大学复变函数课件-复变函数

第二章复变函数第一节解析函数的概念及C.-R.方程1、导数、解析函数定义2.1：设()wfz是在区域D内确定的单值函数，并且0zD。如果极限00,0()()limzzzDfzfzzz存在，为复数a，则称)(zf在0z处可导或可微，极限a称为)(zf在0z处的导数，记作0'()fz，或0zzdwdz。定义2.2：如果()fz在0z及0z的某个邻域内处处可导，则称()fz在0z处解析；如果()fz在区域D内处处解析，则我们称()fz在D内解析，也称()fz是D的解析函数。解析函数的导（函）数一般记为'()fz或d()dfzz。注解1、语言，如果任给0，可以找到一个与有关的正数()0，使得当zE，并且0||zz时，00()()||fzfzazz，则称)(zf在0z处可导。注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。解析函数的四则运算：()fz和()gz在区域D内解析，那么()()fzgz，()()fzgz，()/()fzgz（分母不为零）也在区域D内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：(()())''()'()[()()]''()()()'()fzgzfzgzfzgzfzgzfzgz2()'()()()'()()[()]'fzfzgzfzgzgzgz。复合求导法则：设()fz在z平面上的区域D内解析，()wF在平面上的区域1D内解析，而且当zD时，1()fzD，那么复合函数[()]wFfz在D内解析，并且有d[()]d()d()dddFfzFfzzz求导的例子：（1）、如果()fza（常数），那么d()0dfzz；（2）、d1dzz，1ddnnznzz；（3）、z的任何多项式01()...nnPzaazaz在整个复平面解析，并且有112'()2...nnPzaaznaz（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z是实变量时相同。2、柯西-黎曼条件可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理2.1设函数(,)(,)(,)fxyuxyivxy在区域D内确定，那么(,)fxy在点zxiyD可微的充要条件是：1、实部(,)uxy和虚部(,)vxy在(,)xy处可微；2、(,)uxy和(,)vxy满足柯西-黎曼条件（简称CR方程）uvuvxyyx证明：（必要性）设()fz在zxiyD有导数aib，根据导数的定义，当zzD时(0)z()()(||)fzzfzzoz()()(||)aibxiyoz其中，zxiy。比较上式的实部与虚部，得(,)(,)(||)uxxyyuxyaxbyoz(,)(,)(||)vxxyyvxybxayoz因此，由实变二元函数的可微性定义知，(,)uxy，(,)vxy在点(,)xy可微，并且有,,,uuvvxyxyabba因此，柯西-黎曼方程成立。（充分性）设(,)uxy，(,)vxy在点(,)xy可微，并且有柯西-黎曼方程成立：uvuvxyyx设,,uvxxab则由可微性的定义，有：(,)(,)(||)uxxyyuxyaxbyoz(,)(,)(||)vxxyyvxybxayoz令zxiy，当zzD（0z）时，有()()(||)fzzfzzoz()()(||)aibxiyoz令aib，则有00()()(||)limlim()zzfzzfzozzz所以，(,)fxy在点zxiyD可微的。定理2.2设函数(,)(,)(,)fxyuxyivxy在D区域D内确定，那么(,)fxy在区域D内解析的充要条件是：1、实部(,)uxy和虚部(,)vxy在D内可微；2、(,)uxy)和(,)vxy在D内满足柯西-黎曼条件（简称CR方程）uvuvxyyx关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是CR方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；注解2、解析函数的导数形式更简洁：'()uvvvuuvuxxyxxyyyfziiii公式可避免利用定义计算带来的困难。注解3、利用两个定理，可以判断一个复变函数是否在一点可微或在一个区域内解析。3、例题例1证明()fzzxiy在任何点都不可微。解(,),1,0,xyuxyxuu(,),0,1xyvxyyvv，四个偏导数在复平面内连续，但任何点都不满足CR方程，故()fzzxiy在任何点都不可微。例2试讨论定义于复平面内的函数222()()2fzzxyixy的可导性。解：22(,),2,2,xyuxyxyuxuy(,)2,2,2,xyvxyxyvyvx四个偏导数在复平面内连续，且()fz在复平面内满足CR方程，故222()()2fzzxyixy在复平面内处处可导。例3设函数3232()()fzmynxyixlxy在复平面可导，试确定常数,,mnl之值。解3222(,),2,3,xyuxymynxyunxyumynx3222(,),3,2,xyvxyxlxyvxlyvlxy由CR方程,xyyxuvuv得()0,xynl（1）222233mynxxly（2）由（1）得,nl（3）由（2）得30,n（4）30,ml（5）解（3），（4），（5）得3,1nlm。第二节初等解析函数11、、幂幂函函数数利利用用对对数数函函数数，，可可以以定定义义幂幂函函数数：：设设a是是任任何何复复数数，，则则定定义义z的的a次次幂幂函函数数为为Ln(0)aazwzez当当a为为正正实实数数，，且且0z时时，，还还规规定定0az。