1图11-2[答案]B[解析]∵A,B是反比例函数y=4𝑥在第一象限内的图象上的两点,且A,B两点的横坐标分别是2和4,∴当x=2时,y=2,即A(2,2),当x=4时,y=1,即B(4,1).如图,过A,B两点分别作AC⊥x轴于C,BD⊥x轴于D,则S△AOC=S△BOD=12×4=2.∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC,∴S△AOB=S梯形ABDC,∵S梯形ABDC=12(BD+AC)·CD=12×(1+2)×2=3,∴S△AOB=3.考向一反比例函数的图象与性质例1[2018·衡阳]对于反比例函数y=-2𝑥,下列说法不正确的是()A.图象分布在第二、四象限B.当x0时,y随x的增大而增大C.图象经过点(1,-2)D.若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在图象上,且x1x2,则y1y2[答案]D[解析]A.∵k=-20,∴它的图象在第二、四象限,故本选项正确;B.k=-20,当x0时,y随x的增大而增大,故本选项正确;C.把x=1代入y=-2𝑥中,得y=-21=-2,∴点(1,-2)在反比例函数y=-2𝑥的图象上,故本选项正确;D.点A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函数y=-2𝑥的图象上,若x10x2,则y1y2,故本选项错误.故选D.|考向精练|1.[2019·安徽5题]已知点A(1,-3)关于x轴的对称点A'在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,则实数k的值为()A.3B.13C.-3D.-13A2.[2013·安徽9题]如图11-3①所示,矩形ABCD中,BC=x,CD=y,y与x满足的反比例函数关系如图②所示,等腰直角三角形AEF的斜边EF过点C,M为EF的中点,则下列结论正确的是()A.当x=3时,ECEMB.当y=9时,ECEMC.当x增大时,EC·CF的值增大D.当y增大时,BE·DF的值不变图11-3D考向二比例系数k的几何意义例2[2019·芜湖二模]如图11-4,平行于x轴的直线与函数y=𝑘1𝑥(k10,x0)的图象交于点A,与y轴交于点C.(1)若k1=10,点C的坐标为(0,5),求点A的坐标;(2)若该直线与函数y=𝑘2𝑥(k20,x0)的图象交于点B,且△ABO的面积为4,求k1-k2的值.图11-4解:(1)设点A的坐标为(a,b),∵AC∥x轴,点C的坐标为(0,5),∴b=5,又∵点A在反比例函数y=10𝑥的图象上,∴5a=10,∴a=2,∴点A的坐标为(2,5).例2[2019·芜湖二模]如图11-4,平行于x轴的直线与函数y=𝑘1𝑥(k10,x0)的图象交于点A,与y轴交于点C.(2)若该直线与函数y=𝑘2𝑥(k20,x0)的图象交于点B,且△ABO的面积为4,求k1-k2的值.图11-4解:(2)由反比例函数系数k的几何意义可得,S△OAC=12k1,S△OBC=12k2,∵S△AOB=S△OBC-S△OAC,∴4=12(k2-k1),∴k2-k1=8,即k1-k2=-8.|考向精练|1.[2019·合肥包河区一模]如图11-5,若反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象经过点-12,4,点A为图象上任意一点,点B在x轴负半轴上,连接AO,AB,当AB=OA时,△AOB的面积为()A.1B.2C.4D.无法确定图11-5[答案]B[解析]过点A作AC⊥x轴于点C,∵点-12,4在反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象上,∴k=-2.∵AB=AO,AC⊥x轴,∴S△AOB=2S△AOC=2×|𝑘|2=2,故选B.图11-62.[2019·铜陵一模]如图11-6,反比例函数y=-3𝑥的图象经过▱ABCD对角线的交点P,已知点A,C,D在坐标轴上,BD⊥CD,则▱ABCD的面积是.[答案]6[解析]如图,过点P作PE⊥y轴于点E.∴S矩形PEOD=|k|=3,∵AB=CD=DO,∴S▱ABCD=S矩形ABDO,∵BP=PD,∴S矩形ABDO=2S矩形PEOD=2×3=6,∴S▱ABCD=6.故答案为6.考向三反比例函数与一次函数综合例3[2018·连云港]如图11-7,在平面直角坐标系中,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=𝑘2𝑥的图象交于A(4,-2),B(-2,n)两点,与x轴交于点C.