中考数学全程复习方略 第二十二讲 图形的相似与位似课件

第二十二讲图形的相似与位似考点一平行线分线段成比例【主干必备】1.平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所截,所得_______________成比例.对应线段2.平行线分线段成比例定理的推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得________________成比例.对应线段【微点警示】(1)注意对应性:如图,AB∥CD∥EF,则可得等多个比例式,其对应关系可简述为:ACBDCEDF，上上下下，，下下上上.上上下下，等全全全全CEDFACBDCEDFACBDAEBFAEBF，，(2)注意辅助线:为了充分利用平行线分线段成比例定理及其推论,在已知线段比值的情况下往往过关键点作某一线段的平行线.【核心突破】例1(2018·梧州中考)如图,AG∶GD=4∶1,BD∶DC=2∶3,则AE∶EC的值是()A.3∶2B.4∶3C.6∶5D.8∶5D【明·技法】应用平行线分线段成比例解决问题的技巧(1)若已知条件中有平行线,求两条线段的比,可直接应用平行线分线段成比例定理求解.(2)若已知条件中无平行线,但告知线段的比,可先通过作平行线创造应用定理的条件.【题组过关】1.(2019·杭州中考)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连接AM交DE于点N,则()CADANBDMNA.B.ANAEMNCEDNNEDNNEC.D.BMMCMCBM2.(2019·淮安中考)如图,l1∥l2∥l3,直线a,b与l1,l2,l3分别相交于点A,B,C和点D,E,F.若AB=3,DE=2,BC=6,则EF=________.世纪金榜导学号4考点二相似三角形的判定与性质【主干必备】判定判定1:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原_____________相似.判定2:三边_____________的两个三角形相似.判定3:两边_____________且_______________的两个三角形相似.判定4:两角_______________的两个三角形相似.三角形成比例成比例夹角相等分别相等性质性质1:相似三角形的对应角___________,对应边的比___________.性质2:相似三角形周长的比等于______________.性质3:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于_____________.性质4:相似三角形面积的比等于相似比的___________.相等相等相似比相似比平方【微点警示】(1)根据条件快选判定:有平行线一般用判定1,网格中三角形相似一般用判定2或判定3,有公共角、对顶角或圆中的三角形一般用判定4.(2)注意面积特殊之处:相似三角形对应线段比、周长比都等于相似比,唯独面积比等于相似比的平方.【核心突破】命题角度1:相似三角形的判定例2(2018·临安中考)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()B命题角度2:相似三角形的性质例3(2019·常德中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形面积为1,△ABC的面积为42,则四边形DBCE的面积是()A.20B.22C.24D.26D命题角度3:相似三角形的判定与性质例4(2019·凉山州中考)如图,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.(1)求证:BD2=AD·CD.(2)若CD=6,AD=8,求MN的长.【自主解答】(1)∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB,且∠ABD=∠BCD=90°,∴△ABD∽△BCD,∴,∴BD2=AD·CD.(2)略ADBDBDCD【明·技法】1.判定三角形相似的“五个基本思路”(1)条件中若有平行线,可采用相似三角形的预备定理.(2)条件中若有一对等角,可再找一对等角或再找夹这对等角的两边对应成比例.(3)条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等.(4)条件中若有一对直角,可考虑再找一对等角或证明夹直角的两条直角边对应成比例.(5)条件中若有等腰三角形,可找顶角相等,或一对底角相等,或找底和腰对应成比例.2.相似三角形性质的三个应用(1)利用相似三角形对应角相等计算角的度数.(2)利用相似三角形对应线段成比例确定已知线段和未知线段的关系,建立方程求出未知线段的长或解决与比例式(等积式)有关的证明问题.(3)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,周长比等于相似比求三角形的面积或周长.【题组过关】1.(2019·上海崇明区模拟)如图,如果∠BAD=∠CAE,那么添加下列一个条件后,仍不能确定△ABC∽△ADE的是()CA.BDBCAEDABDEABACCDADBCADAE＝．＝．＝．＝2.(2019·巴中中考)如图▱ABCD,F为BC中点,延长AD至E,使DE∶AD=1∶3,连接EF交DC于点G,则S△DEG∶S△CFG=()A.2∶3B.3∶2C.9∶4D.4∶9D3.(2019·自贡中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,CD∥AB,∠ABC的平分线BD交AC于点E,DE=.