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第一部分专题复习讲义专题二能量与动量第一讲功、功率和动能定理知识内容考试要求备考指津1.追寻守恒量——能量b1.对功和功率等基本概念的考查往往涉及对概念的理解，一般以选择题的形式出现．2．动能定理是高考考查的重点，考查形式有选择题，也有计算题．计算题中单纯考查动能定理的题目较少，往往与其他知识综合在一起考查.2.功c3.功率c4.重力势能c5.弹性势能b6.动能和动能定理d功的理解与计算【题组过关】1．(2019·浙江省名校联考)“激流勇进”是一种常见的水上机动游乐设备，常见于主题游乐园中．游客们在一定安全装置的束缚下，沿着设计好的水道漂行．其间通常会有至少一次大幅度的机械提升和瞬时跌落．图中所示为游客们正坐在皮筏艇上从高处沿斜坡水道向下加速滑行，在此过程中下列说法正确的是()A．合力对游客做负功B．皮筏艇对游客不做功C．重力对游客做正功D．游客的机械能增加解析：选C.加速下滑，合力沿斜坡向下，合力做正功，选项A错误，重力做正功，选项C正确；皮筏艇对游客的摩擦力做负功，机械能减少，选项B、D错误．2．一物体静止在粗糙水平地面上．现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v.若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v.对于上述两个过程，用WF1、WF2分别表示拉力F1、F2所做的功，Wf1、Wf2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则()A．WF24WF1，Wf22Wf1B．WF24WF1，Wf2＝2Wf1C．WF24WF1，Wf2＝2Wf1D．WF24WF1，Wf22Wf1解析：选C.物体两次的加速度之比a2∶a1＝2vt∶vt＝2∶1，位移之比l2∶l1＝2v2t∶v2t＝2∶1，摩擦力之比f2∶f1＝1∶1，由牛顿第二定律得F－f＝ma，则拉力之比F2∶F1＝(ma2＋f)∶(ma1＋f)2，做功之比WF2∶WF1＝(F2·l2)∶(F1·l1)4，Wf2∶Wf1＝(－f2·l2)∶(－f1·l1)＝2∶1，故C正确．3．(多选)(2019·宁波模拟)如图所示，摆球质量为m，悬线长为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球运动过程中空气阻力F阻的大小不变，则下列说法正确的是()A．重力做功为mgLB．悬线的拉力做功为零C．空气阻力F阻做功为－mgLD．空气阻力F阻做功为－12F阻πL解析：选ABD.由重力做功特点得重力做功为：WG＝mgL，A正确；悬线的拉力始终与v垂直，不做功，B正确；由微元法可求得空气阻力做功为：WF阻＝－12F阻πL，D正确．1．功的正、负的判断方法(1)恒力做功的判断：依据力与位移的夹角来判断．(2)曲线运动中做功的判断：依据F与v的方向夹角α来判断，0≤α90°，力对物体做正功；90°α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功．(3)依据能量变化来判断：功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功．此法常用于判断两个相互联系的物体之间的相互作用力做功的情况．2．求解变力做功的几种思路(1)利用动能定理W＝ΔEk或功能关系W＝ΔE计算能量变化量ΔE或ΔEk，即等量替换的物理思想．(2)当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功，如机车以恒定功率启动．(3)当变力方向不变，大小与位移成正比时，可用力对位移的平均值F＝12(F初＋F末)来计算．(4)当变力大小不变，方向在变化且力的方向始终与速度方向相同或相反时，功可用力与路程的乘积计算．(5)用变力F随位移x的变化图象与x轴所围的“面积”计算功．注意x轴上、下两侧分别表示正、负功．对功率的理解与计算【重难提炼】1．平均功率的计算(1)利用P－＝Wt.(2)利用P－＝F·v－cosα，其中v－为物体运动的平均速度，F为恒力．2．瞬时功率的计算(1)利用公式P＝F·vcosα，其中v为t时刻的瞬时速度．(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度．(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力．对于α变化的不能用公式P＝Fvcosα计算平均功率．3．两种启动方式的比较两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动P－t图和v－t图OA段过程分析v↑⇒F＝P（不变）v↓⇒a＝F－F阻m↓a＝F－F阻m不变⇒F不变，v↑⇒P＝Fv↑直到P额＝Fv1两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动OA段运动性质加速度减小的加速直线运动匀加速直线运动，维持时间t0＝v1aAB段过程分析F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝Pvmv↑⇒F＝P额v↓⇒a＝F－F阻m↓运动性质以vm做匀速直线运动加速度减小的加速运动BC段无F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝P额F阻做匀速直线运动某汽车发动机的额定功率为60kW，汽车质量为5t，汽车在运动中所受阻力的大小恒为车重的0.1.(g取10m/s2)(1)若汽车以额定功率启动，则汽车所能达到的最大速度是多少？当汽车速度达到5m/s时，其加速度是多少？(2)若汽车以恒定加速度0.5m/s2启动，则其匀加速过程能维持多长时间？[审题突破](1)达到最大速度时，汽车处于什么状态？(2)v＝5m/s时，牵引力多大？(3)以加速度0.5m/s2启动时，牵引力多大？此阶段能达到的最大速度为多少？[解析](1)当汽车的加速度为零时，汽车的速度v达到最大值vm，此时牵引力与阻力相等，故最大速度为vm＝PF＝PFf＝60×1030.1×5000×10m/s＝12m/sv＝5m/s时的牵引力F1＝Pv＝60×1035N＝1.2×104N，由F1－Ff＝ma得：a＝F1－Ffm＝1.2×104－0.1×5×103×105×103m/s2＝1.4m/s2.