(1)求k2,n的值;(2)请直接写出不等式k1x+b𝑘2𝑥的解集;(3)将x轴下方的图象沿x轴翻折,点A落在点A'处,连接A'B,A'C,求△A'BC的面积.图11-7解:(1)将A(4,-2)的坐标代入y=𝑘2𝑥,得k2=-8,所以y=-8𝑥,将B(-2,n)的坐标代入y=-8𝑥,得n=4,所以k2=-8,n=4.例3[2018·连云港]如图11-7,在平面直角坐标系中,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=𝑘2𝑥的图象交于A(4,-2),B(-2,n)两点,与x轴交于点C.(2)请直接写出不等式k1x+b𝑘2𝑥的解集;图11-7解:(2)由图象可知,k1x+b𝑘2𝑥的解集为-2x0或x4.例3[2018·连云港]如图11-7,在平面直角坐标系中,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=𝑘2𝑥的图象交于A(4,-2),B(-2,n)两点,与x轴交于点C.(3)将x轴下方的图象沿x轴翻折,点A落在点A'处,连接A'B,A'C,求△A'BC的面积.图11-7解:(3)将A(4,-2),B(-2,4)的坐标代入y=k1x+b,得k1=-1,b=2,所以一次函数的关系式为y=-x+2,它的图象与x轴交于点C(2,0),图象沿x轴翻折后,得A'(4,2),S△A'BC=(4+2)×(4+2)×12-12×4×4-12×2×2=8.即△A'BC的面积为8.|考向精练|1.[2019·鄂州]在同一平面直角坐标系中,函数y=-x+k与y=𝑘𝑥(k为常数,且k≠0)的图象大致是()图11-8[答案]C[解析]∵函数y=-x+k与y=𝑘𝑥(k为常数,且k≠0),∴当k0时,y=-x+k的图象经过第一、二、四象限,y=𝑘𝑥的图象经过第一、三象限,故选项A,B错误;当k0时,y=-x+k的图象经过第二、三、四象限,y=𝑘𝑥的图象经过第二、四象限,故选项C正确,选项D错误,故选C.2.[2018·安徽13题]如图11-9,正比例函数y=kx与反比例函数y=6𝑥的图象有一个交点为A(2,m),AB⊥x轴于点B,平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l,则直线l对应的函数表达式是.图11-9[解析]将A(2,m)代入反比例函数y=6𝑥,得m=62=3,所以交点A(2,3),则正比例函数为y=32x,又AB⊥x轴于点B,所以点B(2,0).平移直线y=32x,使其经过点B,得到直线l,所以可设直线l对应的函数表达式为y=32x+b,把B(2,0)代入可得b=-3,所以直线l对应的函数表达式是y=32x-3.[答案]y=32x-33.[2016·安徽20题]如图11-10,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=𝑎𝑥(a≠0)的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.(1)求函数y=kx+b和y=𝑎𝑥的表达式;(2)已知点C(0,5),试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC,求此时点M的坐标.图11-10解:(1)把点A的坐标(4,3)代入y=𝑎𝑥,得a=3×4=12,∴y=12𝑥.OA=32+42=5,∵OA=OB,∴OB=5,∴点B的坐标为(0,-5).把(0,-5),(4,3)代入y=kx+b,得𝑏=-5,4𝑘+𝑏=3,解得𝑘=2,𝑏=-5,∴y=2x-5.3.[2016·安徽20题]如图11-10,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=𝑎𝑥(a≠0)的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.(2)已知点C(0,5),试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC,求此时点M的坐标.图11-10解:(2)∵点M在一次函数y=2x-5的图象上,∴设点M的坐标为(x,2x-5).∵MB=MC,∴𝑥2+(2𝑥-5+5)2=𝑥2+(2𝑥-5-5)2,解得x=2.5,∴点M的坐标为(2.5,0).考向四反比例函数的实际应用例4[2019·杭州]方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地,行驶里程为480千米,设小汽车的行驶时间为t(单位:小时),行驶速度为v(单位:千米/时),且全程速度