世纪金榜导学号9554.(易错警示题)如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.当这两个直角三角形相似时,AB的长为_________.6332或考点三相似三角形的实际应用【主干必备】应用相似三角形解决实际问题的一般步骤:(1)画图:根据实际问题情境,画出几何图形.(2)判定:判定几何图形中有哪些三角形相似,必要时通过作辅助线构造出相似三角形.(3)性质:运用相似三角形的性质得到包含已知线段和未知线段的比例式.(4)结论:通过解方程得到未知线段(或图形周长、面积),结合所求写出实际问题答案.【核心突破】例5(2018·陕西中考)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C,A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.【思路点拨】由BC∥DE,可得,构建方程即可解决问题.BCABDEAD＝【自主解答】∵BC∥DE,∴△ABC∽△ADE,∴AB=17(m),经检验:AB=17是分式方程的解.答:河宽AB的长为17m.BCAB1ABDEAD1.5AB8.5＝，＝，【明·技法】运用相似三角形解决实际问题的一般步骤1.由实际问题抽象出几何图形.2.根据几何图形判定得出相似三角形.3.根据相似三角形的性质得到方程.4.解方程求出有关线段长度.5.写出实际问题的答案.【题组过关】1.(2019·毕节中考)如图,在一块斜边长30cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF,点D在边BC上,点E在斜边AB上,点F在边AC上,若AF∶AC=1∶3,则这块木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面积为()A.100cm2B.150cm2C.170cm2D.200cm2A2.(生活情境题)如图,王明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知纸板的两条边DF=50cm,EF=30cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=20m,则树高AB为_____________.16.5m3.(2019·西安莲湖区模拟)如图,阳光通过窗口照到某个房间内,竖直窗框AB在地面上留下的影子长度DE=1.8m,已知点E到窗下墙角的距离CE=3.9m,窗框底边离地面的距离BC=1.4m,试求窗框AB的长.世纪金榜导学号【解析】连接AB,由于阳光是平行光线,即AE∥BD,所以∠AEC=∠BDC.又因为∠C是公共角,所以△AEC∽△BDC,从而有.又AC=AB+BC,DC=EC-ED,EC=3.9m,ED=1.8m,BC=1.4m,于是有,解得AB=1.2m.答:窗框AB的长为1.2m.ACECBCDC＝AB1.43.91.43.91.8＝考点四位似【主干必备】定义两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点连线都经过_____________,对应边_______________(或在同一直线上),这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心同一点互相平行性质1.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于_____________.2.在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形上的对应点的坐标的比等于_____________相似比k或-k【微点警示】(1)注意位似和相似的关系:位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.(2)注意位似中心的位置:位似中心可能在图形外,也可能在图形内或图形上.(3)注意关于原点的位似:在平面直角坐标系中,一个图形关于原点的位似图形有两个,一个同象限,一个异象限.【核心突破】例6(2019·滨州中考)在平面直角坐标系中,△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-4,0),O(0,0).以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的,得到△CDO,则点A的对应点C的坐标是_____________________.12(-1,2)或(1,-2)【明·技法】根据关于原点的位似变化求点的坐标的要点(1)先明确已知点的坐标及相似比.(2)区分原图形与位似图形是同侧还是异侧.(3)分别把横、纵坐标与相似比(或相似比的相反数)相乘.【题组过关】1.(2019·河池中考)如图,以点O为位似中心,将△OAB放大后得到△OCD,OA=2,AC=3,则=___.ABCD252.(2019·巴中中考)△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示.世纪金榜导学号(1)以点C为位似中心,作出△ABC的位似图形△A1B1C,使其位似比为1∶2.且△A1B1C位于点C的异侧,并表示出A1的坐标.(2)作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C.(3)在(2)的条件下求出点B经过的路径长.略