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专题五动态探究问题1.主要类型:(1)动点问题探究(2)动线问题探究(3)动图问题探究2.规律方法:(1)解决动态探究问题的关键是将运动的几何元素当作静止来加以解答,即“化动为静”的思路;并能在从相对静止的瞬间清晰地发现图形变换前后各种量与量之间的关系,通过归纳得出规律和结论,并加以论证.(2)从图形运动过程中可能出现的多种不同情境分别进行探讨,挖掘所蕴含的相同点与不同点,依据相关的数学知识谨慎求解,才有可能获得正确结论.(3)解答时应注重于分类讨论,切忌片面而失解,对于结论探索性问题,不妨假设结论成立,从而探索所需的条件,再结合已知条件作出决断.3.渗透的思想:分类讨论、转化思想、数形结合、函数与方程等.类型一动点问题【考点解读】1.考查范畴:动点探究问题包括单点运动和双点运动,大多依附于函数图象或三角形、四边形、圆等几何图形.2.考查角度:设计一个或几个动点,对动点运动过程中产生的变量关系、等量关系、图形性质、图形间的特殊关系进行探究.【典例探究】【典例1】(2019·广州中考)如图,等边△ABC中,AB=6,点D在BC上,BD=4,点E为边AC上一动点(不与点C重合),△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE.(1)当点F在AC上时,求证:DF∥AB.(2)设△ACD的面积为S1,△ABF的面积为S2,记S=S1-S2,S是否存在最大值?若存在,求出S的最大值;若不存在,请说明理由.(3)当B,F,E三点共线时.求AE的长.【思路点拨】(1)由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC=∠A,可证DF∥AB.(2)过点D作DM⊥AB交AB于点M,由题意可得点F在以D为圆心,CD为半径的圆上,由△ACD的面积为S1的值是定值,则当点F在DM上时,S△ABF最小,S最大.(3)过点D作DG⊥EF于点G,过点E作EH⊥CD于点H,由勾股定理可求BG的长,通过证明△BGD∽△BHE,可求EC的长,即可求AE的长.【自主解答】略【规律方法】解答动点问题的一般方法(1)仔细读题,分析给定条件中哪些量是运动的,哪些量是不动的.针对运动的量,要分析它是如何运动的,运动过程是否需要分段考虑.针对不动的量,要分析它们和动量之间可能有什么关系,如何建立这种关系.(2)画出图形,进行分析,尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系.如果没有静止状态,通过比例、相等等关系建立变量间的函数关系来研究.(3)做题过程中时刻注意分类讨论,不同的情况下题目是否有不同的表现,避免漏解.(4)设计速度的动点问题,要善于用路程表示线段的长度,利用方程思想解答.【题组过关】1.(2019·乐山中考)如图,抛物线y=x2-4与x轴交于A,B两点,P是以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,Q是线段PA的中点,连接OQ.则线段OQ的最大值是()14CA.3B.C.D.4412722.已知:如图,四边形ABCD,AB∥DC,CB⊥AB,AB=16cm,BC=6cm,CD=8cm,动点P从点D开始沿DA边匀速运动,动点Q从点A开始沿AB边匀速运动,它们的运动速度均为2cm/s.点P和点Q同时出发,以QA,QP为边作平行四边形AQPE,设运动的时间为t(s),0t5.根据题意解答下列问题:(1)用含t的代数式表示AP.(2)设四边形CPQB的面积为S(cm2),求S与t的函数解析式.(3)当QP⊥BD时,求t的值.(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点E在∠ABD的平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.略类型二动线问题【考点解读】1.考查范畴:动线问题探究中一般存在一条或几条直线(线段)的平移、翻折或旋转变换.2.考查角度:线的运动带动图形大小的变化,通常围绕求图形面积最值或探究运动过程中的特殊位置进行考查.【典例探究】典例2(2018·济南中考)如图,直线y=ax+2与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,b).将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移t(t0)个单位长度,得到对应线段CD,反比例函数y=(x0)的图象恰好经过C,D两点,连接AC,BD.kx(1)求a和b的值.(2)求反比例函数的解析式及四边形ABDC的面积.(3)点N在x轴正半轴上,点M是反比例函数y=(x0)的图象上的一个点,若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时,求所有满足条件的点M的坐标.kx【思路点拨】(1)利用坐标轴上的点的特点即可得出结论.(2)先表示出点C,D坐标,进而代入反比例函数解析式中求解得出k,再判断出BC⊥AD,最后用对角线积的一半即可求出四边形的面积.(3)分两种情况,构造全等的直角三角形即可得出结论.【自主解答】略【规律方法】解决动线探究问题的方法(1)画出直线或线段变化过程中不同位置的图形.(2)结合运动变化的不同阶段,判断随之而动的其他图形的一般位置和特殊位置.(3)根据探究内容(面积、特殊形状)进行解答.【题组过关】1.已知:A,B两点在直线l的同一侧,线段AO,BM均是直线l的垂线段,且BM在AO的右边,AO=2BM,将BM沿直线l向右平移,在平移过程中,始终保持∠ABP=90°不变,BP边与直线l相交于点P.