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第6课时一元二次方程及其应用【考情分析】考点一元二次方程根的判别式一元二次方程的解法列一元二次方程(增长率问题)年份201820192016201420172015题号71516786题型选择题解答题解答题选择题选择题选择题分值4分8分8分4分4分4分热度预测★★★★★★★★★★★考点一一元二次方程及其解法考点聚焦1.一般形式:图6-12.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)ax2+c=0⇒x=①(其中ac0);(2)a(x+n)2=b⇒x=②(其中ab0)开方后取正负两个值配方法配方过程中,注意加上一个数的同时减去这个数ax2+bx+c=0(a≠0)⇒x2+bax+ca=0⇒x+b2a2=b2-4ac4a2,开方求解±-𝒄𝒂-n±𝒃𝒂(续表)方法解题流程注意事项公式法当b2-4ac≥0时,由求根公式可得ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③前提条件:①判别式Δ≥0;②等号的右边为0因式分解法ax2+bx+c=0(a≠0)(m1x+n1)·(m2x+n2)=0⇒m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解-𝒃±𝒃𝟐-𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂考点二一元二次方程根的判别式、根与系数的关系1.判别式与根的关系(1)b2-4ac0⇔方程有④的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤的实数根;(3)b2-4ac0⇔方程⑥实数根.2.根与系数的关系(选学)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦,x1x2=⑧.两个不相等两个相等-𝒃𝒂没有𝒄𝒂考点三一元二次方程的实际应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率=增量÷基础量;(2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b销售利润问题(1)纯利润=售出价-进货价-其他费用;(2)利润率=利润÷进货价×100%;(3)总利润=(售价-成本)×数量(续表)应用类型等量关系面积问题AB+BC+CD=aS阴影=⑨S阴影=⑩S阴影=⑪(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)𝒂-𝒙𝟐·x题组一必会题对点演练1.若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程,则m的取值范围是()A.m≠1B.m=1C.m≥1D.m≠02.一元二次方程x2-16=0的根是()A.x=2B.x=4C.x1=2,x2=-2D.x1=4,x2=-4AD3.用配方法解一元二次方程x2-6x-10=0时,下列变形正确的为()A.(x+3)2=1B.(x-3)2=1C.(x+3)2=19D.(x-3)2=194.方程x2-2x+3=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.只有一个实数根C.没有实数根D.有两个不相等的实数根DC5.某公司9月份利润为100万元,要使11月份的利润达到144万元,则平均每月增长的百分率为()A.10%B.20%C.22%D.25%B题组二易错题【失分点】有关一元二次方程最易失分的地方:一是解方程时“丢根”,二是在应用根的判别式时忘记考虑二次项系数不为0的条件.6.一元二次方程x2=x的根是()A.x=1B.x=0C.x1=x2=0D.x1=0,x2=1D7.一元二次方程2x(x+1)=3(x+1)的解是.8.关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是.m≤3且m≠2x1=𝟑𝟐,x2=-1考向一一元二次方程的解法解:(1)公式法:原方程为x2-12x+27=0,这里a=1,b=-12,c=27.∵b2-4ac=(-12)2-4×1×27=360,∴x=12±362×1=12±62.∴原方程的根为x1=3,x2=9.例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(1)公式法:(2)配方法:(3)因式分解法:例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(2)配方法:解:(2)配方法:x2-12x+27=0,x2-12x=-27,x2-12x+62=-27+62,(x-6)2=9,x-6=±3,∴x1=3,x2=9.例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(3)因式分解法:解:(3)因式分解法:x2-12x+27=0,(x-3)(x-9)=0,∴x-3=0或x-9=0,∴x1=3,x2=9.【方法点析】一元二次方程的四种常用解法:直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法.一般优先考虑使用直接开平方法和因式分解法,然后再考虑使用公式法解方程,除二次项系数为1且一次项系数是偶数外,一般不采用配方法.|考向精练|1.[2019·安徽15题]解方程:(x-1)2=4.解:(x-1)2=4,∴x-1=2或x-1=-2,即x=3或x=-1.∴原方程的解为x1=3,x2=-1.2.[2016·安徽16题]解方程:x2-2x=4.