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第5课时一次方程(组)及其应用【考情分析】考点一元一次方程及解法二元一次方程组及解法一次方程(组)的应用年份20162015201620152019201820172016题号20212022211716166题型解答题解答题解答题解答题解答题解答题解答题解答题选择题分值2分2分4分5分3分8分8分8分4分热度预测★★★★★★★★★考点一方程的有关概念等式5.二元一次方程组的一般形式:𝑎1𝑥+𝑏1𝑦+𝑐1=0,𝑎2𝑥+𝑏2𝑦+𝑐2=0,其解一般写成𝑥=𝑚,𝑦=𝑛的形式.考点聚焦1.方程:含有未知数的①.2.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值.3.一元一次方程的一般形式:②.4.二元一次方程的一般形式:③.6.二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程的公共解.ax+b=0(a,b为常数,且a≠0)ax+by+c=0(a,b,c为常数,且a≠0,b≠0)考点二一次方程(组)的解法1.等式的基本性质:性质1:如果a=b,那么a±c④b±c;性质2:(1)如果a=b,那么ac=⑤;(2)如果a=b,c≠0,那么⑥=𝑏𝑐.=图5-1bc𝒂𝒄2.解一元一次方程的一般步骤(解方程过程中常会用到等式的性质):3.二元一次方程组的解法:(1)思想:二元一次方程组一元一次方程.(2)方法:消元转化方法说明代入法适用于有一个方程中某个未知数的系数为1或-1的情况加减法在方程两边同乘以一个数,将两个方程中同一个未知数的系数变为相同的数(或互为相反数),再将方程两边分别相减(或相加)考点三一次方程(组)的实际应用图5-2【温馨提示】设未知数列方程是关键,求解时注意两点:(1)设适当的未知数;(2)题中各个量的单位.题组一必会题对点演练1.已知3是关于x的方程2x-a=1的解,则a的值为()A.-5B.5C.7D.-7B2.既是方程2x-y=3的解,又是方程3x+4y=10的解的是()A.𝑥=1,𝑦=2B.𝑥=2,𝑦=1C.𝑥=4,𝑦=3D.𝑥=-4,𝑦=-3B3.一水果商某次按一定价格购进一批苹果,销售过程中有20%的苹果正常损耗.该水果商按一定售价卖完苹果正好不亏不赚,则售价应该在定价基础上加价(本题不考虑税收等其他因素)()A.50%B.40%C.25%D.20%[答案]C[解析]设购进苹果的价格为a元,购进质量为m千克,售价应该在定价基础上加价百分比为x,根据题意得:a(1+x)·m(1-20%)=am,解得x=25%,故选C.4.方程组𝑥-𝑦=4,2𝑥+𝑦=-1的解是.85.已知a,b满足方程组2𝑎-𝑏=2,𝑎+2𝑏=6,则3a+b的值为.𝒙=𝟏,𝒚=-𝟑题组二易错题6.方程2-2𝑥-43=-𝑥-76去分母得()A.2-2(2x-4)=-(x-7)B.12-2(2x-4)=-x-7C.12-2(2x-4)=-(x-7)D.12-(2x-4)=-(x-7)【失分点】去分母时出现漏乘常数项导致错误;利用加减法解二元一次方程组时,两方程相减,出现符号错误;利用方程解决实际问题,当问题中有不确定因素时,没有正确分类讨论而漏解.C7.用加减消元法解方程组9𝑥-5𝑦=16,①2𝑥-𝑦=3②时,第一步:②×5,得10x-5y=15③;第二步:③-①,得x=1;第三步:把x=1代入②,得y=-1,则上述步骤中开始出现错误的是()A.第一步B.第二步C.第三步D.无法确定B8.某超市五一“放价”优惠顾客,若一次性购物不超过300元不优惠,超过300元时按全额9折付款.一位顾客第一次购物付款180元,第二次购物付款288元,若这两次购物合并成一次性付款可节省元.[答案]18或46.8[解析](1)若第二次购物超过300元,设第二次所购物品价值为x元,则90%x=288,解得x=320.两次所购物品总价值为180+320=500300,∴享受9折优惠,∴应付500×90%=450(元).这两次购物合并成一次性付款可节省:180+288-450=18(元).(2)若第二次购物没有超过300元,则两次所购物品总价值为180+288=468(元),这两次购物合并成一次性付款可以节省:468×10%=46.8(元).故答案是:18或46.8.考向一等式的概念及性质例1[2017·杭州]设x,y,c是实数,()A.若x=y,则x+c=y-cB.若x=y,则xc=ycC.若x=y,则𝑥𝑐=𝑦𝑐D.若𝑥2𝑐=𝑦3𝑐,则2x=3yB|考向精练|C1.下列结论中不能由a+b=0得到的是()A.a2=-abB.