中考数学全程复习方略 第二十三讲 直角三角形的边角关系课件

第二十三讲直角三角形的边角关系考点一三角函数的定义【主干必备】锐角三角函数的概念如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别记为a,b,c.1.正弦:sinA==___.2.余弦:cosA==___.3.正切:tanA==___.锐角A的正弦、余弦、正切统称∠A的锐角三角函数.A的对边斜边A的邻边斜边AA的对边的邻边acbcab【微点警示】(1)注意自变量:锐角三角函数的自变量是角度,其取值范围是:0°α90°.(2)注意锐角三角函数的值:当∠A为锐角时,0sinA1,0cosA1,tanA0.【核心突破】例1(2019·甘肃中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,则cosB=___.3312【明·技法】根据定义求三角函数值的方法(1)分清直角三角形中的斜边与直角边.(2)正确地表示出直角三角形的三边长,常设某条直角边长为k(有时也可以设为1),在求三角函数值的过程中约去k.(3)正确应用勾股定理求第三条边长.(4)应用锐角三角函数定义,求出三角函数值.(5)求一个角的三角函数值时,若不易直接求出,也可把这个角转化成和它相等且位于直角三角形中的角.【题组过关】1.(概念应用题)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB⊥CD于点D,下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的是()CBDBCCDCDA.B.C.D.BCABBCAC2.(2019·宜昌中考)如图,在5×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,则sin∠BAC的值为世纪金榜导学号()4334A.B.C.D.3455D3.(2019·眉山中考)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=5,BC=12,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,使得点D落在AC上,则tan∠ECD的值为___.世纪金榜导学号324.如图,在平面直角坐标系中,直线OA过点(2,1),则tanα的值是___.世纪金榜导学号12考点二特殊角的三角函数值【主干必备】特殊角的三角函数值α30°45°60°sinα_________122232α30°45°60°cosα_________tanα_________3222123331【微点警示】(1)互余两角三角函数之间的关系:由上表可得,当两角互余时,一角的正弦值等于另一个角的余弦值,即当∠A+∠B=90°时,则sinA=cosB,cosA=sinB.(2)锐角三角函数值的变化规律:在锐角范围内,sinα、tanα的值随α的增大而增大,cosα的值随α的增大而减小.【核心突破】例2【原型题】(2018·青海中考)在△ABC中,若=0,则∠C的度数是___________.211|sinA|(cosB)2290°【变形题1】(变换条件)在△ABC中,若=0,则∠C的度数是___________.【变形题2】(变换结论)在△ABC中,若=0,则的值为________.2|sinA|222(cosB)290°1|sinA|221(cosB)2Ctan21【明·技法】熟记特殊角的三角函数值的两种方法(1)按值的变化:30°,45°,60°角的正余弦的分母都是2,正弦的分子分别是1,,,余弦的分子分别是,,1,正切分别是,1,.2332333(2)特殊值法:①在直角三角形中,设30°角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,,2;②在直角三角形中,设45°角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,1,.32【题组过关】1.(2019·天津中考)2sin60°的值等于()A.1B.C.D.2C232.当∠A为锐角,且cosA时,∠A的范围是()世纪金榜导学号A.0°∠A30°B.30°∠A60°C.60°∠A90°D.30°∠A45°B12323.(2019·杭州模拟)在△ABC中,已知∠A,∠B都是锐角,+(1-tanB)2=0,那么∠C的度数为_____.1|sinA|2105°4.(1)(2019·巴中中考)计算:+(3-π)0+|-2|+2sin60°-.(2)(2019·遂宁中考)计算:(-1)2019+(-2)-2+(3.14-π)0-4cos30°+|2-|.世纪金榜导学号略21()23812考点三解直角三角形【主干必备】一、解直角三角形:由直角三角形中的_______________,求出其余_______________的过程,叫做解直角三角形.已知元素未知元素二、直角三角形中的边角关系三边之间的关系____________两锐角之间的关系∠A+∠B=_________a2+b2=c290°边角之间的关系sinA=cosB=_____sinB=cosA=_____tanA=_____,tanB=_____acbcabba三、解直角三角形的类型及解法已知条件图形解法一条直角边a及其对角∠A由∠B=90°-∠A求得∠B;c=,b=(或b=)asinAatanA22ca已知条件图形解法斜边c及其一角∠A由∠B=90°-∠A求得∠B;a=c·sinA,b=c·cosA(或b=)22ca已知条件图形解法两条直角边a,b由c=求得c;由tanA=求得∠A,再由∠B=90°-∠A求得∠B22abab【微点警示】解直角三角形的必要条件:解直角三角形有多种类型,但无论哪种类型都至少已知一条边长.