解:解法一:x2-2x-4=0,a=1,b=-2,c=-4,Δ=(-2)2-4×1×(-4)=200,方程有两个不相等的实数根.x=-𝑏±𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎=2±252=1±5,∴x1=1+5,x2=1-5.解法二:x2-2x+1=4+1,(x-1)2=5,x-1=±5,x=1±5,∴x1=1+5,x2=1-5.3.[2012·安徽16题]解方程:x2-2x=2x+1.解:原方程化为:x2-4x=1,配方,得x2-4x+4=1+4,整理,得(x-2)2=5,∴x-2=±5,即x1=2+5,x2=2-5.考向二一元二次方程根的判别式例2[2019·芜湖二模]下列关于x的一元二次方程x2-(k-2)x+k-5=0的根的叙述中,正确的是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.由k的取值来确定[答案]A[解析]∵Δ=(k-2)2-4×(k-5)=(k-4)2+80,∴关于x的一元二次方程x2-(k-2)x+k-5=0有两个不相等的实数根,故选A.【方法点析】对于含有参数的一元二次方程问题要注意:(1)若已知方程是一元二次方程,不能忽视二次项系数不为零这个隐含条件;(2)若已知条件没有明确是一次方程或二次方程,应分类讨论.|考向精练|[答案]A[解析]将原方程变形为一般式,根据根的判别式Δ=0即可得出关于a的一元二次方程,解之即可得出结论.原方程可变形为x2+(a+1)x=0.∵该方程有两个相等的实数根,∴Δ=(a+1)2-4×1×0=0,解得:a=-1.故选A.1.[2018·安徽7题]若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为()A.-1B.1C.-2或2D.-3或1[答案]A[解析]根据题意得a≠0且Δ=(-2)2-4×a×1≥0,解得a≤1且a≠0,∴整数a的最大值是1,故选A.2.[2019·合肥一六八教育集团一模]关于x的一元二次方程ax2-2x+1=0有实数根,则整数a的最大值是()A.1B.-1C.2D.-23.[2019·滁州定远一模]关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是.k-1且k≠0考向三一元二次方程的应用例3[2017·安徽8题]一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满足()A.16(1+2x)=25B.25(1-2x)=16C.16(1+x)2=25D.25(1-x)2=16角度1增长率问题[答案]D[解析]一种药品原价每盒25元,两次降价的百分率都为x,所以第一次降价后的价格用代数式表示为25(1-x),第二次降价后的价格用代数式表示为25(1-x)·(1-x)=25(1-x)2,根据题意可列方程为25(1-x)2=16,故选D.例4[2018·安徽名校模拟]如图6-2,某街道办事处把一块矩形空地进行绿化.已知该矩形空地长为90m,宽为60m,按照规划将预留总面积为4536m2的四个小矩形区域(阴影部分)种植花草,并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道,各通道的宽度相等,求各通道的宽.角度2图形面积问题图6-2解:设各通道的宽度为xm,根据题意得:(90-3x)(60-3x)=4536,解得:x1=2,x2=48(不合题意,舍去).答:各通道的宽度为2m.|考向精练|1.[2015·安徽6题]我省2013年的快递业务量为1.4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素,快递业务迅猛发展,2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到4.5亿件,设2014年与2015年这两年的平均增长率为x,则下列方程正确的是()A.1.4(1+x)=4.5B.1.4(1+2x)=4.5C.1.4(1+x)2=4.5D.1.4(1+x)+1.4(1+x)2=4.5C2.[2013·安徽7题]目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发给每个经济困难学生389元,今年上半年发放了438元,设每半年发放的资助金额的平均增长率为x,则下面列出的方程中正确的是()A.438(1+x)2=389B.389(1+x)2=438C.389(1+2x)=438D.438(1+2x)=389B3.[2019·马鞍山二模]用总长10m的铝合金材料做一个如图6-3所示的窗框(不计损耗),窗框的上部是等腰直角三角形,下部是两个全等的矩形,窗框的总面积为3m2(材料的厚度忽略不计).若设等腰直角三角形的斜边长为xm,下列方程符合题意的是()A.(2-2)x+33𝑥-𝑥4=10B.(2+2)x+33𝑥+𝑥4=10C.x·10-2𝑥-2𝑥3+12x2=3D.x·10-2𝑥-2𝑥3+14x2=3图6-3[答案]D[解析]等腰直角三角形的斜边长为xm,则等腰直角三角形的直角边长为22xm,下部两个全等矩形合成的大矩形的长为xm,宽为10-2𝑥-2𝑥3m,依题意,得:x·10-2𝑥-2𝑥3+12×22x2=3,即x·10-2𝑥-2𝑥3+14x2=3,故选D.4.某地区居民2016年人均年收入20000元,到2018年人均年收入达到39200元.则该地区居民年人均收入平均增长率为.(用百分数表示)[答案]40%[解析]设该地区居民年人均收入平均增长率为x,20000(1+x)2=39200,解得,x1=0.4,x2=-2.4(舍去),∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%,故答案为:40%.