|a|=|b|C.a=0,b=0D.a2=b22.[2015·安徽14题]已知实数a,b,c满足a+b=ab=c,有下列结论:①若c≠0,则1𝑎+1𝑏=1;②若a=3,则b+c=9;③若a=b=c,则abc=0;④若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8.其中正确的是(把所有正确结论的序号都填上).[答案]①③④[解析]①∵a+b=ab≠0,∴1𝑎+1𝑏=1,此结论正确;②∵a=3,∴3+b=3b,解得b=32,c=92,∴b+c=32+92=6,此结论错误;③∵a=b=c,∴2a=a2=a,∴a=0,abc=0,此结论正确;④a,b,c中只有两个数相等,若a=b,则2a=a2,解得a=0或a=2(a=0不合题意),则a=2,b=2,c=4,a+b+c=8.若a=c,则a+b=ab=a,解得a=b=0,c=0(不合题意);同理当b=c时,则a+b=ab=b,解得a=b=c=0(不合题意).故正确的是①③④.考向二一元一次方程的解法例2[教材母题沪科七上P90]解方程:1.1-4𝑥0.6-1.3-3𝑥0.2=5𝑥-0.40.3.解:根据分数的基本性质,原方程可化为11-40𝑥6-13-30𝑥2=50𝑥-43.去分母,得11-40x-3(13-30x)=2(50x-4).去括号,得11-40x-39+90x=100x-8.移项,得-40x+90x-100x=-8-11+39.合并同类项,得-50x=20.系数化为1,得x=-25.|考向精练|1.[2019·怀化]一元一次方程x-2=0的解是()A.x=2B.x=-2C.x=0D.x=12.[2019·成都]若m+1与-2互为相反数,则m的值为.A1考向三二元一次方程组的解法例3解方程组:2𝑥+3𝑦=9,𝑥-2𝑦=1.解:解法一:2𝑥+3𝑦=9,①𝑥-2𝑦=1.②由②得x=1+2y,③将③代入①,得2(1+2y)+3y=9,解得y=1.将y=1代入③,得x=3.故方程组的解为𝑥=3,𝑦=1.解法二:①-②×2,得2x+3y-2x+4y=9-2,即7y=7,解得y=1.将y=1代入②,得x=3.故方程组的解为𝑥=3,𝑦=1.|考向精练|1.[2019·眉山]已知关于x,y的方程组𝑥+2𝑦=𝑘-1,2𝑥+𝑦=5𝑘+4的解满足x+y=5,则k的值为.[答案]2[解析]𝑥+2𝑦=𝑘-1,①2𝑥+𝑦=5𝑘+4,②①+②,得x+y=2k+1,又∵x+y=5,∴2k+1=5,解得:k=2.2.[2019·金华]解方程组:3𝑥-4(𝑥-2𝑦)=5,𝑥-2𝑦=1.解:3𝑥-4(𝑥-2𝑦)=5,①𝑥-2𝑦=1.②由①,得-x+8y=5,③②+③,得6y=6,解得y=1.把y=1代入②,得x-2×1=1,解得x=3.∴原方程组的解为𝑥=3,𝑦=1.考向四一次方程(组)的应用例4[2019·安徽17题]为实施乡村振兴战略,解决某山区老百姓出行难问题,当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后,乙工程队加入,两工程队又联合工作了1天,这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米,按此速度完成这项隧道贯穿工程,甲乙两个工程队还需联合工作多少天?解:设甲工程队每天掘进x米,乙工程队每天掘进y米,根据题意,得𝑥-𝑦=2,3𝑥+𝑦=26,解得𝑥=7,𝑦=5,∴(146-26)÷(7+5)=10(天).答:甲乙两个工程队还需联合工作10天.|考向精练|1.数学文化[2018·安徽16题]《孙子算经》中有这样一道题,原文如下:“今有百鹿入城,家取一鹿不尽,又三家共一鹿适尽,问城中家几何?”大意为:今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完,问城中有多少户人家?请解答上述问题.解:设城中有x户人家,由题意得x+13x=100,解得x=75.答:城中有75户人家.2.数学文化[2017·安徽16题]《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文如下:今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?译文为:现有一些人共同买一个物品,每人出8元,还盈余3元;每人出7元,则还差4元.问共有多少人?这个物品的价格是多少?请解答上述问题.解:设共有x人,物品的价格为y元,依题意,得8𝑥-3=𝑦,7𝑥+4=𝑦.解得𝑥=7,𝑦=53.答:共有7个人,物品的价格为53元.