【核心突破】例3(2018·自贡中考)如图,在△ABC中,BC=12,tanA=,∠B=30°,求AC和AB的长.34【思路点拨】作CH⊥AB于H.在Rt△BCH中求出CH,BH,在Rt△ACH中求出AH,AC即可解决问题.【自主解答】略【明·技法】解直角三角形的规律解直角三角形的方法可概括为:“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦),无斜用切(正切),宁乘勿除,取原避中”,即当已知斜边时,就用正弦(或余弦),无斜边时,就用正切;当求值时可用乘法又可用除法时,则用乘法,不用除法;当可用已知数据又可用中间数据求解时,则用原始数据,尽量避免用中间数据.【题组过关】1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,AC=,则∠A=()A.90°B.60°C.45°D.30°515D2.在Rt△ABC中,∠C=90°,由下列条件解直角三角形:(1)已知c=20,∠A=60°,则a=______.(2)已知b=35,∠A=45°,则a=_________.103?353.(2019·绵阳中考)在△ABC中,若∠B=45°,AB=10,AC=5,则△ABC的面积是_____________.世纪金榜导学号2575或254.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=,解这个直角三角形.世纪金榜导学号26【解析】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=,∴AB=tanA=∴∠A=60°,∴∠B=30°,即AB=2,∠A=60°,∠B=30°.2222ACBC(2)(6)22＝，BC63AC2，262考点四解直角三角形的应用【主干必备】1.仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线___________的叫做仰角,在水平线___________的叫做俯角.上方下方2.坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度h和________________之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母______表示,即i=___;坡面与_____________的夹角叫做坡角,记作α.所以i=___=tanα.水平宽度lihl水平面hl3.方位角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方位角.【微点警示】(1)注意仰角、俯角的区别:仰角的视线在水平线上,俯角的视线在水平线下.(2)注意坡度的实际含义:坡度不是坡角的度数,而是坡角的正切值.(3)注意方位角的基准线:方位角的基准线是南北方向线,先说“南或北”,再说偏东或偏西多少度.【核心突破】例4(2019·随州中考)在一次海上救援中,两艘专业救助船A,B同时收到某事故渔船的求救讯息,已知此时救助船B在A的正北方向,事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上,在救助船B的西南方向上,且事故渔船P与救助船A相距120海里.(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离.(2)若救助船A,B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发,匀速直线前往事故渔船P处搜救,试通过计算判断哪艘船先到达.【自主解答】略【明·技法】应用解直角三角形解决实际问题的方法与步骤(1)构造直角三角形:根据实际问题情境画出直角三角形,若无现成的直角三角形,则需要作垂线等构造出直角三角形.(2)解直角三角形:得到直角三角形后,将题干中的已知量和三角形的边角对应起来,看能否直接求解,若不能则需要设某一线段长为x,列方程求解.【题组过关】1.(2019·北部湾中考)小菁同学在数学实践活动中测量路灯的高度,如图,已知她的目高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°,再往前走3米站在C处,看路灯顶端O的仰角为65°,则路灯顶端O到地面的距离约为(结果精确到0.1米.已知sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan65°≈2.1)世纪金榜导学号()A.3.2米B.3.9米C.4.7米D.5.4米C2.(2019·长沙中考)如图,一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向,距离灯塔60nmile的小岛A出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处,这时轮船B与小岛A的距离是世纪金榜导学号()DA.30nmileB.60nmileC.120nmileD.(30+30)nmile333.(2019·潍坊中考)自开展“全民健身运动”以来,喜欢户外步行健身的人越来越多,为方便群众步行健身,某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示,改造前的斜坡AB=200米,坡度为1∶;将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后,斜坡AB改造为斜坡CD,其坡度为1∶4.求斜坡CD的长.(结果保留根号)3略