大学复变函数课件-复数与复变函数

第一章复数与复变函数第一节复数1．复数域每个复数z具有xiy的形状，其中x和Ry，1i是虚数单位；x和y分别称为z的实部和虚部，分别记作zxRe，zyIm。复数111iyxz和222iyxz相等是指它们的实部与虚部分别相等。如果0Imz，则z可以看成一个实数；如果0Imz，那么z称为一个虚数；如果0Imz，而0Rez，则称z为一个纯虚数。复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(bbiaaibaiba)1221()2121()22)(11(babaibbaaibaiba()()11121221122222()222222aibaabbababiaibabab复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。2．复平面C也可以看成平面2R，我们称为复平面。作映射：),(:2yxiyxzRC，则在复数集与平面2R之建立了一个1-1对应。横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。3．复数的模与辐角复数zxiy可以等同于平面中的向量。向量的长度称为复数的模，定(,)xy义为：22||zxy；向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Argarctan2yzix（kZ）。复数的共轭定义为：zxiy；复数的三角表示定义为：||(cossin)zzArgziArgz；复数加法的几何表示：设1z、2z是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212zzzz；（2）、||||||||1212zzzz；（3）、||||||1212zzzz；（4）、||||||||1212zzzz；（5）、|Re|||,|Im|||zzzz；（6）、2||zzz；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0axybxcyd（0a）其中a,b,c,d是实常数。解：方程为0azzzzd，其中1()2bic。yx012zz12zz2z2z1z2z例1.2、设1z、2z是两个复数，证明,12121212zzzzzzzz11zz利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设1z、2z是两个非零复数，则有||(cossin)1111zzArgziArgz,||(cossin)2222zzArgziArgz则有||||[cos()121212sin()]12zzzzArgzArgziArgzArgz即||||||1212zzzz，()1212ArgzzArgzArgz，其中后一个式子应理解为集合相等。同理，对除法，有/||/||[cos()121212sin()]12zzzzArgzArgziArgzArgz即|/|||/||1212zzzz，(/)1212ArgzzArgzArgz，其后一个式子也应理解为集合相等。例1.3、设1z、2z是两个复数，求证：222||||||2Re(),121212zzzzzz例1.4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点a,b,c的圆的表示式。解：直线：Im0zaba；圆：Im()0zacazbcbababc4．复数的乘幂与方根利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：||(cossin)nnzznArgzinArgz令1nznz，则||[cos()sin()]nnzznArgzinArgz进一步，有111||[cos()sin()]nnzzArgziArgznn共有n-个值。例1.5、求4(1)i的所有值。解：由于12(cossin)44ii，所以有1184(1)2[cos(2)sin(2)]4444ikik84(1)2[cos()sin()]162162kkii其中，0,1,2,3k。第二节复平面上的点集1．初步概念：设,(0,)aCr，a的r-邻域(,)Uar定义为{|||,},zzarzC称集合{|||,},zzarzC为以a为中心，r为半径的闭圆盘，记为(,)Uar。设,ECaC，若0,(,)rUarE中有无穷个点，则a称为E的极限点；若0r，使得(,)UarE，则称a为E的内点；若0,(,)rUarE中既有属于E的点，由有不属于E的点，则称a为E的边界点；集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，记为E；EE称为E的闭包，记为E；若0r，使得(,){}UarEa，则称a为E的孤立点（是边界点但不是聚点）；开集：所有点为内点的集合；闭集E：或者没有聚点，或者所有聚点都属于E；则任何集合E的闭包E一定是闭集；如果0r，使得(0,)EUr，则称E是有界集，否则称是E无界集；复平面上的有界闭集称为紧集。例1.6、圆盘(,)Uar是有界开集；闭圆盘(,)Uar是有界闭集；例1.7、集合{|||}zzar是以a为心，半径为r的圆周，它是圆盘(,)Uar和闭圆盘(,)Uar的边界。例1.8、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。例1.9、集合{|0||}Ezzar是去掉圆心的圆盘。圆心aE，它是E的孤立点，是集合E的聚点。无穷远点的邻域：0r，集合{|||,}zzrzC称为无穷远点的一个邻域。类似地有，聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。C我们也称为C的一点紧化。2．区域、曲线复平面C上的集合D，如果满足：（1）、D是开集；（2）、D中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于D。则称D是一个区域。结合前面的定义，有有界区域、无界区域。性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。区域D内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。