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第十四讲二次函数的应用考点一应用二次函数解决抛物线型实际问题【主干必备】应用二次函数解决抛物线型实际问题的思路1.结合题意,建立恰当的平面直角坐标系.2.数形结合,根据题中所给的数据转化为点的坐标.3.求出抛物线解析式,应用二次函数性质或点的坐标的意义解决问题.【核心突破】例1(2018·衢州中考)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式.(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.【思路点拨】(1)根据顶点坐标可设二次函数的顶点式,代入点(8,0),求出系数的值,此题得解.(2)利用二次函数图象上点的坐标特征,求出当y=1.8时x的值,由此即可得出结论.(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标,由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=-x2+bx+,代入点(16,0)可求出b值,再利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式,即可得出结论.1515165【自主解答】(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=a(x-3)2+5(a≠0),将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得:25a+5=0,解得:a=-,15∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=-(x-3)2+5(0x8).(2)当y=1.8时,有-(x-3)2+5=1.8,解得:x1=-1(舍去),x2=7,∴为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.1515(3)当x=0时,y=-(x-3)2+5=.设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=-x2+bx+,∵该函数图象过点(16,0),∴0=-×162+16b+,解得:b=3,151651516515165∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为y=-x2+3x+=-(x-)2+.∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米.15165151522892028920【明·技法】抛物线型实际问题解题的关键、技巧及注意问题(1)解题的关键:进行二次函数建模,依据题意,建立合适的平面直角坐标系,并利用抛物线的性质解决问题.(2)解题技巧:所建立的坐标系能使所设的解析式形式最简.(3)注意问题:①题意分析不透,不能建立符合题意的函数模型或所建立的函数模型不正确,导致解题错误;②忽视了自变量的取值范围,造成错解;③由几何图形中的线段的长转化为坐标系中点的坐标时,忽视了线段所在的象限,造成符号错误.【题组过关】1.(2019·临沂中考)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40m;②小球抛出3秒后,速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度h=30m时,t=1.5s.其中正确的是()A.①④B.①②C.②③④D.②③D2.(2019·山西中考)北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥,拉锁与主梁相连,最高的钢拱如图2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱的函数表达式为世纪金榜导学号()BA.y=x2B.y=-x2C.y=x2D.y=-x226675266751313501313503.(2019·山东东营区月考)如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线最高点D到墙面OB的水平距离为6m时,隧道最高点D距离地面10m.世纪金榜导学号(1)求该抛物线的函数解析式.(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后宽为4m,高为6m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?【解析】(1)根据题意,该抛物线的顶点坐标为D(6,10),设抛物线解析式为y=a(x-6)2+10,将点B(0,4)代入,得:36a+10=4,解得:a=-,故该抛物线解析式为y=-(x-6)2+10.1616(2)由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)或(10,0),当x=2或x=10时,y=6,所以这辆货车能安全通过.223(3)令y=8,则-(x-6)2+10=8,解得x1=6+2,x2=6-2,则x1-x2=4,所以两排灯的水平距离最小是4m.163333考点二利润最大化问题【主干必备】应用二次函数性质解决最优化问题思路1.分析题中数量关系,确定变量.2.根据等量关系,构建二次函数模型.3.根据函数性质,确定最值.【核心突破】例2(2019·成都中考)随着5G技术的发展,人们对各类5G产品的使用充满期待,某公司计划在某地区销售一款5G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元,y与x之间满足如图所示的一次函数关系.(1)求y与x之间的关系式.(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台),p与x的关系可以用p=x+来描述.