中考数学全程复习方略 第八讲 一元二次方程课件

第八讲一元二次方程考点一一元二次方程的概念和解法【主干必备】一元二次方程的概念及解法概念只含有_________个未知数,且未知数的最高次数是________的整式方程,叫做一元二次方程.一2一般形式一般形式:______________________.其中ax2是_____________,a是__________________,bx是_____________,b是__________________,c是_____________.解法解一元二次方程的基本思想是_________,主要方法有:直接开平方法、_________法、公式法、_______________法等.ax2+bx+c=0(a≠0)二次项二次项系数一次项一次项系数常数项降次配方因式分解【微点警示】(1)必备三要素:①整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.(2)一般判别方法:判断一个方程是不是一元二次方程,不能只看形式,要根据整理后的结果确定.(3)特殊判别方法:二次项系数含有字母时,若字母取值不明确,不一定是一元二次方程.(4)隐含条件应用:若明确指出方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程,那么就隐含了a≠0这一重要条件.【核心突破】【例1】(1)(2019·兰州中考)x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b=()A.-2B.-3C.-1D.-6A(2)(2019·威海中考)一元二次方程3x2=4-2x的解是______________________.12113113xx33＝，＝【明·技法】一元二次方程的解法最优选择解法形式备注直接开平方法x2=p(p≥0)应用于特殊结构的方程(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)配方法(x-m)2=n(n≥0)最基本的方法解法形式备注公式法ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)最通用的方法,适合所有方程因式分解法(x-x1)(x-x2)=0适用于方程一边等于0,另一边易因式分解的情况【题组过关】1.(2019·广东模拟)关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一个根是0,则m的值为世纪金榜导学号()A.2B.-2C.-2或2D.0B2.(2019·资阳中考)a是方程2x2=x+4的一个根,则代数式4a2-2a的值是________.3.(2019·南京秦淮区期中)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,a≠0)配方后为(x+1)2=d(d为常数),则=________.世纪金榜导学号81b2a4.(2019·襄阳襄州区期末)解方程(1)(x-2)(x+4)=6.(2)(2019·安徽模拟)(2x+3)2-81=0.【解析】(1)x2+2x-14=0,x2+2x+1=15,(x+1)2=15,x+1=±所以x1=-1+,x2=-1-.(2)(2x+3)2=81,2x+3=±9,解得:x1=-6,x2=3.15，1515考点二一元二次方程根的判别式【主干必备】根的判别式关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=____________.b2-4ac判别式与根的关系(1)b2-4ac0⇔一元二次方程____________________的实数根.(2)b2-4ac=0⇔一元二次方程__________________的实数根.(3)b2-4ac0⇔一元二次方程________实数根.有两个不相等有两个相等没有【微点警示】(1)判别式使用前提:先把方程化为一般形式,以便正确找出a,b,c的值,以防出错.(2)认知误区:一元二次方程有两个相等的实数根时,不要误认为只有一个实数根.(3)一元二次方程有实数根的含义:①有两个相等的实数根;②有两个不相等的实数根.此时隐含条件为:二次项系数不为0,且b2-4ac≥0.【核心突破】【例2】【原型题】(2018·菏泽中考)关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是()A.k≥0B.k≤0C.k0且k≠-1D.k≤0且k≠-1D【变形题1】(变换结论)关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两个实数根,当k取最大整数值时,判断方程(k-1)x2+2x+1=0的根的情况.【解析】根据题意得k+1≠0且Δ=(-2)2-4(k+1)≥0,解得k≤0且k≠-1.∴k的最大整数值是0,∴当k=0时,方程(k-1)x2+2x+1=0为-x2+2x+1=0,Δ=22-4×1×(-1)=80,∴方程-x2+2x+1=0有两个不相等的实数根.【变形题2】(变换条件)已知关于x的方程(k+1)x2-2x+1=0有实数根,求k的取值范围.【解析】当k+1=0,即k=-1时,方程为-2x+1=0,解得x=当k+1≠0,即k≠-1时,Δ=(-2)2-4(k+1)≥0,解得k≤0且k≠-1.综上所述,k的取值范围是k≤0.1.2【明·技法】根据b2-4ac判断根的情况的“三步骤”(1)将方程化为一般形式,确定a,b,c的值.(2)求出b2-4ac的值.(3)根据b2-4ac的值与0的大小关系判断一元二次方程根的情况.【题组过关】1.(2019·安徽模拟)关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2+1=0有实数根,则k的取值范围是()A.k≤B.kC.k≥D.kA343434432.