扩充复平面C上不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。设已给(),()zztatb如果Re()zt和Im()zt都在闭区间[,]ab上连续，则称集合{()|[,]}zttab为一条连续曲线。如果对[,]ab上任意不同两点1t及2t，但不同时是[,]ab的端点，我们有()()12ztzt，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。若还有()()zazb，则称为一条简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。若尔当定理:任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。光滑曲线：如果Re()zt和Im()zt都在闭区间[,]ab上连续，且有连续的导函数，在[,]ab上，'()0zt则称集合{()|[,]}zttab为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。设D是一个区域，在复平面C上，如果D内任何简单闭曲线的内区域中每一点都属于D，则称D是单连通区域，否则称D是多连通区域。C中区域的连通性：如果D内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于D，则称D是单连通区域，否则称D是多连通区域。例1.10集合{|(1)(1)0}ziziz为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线(1)(1)0iziz即0xy。例1.11集合{|2Re3}zz为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为直线Re2z及Re3z。例1.12集合{|2arg()3}zzi为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线arg()2zi及arg()3zi。例1.13集合{|2||3}zzi为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆||2zi及||3zi。例1.14在C上，集合{|2||}zz与{|2||}zz分别为单连通及多连通的无界区域，其边界分别为{||2}z及{||2}{}z。第三节复变函数1．复变函数的概念设在复平面C上以给点集E。如果有一个法则f，使得zxiyE，Cwuiv同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函数，简称为复变函数，记为()wfz。注解1、同样可以定义函数的定义域与值域；注解2、此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个w和z对应；注解3、复变函数等价于两个实变量的实值函数：若zxiy，Re()Im()(,)(,)wfzifzuxyivxy，则()wfz等价于两个二元实变函数(,)uuxy和(,)vvxy。函数f也称为从E到C上的一个映射或映照。把集合E表示在一个复平面上，称为z-平面；把相应的函数值()wfz表示在另一个复平面上，称为w-平面。从集合论的观点，令{()|}AfzzE，记作()AfE，我们称映射()wfz把任意的0zE映射成为()00wfzA，把集E映射成集A。称0w及A分别为0z和E的象，而称0z和E分别为0w及A的原象。若()wfz把E中不同的点映射成A中不同的点，则称它是一个从E到A的双射。例1.15考虑映射wz。解：设zxiy，wuiv，aib，则有uxa，vyb，这是一个z平面到w平面的双射，我们称为一个平移。例1.16考虑映射wz，其中0。解：令(cossin)ri，则它可以分解为以下两个映射的复合：(cossin)i，wr第一个映射是一个旋转（旋转角为），第二个映射是一个以原点为中心的相似映射。例1.17考虑映射1wz。解：它可以分解为以下两个映射的复合：11zz，1wz映射1wz是一个关于实数轴的对称映射；映射11zz把z映射成1z，其辐角与z相同：ArgArgArg1zzz而模11||||1||zzz，满足||||11zz。我们称11zz为关于单位圆的对称映射，z与1z称为关于单位圆的互相对称点。若规定1wz把0,z映射成,0w，则它是一个扩充z平面到扩充w平面的一个双射。例1.18、考虑映射2wz。解：2222()2wzxiyxyixy等价于22uxy，2vxy。2．复变函数的极限设函数()wfz在集合E上确定，0z是E的一个聚点，a是一个复常数。如果任给0，可以找到一个与有关的正数()0，使得当zE，并且0||0zz时，|()|fza，则称a为函数()fz当z趋于0z时的极限，记作：lim()()()0,0fzafzazzzzzE或当注解：1、复变函数的极限等价于两个实变二元函数的重极限。2、关于极限的和、差、积、商等性质可以不加改变的推广到复变函数。3．复变函数连续性的定义设函数()(,)(,)wfzuxyivxy在集合E上确定，0zE是E的一个聚点，如果lim()()00fzfzzz成立，则称()fz在0z处连续；如果()fz在E中每一点连续，则称()fz在E上连续。注解1如果000zxiy，则()fz在0z处连续的充要条件为：lim(,)(,)00,00lim(,)(,)00,00uxyuxyxxyyvxyvxyxxyy即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性；注解2连续函数的四则运算结论成立：两个复变函数连续的加、减、乘、除（分母不等于零）是复变函数连续；注解3如果函数()wfz在集E上连续，并且函数值属于集F，而在集F上，函数()gw连续，那么复合函数[()]()gfzgfz在E上连续。4．一致连续性设函数()wfz在集合E上确定，如果任给0，可以找到一个仅与有关的正数()0，使得当',''zzE，并且|'''|zz时，|(')('')|fzfz，则称函数()fz在E上一致连续。定理1.1、设函数)(zf在简单曲线或有界闭区域E上连续，那么它在E上一致