由于ln2(ln10,arg)aazakiwzeez因此，对同一个0,azwz的不同数值的个数等于不同数值的因子2(),akiekZ个个数数。。22、、幂幂函函数数的的基基本本性性质质：：11、、由由于于对对数数函函数数的的多多值值性性，，幂幂函函数数一一般般是是一一个个多多值值函函数数；；2、当当a是正整数时，幂函数是一个单值函数；3、当当1an（当当n是正整数）时，幂函数是一个n值函数；4、当当man是有理数时，幂函数是一个n值函数；5、当当a是无理数或虚数时，幂函数是一个无穷值多值函数。设在区域G内，我们可以把Lnz分成无穷个解析分支。对于Lnz的一个解析分支，相应地az有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则，awz的这个单值连续分支在G内解析，并且lnd1daazwzaeazzz,其中az应当理解为对它求导数的那个分支，lnz应当理解为对数函数相应的分支。对应于Lnz在G内任一解析分支：当a是整数时，az在G内是同一解析函数；当(1)mann既约分数，时，az在G内有n个解析分支；当当a是无理数或虚数时，幂函数az在G内有无穷多个解析分支，是一个无穷值多值函数。例如当n是大于1的整数时，1nnwzz称为根式函数，它是nzw的反函数。当0z时，有1111ln2(ln||arg)21(arg2)||(arg,)zkizizkinnnnnizknnwzeeeezezkZ这是一个n值函数。在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得得区域D内，它有n个不同的解析分支：1(arg2)||(arg;0,1,...,1)izknnwzezkn它们也可以记作12(1)iknnnwze，这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相应的连续分支在该处所取的值一致。当a不是整数时，原点及无穷远点是awz的支点。但按照a是有理数或者a不是有理数，这两个支点具有完全不同的性质。为了理解这些结论，我们在0或无穷远点的充分小的邻域内，任作一条简单闭曲线C围绕0或无穷远点。在C上任取一点1z，确定Argz在1z的一个值11argz；相应地确定(ln)aaziArgzwze,在1z的一个值111(lnarg)lnazizazee。现在考虑下列两种情况：(1)a是有理数(1)mnn既约分数，，当一点z从1z出发按反时针或顺时针方向连续变动n周时，argz从1连续变动到12n，而mnwz则从111ln(ln||)mmzzinnee相应地连续变动到11(ln2)lnmmznznnee,也即第一次回到了它从1z出发时的值。这时，我们称原点和无穷远点是mnwz的1n阶支点，也称1n为阶代数支点。（2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点是awz的无穷阶支点。当a不是整数时，由于原点和无穷远点是awz的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连续曲线作为割线1K，得一个区域1D。在1D内，可以把awz分解成解析分支。关于幂函数awz当a为正实数时的映射性质，有下面的结论：设是一个实数，并且0,2a。在z平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域*D。考虑*D内的角形:0argAz，并取awz在*D内的一个解析分支(11)aawz当z描出A内的一条射线0:arglz时（不包括0），w在w平面描出一条射线10:arglwa。让0从0增加到（不包括0及），那么射线l扫过角形A，而相应的射线1l扫过角形1:0argAwa，因此(11)aawz把夹角为的角形双射成一个夹角为a的角形，同时，这个函数把A中以原点为心的圆弧映射成中1A以原点为心的圆弧。类似地，我们有，当1n是正整数时，nwz的n个分支12(1)(0,1,2,...,1)iknnnwzekn分别把区域*D双射成w平面的n个角形22(1)argkkwnn.3、例题例1、作出一个含i的区域，使得函数()(2)wzzzz在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在i点的值。解：由于1[(1)(2)]22|(1)(2)|iArgzArgzArgzwzzze我们先求函数w的支点。因为12z的支点是0及无穷远点，所以函数w可能的支点是0、1、2及无穷远点。任作一条简单连续闭曲线C，使其不经过0、1、2，并使其内区域含0，但不包含1及2。设1z是C上一点，我们确定Argz、(1)Argz及(2)Argz在这点的值分别为111arg,arg(1),arg(2)zzz。当z从1z按反时针方向沿C连续变动一周时，通过连续变动可以看到，1argz增加了2，而11arg(1),arg(2)zz没有变化，于是w在1z的值就从1111[argarg(1)arg(2)]221111|(1)(2)|izzzzzzew连续变动到1)]2arg()1arg(2[arg221111111|)2)(1(|wezzzzzzi因此0是函数w的一个支点；同时，任作一条简单连续闭曲线C，使其不经过0、1、2，并使其内区域含1，但不包含0及2。设1z是C上一点，我们确定Argz、(1)Argz及(2)Argz在这点的值分别为111arg,arg(1),arg(2)zzz。当z从1z按反时针方向沿C连续变动一周时，通过连续变动可以看到