根据以上信息,试问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该产品每台的销售价格是多少元?1212【自主解答】(1)设函数的关系式为y=kx+b(k≠0),由图象可得,解得∴y与x之间的关系式为y=-500x+7500.kb7000,5kb5000,k500,b7500,(2)设销售收入为w万元,根据题意得,w=yp=(-500x+7500),即w=-250(x-7)2+16000,∴当x=7时,w有最大值为16000,此时y=-500×7+7500=4000(元).11(x)22答:第7个销售周期的销售收入最大,此时该产品每台的销售价格是4000元.【明·技法】二次函数在销售问题中的应用步骤①读懂题意,借助销售问题中的利润等公式寻找等量关系;②确定函数解析式;③确定二次函数的最值,解决实际问题.【易错提示】在求二次函数最值时,要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响.【题组过关】1.(2019·内蒙古呼和浩特期中)某商品的销售利润与销售单价存在二次函数关系,且二次项系数a=-1,当商品单价为160元和200元时,能获得同样多的利润,要使销售商品利润最大,销售单价应定为__________元.1802.(2019·黑龙江哈尔滨道外区期末)某商场经调研得出某种商品每天的利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx-75,其图象如图所示.(1)求a与b的值.(2)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(参考公式:当x=-时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最小(大)值)b2a(3)销售单价定在多少时,该种商品每天的销售利润为21元?结合图象,直接写出销售单价定在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于21元?【解析】(1)y=ax2+bx-75图象过点(5,0),(7,16),∴解得:(2)∵y=-x2+20x-75=-(x-10)2+25,∴当x=10时,y最大=25.25a5b75049a7b7516,，a1,b20.答:销售单价为10元时,该种商品每天的销售利润最大,最大利润为25元.(3)根据题意,当y=21时,得:-x2+20x-75=21,解得:x1=8,x2=12,∴x=8或x=12,即销售单价定在8元或12元时,该种商品每天的销售利润为21元;故销售单价在8≤x≤12时,销售利润不低于21元.3.(2019·南通二模)A厂一月份产值为16万元,因管理不善,二、三月份产值的月平均下降率为x(0x1).B厂一月份产值为12万元,二月份产值下降率为x,经过技术革新,三月份产值增长,增长率为2x.三月份A,B两厂产值分别为yA,yB(单位:万元).世纪金榜导学号(1)分别写出yA,yB与x的函数表达式.(2)当yA=yB时,求x的值.(3)当x为何值时,三月份A,B两厂产值的差距最大?最大值是多少万元?【解析】(1)根据题意可得:yA=16(1-x)2,yB=12(1-x)(1+2x).(2)由题意得16(1-x)2=12(1-x)(1+2x),解得:x1=,x2=1.∵0x1,∴x=.110110(3)当0x时,yAyB,yA-yB=16(1-x)2-12(1-x)(1+2x)=40∵x时,yA-yB的值随x的增大而减小,且0x,∴当x=0时,yA-yB取得最大值,最大值为4;当x1时,yByA,11021181(x)2010，1120110110yB-yA=12(1-x)(1+2x)-16(1-x)2=4(1-x)(10x-1)=-40∵-400,x1,∴当x=时,yB-yA取最大值,最大值为8.1.21181(x)2010，1101120∵8.14,∴当x=时,三月份A,B两厂产值的差距最大,最大值是8.1万元.1120考点三面积最大化问题【核心突破】例3(2018·福建中考)如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长.(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.【思路点拨】(1)设AB=xm,则BC=(100-2x)m,利用矩形的面积公式得到x(100-2x)=450,解方程得x1=5,x2=45,然后计算100-2x后与20进行大小比较即可得到AD的长.(2)设AD=ym,利用矩形面积得到S=y(100-y),然后配方,根据二次函数的性质得S的最大值.12【自主解答】(1)设AB=xm,则BC=(100-2x)m,根据题意得x(100-2x)=450,解得x1=5,x2=45,当x=5时,100-2x=9020,不合题意舍去;当x=45时,100-2x=10,∴AD的长为10m.(2)设AD=ym,∴S=y(100-y)=-(y-50)2+1250,当a≥50时,则y=50时,S的最大值为1250;1212当0a50时,则当0y≤a时,S随y的增大而增大,当y=a时,S的最大值为50a-a2,综上所述,当a≥50时,S的最大值为1250;当0a50时,S的最大值为50a-a2.1212【明·技法】二次函数在面积问题中的应用步骤①根据几何知识探求图形的面积关系式;②根据面积关系式确定函数解析式;③确定二次函数的最值,解决问题.【题组过关】1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ的面积的最小值为()DA.19cm2B.16cm2C.12cm2D.15cm22.(2019·连云港中考)如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD,其中∠C=120°.若新建墙BC与CD总长为12m,则该梯形