(1)当P与O重合时(如图2所示),设点C是AO的中点,连接BC.求证:四边形OCBM是正方形.(2)请利用如图1所示的情形,求证:ABOM.PBBM＝【证明】(1)∵2BM=AO,2CO=AO,∴BM=CO,∵AO∥BM,∴四边形OCBM是平行四边形,∵∠BMO=90°,∴▱OCBM是矩形,∵∠ABP=90°,C是AO的中点,∴OC=BC,∴矩形OCBM是正方形.(2)连接AP,OB,∵∠ABP=∠AOP=90°,∴A,B,O,P四点共圆,由圆周角定理可知:∠APB=∠AOB,∵AO∥BM,∴∠AOB=∠OBM,∴∠APB=∠OBM,∴△APB∽△OBM,∴ABOM.PBBM＝2.(2019·新疆中考节选)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,4)三点.世纪金榜导学号(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.(2)将(1)中的抛物线向下平移个单位长度,再向左平移h(h0)个单位长度,得到新抛物线.若新抛物线的顶点D′在△ABC内,求h的取值范围.154【解析】(1)函数解析式为:y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4),即-4a=4,解得:a=-1,故抛物线的解析式为:y=-x2+3x+4,函数顶点D325().24，(2)抛物线向下平移个单位长度,再向左平移h(h0)个单位长度,得到新抛物线的顶点D′易求得直线AC的解析式为:y=4x+4,将点D′坐标代入直线AC的解析式得:,解得:h=,故:0h.15435(h)22，，534(h)422＝158158类型三动图问题【考点解读】1.考查范畴:图形运动探究问题主要有平移、旋转和折叠.2.考查角度:图形运动探究问题往往与图形变换相结合进行综合考查,常与探究性、存在性等结合考查.【典例探究】典例3(2019·天津中考)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(6,0),点B在y轴的正半轴上,∠ABO=30°.矩形CODE的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上,OD=2.(1)如图①,求点E的坐标.(2)将矩形CODE沿x轴向右平移,得到矩形C′O′D′E′,点C,O,D,E的对应点分别为C′,O′,D′,E′.设OO′=t,矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S.①如图②,当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时,C′E′,E′D′分别与AB相交于点M,F,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围;②当≤S≤时,求t的取值范围(直接写出结果即可).353【自主解答】略【规律方法】解决动图问题的方法(1)抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性.(2)运用特殊与一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段.(3)运用类别、转化的方法探究相同运动状态下共同性质.【题组过关】1.如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折叠纸片使B点落在边AD上的E处,折痕为PQ.过点E作EF∥AB交PQ于点F,连接BF.(1)求证:四边形BFEP为菱形.(2)当点E在AD边上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动.①当点Q与点C重合时(如图2),求菱形BFEP的边长;②若限定P,Q分别在边BA,BC上移动,求出点E在边AD上移动的最大距离.【解析】(1)∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处,折痕为PQ,∴点B与点E关于PQ对称.∴PB=PE,BF=EF,∠BPF=∠EPF.又∵EF∥AB,∴∠BPF=∠EFP.∴∠EPF=∠EFP.∴EP=EF.∴BP=BF=FE=EP.∴四边形BFEP为菱形.(2)①∵四边形ABCD为矩形,∴BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,∠A=∠D=90°.∵点B与点E关于PQ对称,∴CE=BC=5cm.在Rt△CDE中,DE2=CE2-CD2,即DE2=52-32,∴DE=4cm.∴AE=AD-DE=5-4=1(cm).∴在Rt△APE中,AE=1,AP=3-PB=3-PE,∴EP2=12+(3-EP)2,解得EP=cm.∴菱形BFEP的边长为cm.5353②当点Q与点C重合时,点E离A点最近,由①知,此时AE=1cm.当点P与点A重合时,如图3,点E离A点最远,此时四边形ABQE为正方形,AE=AB=3cm,∴点E在边AD上移动的最大距离为3cm.2.(2019·贵港中考)已知:△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C,记旋转角为α,当90°α180°时,作A′D⊥AC,垂足为D,A′D与B′C交于点E.世纪金榜导学号(1)如图1,当∠CA′D=15°时,作∠A′EC的平分线EF交BC于点F.①写出旋转角α的度数;②求证:EA′+EC=EF.(2)如图2,在(1)的条件下,设P是直线A′D上的一个动点,连接PA,PF,若AB=,求线段PA+PF的最小值.(结果保留根号)略2