(2019·齐齐哈尔克东期末)当k5时,关于x的一元二次方程x2+4x+k=0的根的情况是()世纪金榜导学号A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根DC.有两个实数根D.没有实数根3.(2019·枣庄中考)已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是_____________.1aa03＞且4.(2019·连云港中考)已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根,则+c的值等于________.世纪金榜导学号1a2考点三一元二次方程的应用【主干必备】1.传播问题若a表示传播之前的人数,x表示每轮每人传播的人数,n表示传播的轮数,b表示最终的总人数,则___________.a(1+x)n=b2.增长(降低)率问题有关公式增长数=基数×增长率;实际数=基数+增长数.(1)两次增长,且增长率相等的问题的基本等量关系式为:原来的×_________________=后来的.(1+增长率)2(2)两次下降,且下降率相等的问题的基本等量关系式为:原来的×_________________=后来的.(1-下降率)2【微点警示】(1)增长率的取值范围为x≥0.(2)降低率的取值范围为0≤x1.(3)求解后一定不要忘记检验所求结果是否满足这个条件.【核心突破】【例3】(1)(2018·绵阳中考)在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为()A.9人B.10人C.11人D.12人C(2)(2019·长沙中考)近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次.①如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;②按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?【自主解答】①设增长率为x,根据题意,得2(1+x)2=2.42,解得x1=-2.1(舍去),x2=0.1=10%.答:增长率为10%.②2.42×(1+0.1)=2.662(万人次).答:预计第四批公益课受益学生将达a到2.662万人次.【明·技法】列一元二次方程解决实际应用题的一般步骤(1)审题:仔细阅读题目、分析题意,明确题目要求,弄清已知量、未知量及它们之间的等量关系.(2)设未知数:有直接设未知数和间接设未知数两种,因题而异.(3)列方程:根据题意,找出能表示应用题全部含义的一个等量关系,用含有未知数的代数式表示出有关的未知量,列出方程.(4)解方程:利用配方法、公式法、因式分解法等方法求出所列方程的解.(5)检验:检验未知数的值是否符合所列方程,以及是否使实际问题有意义.(6)答:根据题意,写出合理的答案.【题组过关】1.(2019·武汉蔡甸区期中)有一个人收到短信后,再用手机转发短信,每人只转发一次,经过两轮转发后共有133人收到短信,问每轮转发中平均一个人转发给多少个人.()A.9B.10C.11D.12C2.(2019·山西中考)如图,在一块长12m,宽8m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77m2,设道路的宽为xm,则根据题意,可列方程为_____________________.世纪金榜导学号(12-x)(8-x)=773.(2019·深圳二模)某超市去年12月份的销售额为100万元,今年2月份的销售额比今年1月份的销售额多24万元,若去年12月份到今年2月份每个月销售额增长的百分数相同.求:(1)这个相同的百分数.(2)2月份的销售额.【解析】(1)设这个相同的百分数为x,由题意得100(x+1)2=100(x+1)+24,解得:x1=-1.2(不合题意舍去),x2=0.2=20%.答:这个相同的百分数为20%.(2)2月份的销售额100×1.22=144(万元).答:2月份的销售额为144万元.4.(2019·南昌一模)淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动.甲网店销售的A商品的成本为30元/件,网上标价为80元/件.世纪金榜导学号(1)“双十一”购物活动当天,甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客,问该店平均每次降价率为多少时,才能使A商品的售价为39.2元/件?(2)“双十一”活动之前,乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致,一周可售出1000件A商品.在“双十一”购物活动当天,乙网店先将A商品的网上标价提高a%,再推出五折促销活动,吸引了大量顾客,乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%,“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元,求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价.【解析】(1)设平均每次降价率为x,才能使这件A商品的售价为39.2元,根据题意得:80(1-x)2=39.2,解得:x1=0.3=30%,x2=1.7(不合题意,舍去).答:平均每次降价率为30%,才能使这件A商品的售价为39.2元.(2)根据题意得:[0.5×80(1+a%)-30]×1000(1+2a%)=30000,整理得:a2+75a-2500=0,解得:a1=25,a2=-100(不合题意,舍去),∴80(1+a%)=80×(1+25%)=100.答:乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元.