(2)当汽车以a′＝0.5m/s2的加速度启动时的牵引力F2＝ma′＋Ff＝(5000×0.5＋0.1×5×103×10)N＝7500N匀加速运动能达到的最大速度为v′m＝PF2＝60×1037500m/s＝8m/s由于此过程中汽车做匀加速直线运动，满足v′m＝a′t故匀加速过程能维持的时间t＝v′ma′＝80.5s＝16s.[答案](1)12m/s1.4m/s2(2)16s【题组过关】考向一平均功率与瞬时功率1．(2019·杭州二模)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用．力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则()A．3t0时刻的瞬时功率为5F20t0mB．3t0时刻的瞬时功率为15F20t0mC．在0～3t0这段时间内，水平力的平均功率为23F20t04mD．在0～3t0这段时间内，水平力的平均功率为25F20t08m解析：选B.2t0时刻的速度大小v2＝a1·2t0＝2F0mt0，3t0时刻的速度大小为v3＝v2＋a2t0＝F0m·2t0＋3F0mt0＝5F0t0m，3t0时刻力F＝3F0，所以瞬时功率P＝3F0·v3＝15F20t0m，选项A错误，B正确；0～3t0时间段内，水平力对物体做功W＝F0x1＋3F0x2＝F0×12·F0m(2t0)2＋3F0·v2＋v32t0＝25F20t202m，平均功率P＝Wt＝25F20t06m，选项C、D均错误．考向二以恒定功率启动方式的求解2．某车以相同的功率在两种不同的水平路面上行驶，受到的阻力分别为车重的k1和k2倍，最大速率分别为v1和v2，则()A．v2＝k1v1B．v2＝k1k2v1C．v2＝k2k1v1D．v2＝k2v1解析：选B.车以最大速率行驶时，牵引力F等于阻力Ff，即F＝Ff＝kmg.由P＝k1mgv1及P＝k2mgv2，得v2＝k1k2v1，故B正确．考向三以恒定牵引力启动方式的求解3．(多选)(2019·宁波月考)下列各图是反映汽车(额定功率P额)从静止开始匀加速启动，最后做匀速直线运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图象，其中正确的是()解析：选ACD.从静止开始匀加速启动，由公式P＝Fv及题意知，当力恒定时，随着速度的增加功率P增大，当P＝P额时，功率不再增加，此时，牵引力F大于阻力f，速度继续增加，牵引力减小，此后汽车做加速度逐渐减小的加速运动，当F＝f时，速度达最大，做匀速直线运动．由以上分析知，B错误，A、C、D正确．4．某汽车集团公司研制了一辆燃油与电动混合动力赛车，燃油发动机单独工作时的额定功率为P，蓄电池供电的电力发动机单独工作时的额定功率为3P4，已知赛车运动过程中受到的阻力恒定．(1)若燃油发动机单独工作时的最大速度为120km/h，则两台发动机同时工作时的最大速度为多少？(2)若赛车先单独启动电力发动机从静止开始做匀加速直线运动，经过t1时间达到额定功率，然后以燃油发动机的额定功率单独启动继续加速，又经过t2时间达到最大速度v0，赛车总质量为m，求赛车的整个加速距离．解析：(1)燃油发动机单独工作，P＝F1v1＝fv1两台发动机同时工作，P＋3P4＝F2v2＝fv2最大速度v2＝7v14＝210km/h.(2)燃油发动机的额定功率为P，最大速度为v0，阻力f＝Pv0匀加速过程功率随时间均匀增加，发动机的平均功率为3P8，设总路程为s，由动能定理有3P8t1＋Pt2－fs＝12mv20解得s＝P（3t1＋8t2）v0－4mv308P.答案：(1)210km/h(2)P（3t1＋8t2）v0－4mv308P1．计算功率的基本思路(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率，然后明确所用公式．(2)判断变力的瞬时功率的变化情况时，若F大小不变，根据F与v的夹角的变化，由P＝F·vcosθ判断，若F的大小和F、v夹角均变化时，可先把F做功转换成其他恒力做功，然后再判断．2．机车启动问题中的三个重要关系式(1)无论哪种运动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝PFmin＝PF阻(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)．(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝PF＜vm＝PF阻.(3)机车以恒定功率运动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小．动能定理的应用【重难提炼】(多选)如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连．现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点．已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM∠OMNπ2.在小球从M点运动到N点的过程中，()A．弹力对小球先做正功后做负功B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差[解析]小球在从M点运动到N点的过程中，弹簧的压缩量先增大，后减小，到某一位置时，弹簧处于原长，再继续向下运动到N点的过程中，弹簧又伸长．弹簧的弹力方向与小球速度的方向的夹角先大于90°，再小于90°，最后又大于90°，因此弹力先做负功，再做正功，最后又做负功，A项错误；弹簧与杆垂直时，小球的加速度等于重力加速度，当弹簧的弹力为零时，小球的加速度也等于重力加速度，B项正确；弹簧长度最短时，弹力与小球的速度方向垂直，这时弹力对小球做功的功率为零，C项正确；由于在M、N两点处，弹簧的弹力大小相等，即弹簧的形变量相等，根据动能定理可知，小球从M点到N点的过程中，弹簧的弹力做功为零，重力做功等于动能的增量，即小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差，D项正确．[答案]BCD【题组过关】考向一运用动能定理求变力做功1.如图所示，在外力作用下某质点运动的v－t图象为正弦曲线．从图中可以判断()A．在0～t1时间内，外力做负功B．在0～t1时间内，外力的功率逐渐增大C．在t2时刻，外力的功率最大D．在t1～t3时间内，外力做的总功为零解析：选D.由动能定理可知，在0～t1时间内质点速度越来越大，动能越来越大，外力一定做正功，故A项错误；在t1～t3时间内，动能变化量为零，可以判定外力做的总功为零，故D项正确；由P＝F·v知0、t1、t2、t3四个时刻功率为零