大学物理课件-波动2

§6波所传播的能量一、机械能1.小质元的势能ΔWp=F(Δl–Δx)绳子上一小质元的势能，等于张力拉伸绳子的功。F－绳子中的张力Δl－被拉伸了的小质元的长度Δx－小质元的原长ΔWp=F(Δl–Δx)22)()(yxlΔ+Δ=Δ212)(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΔΔ+Δ=xyx⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΔΔ+Δ≈2)(211xyxxxyxlΔΔΔ≈Δ−Δ2)(21xxyFWΔ=Δ2p)dd(212uFμ=2222p21sin[()]2xWuAtxuuωμωΔ=−Δ)(cosuxtAy−=ωxuxtAWΔ−=Δμωω)]([sin21222pxuxtAWΔ−=Δμωω)]([sin21222pVuxtAWΔ−=Δ)(sin21222pωωρmuxtAΔ−=)]([sin21222ωω考虑三维2.动平衡位置在x处的质元的速ty∂∂=v)(sinuxtA−−=ωωx，x+Δx段的动能2k21vmWΔ=Δ221vVΔρ=VuxtAΔ−=)(sin21222ωωρ=ΔWpVuxtAWWΔ−=Δ=Δ)(sin21222pkωωρ)(cosuxtAy−=ωyOxu讨论：FΔWp、ΔWk均随时间周期性变化，一周期内有两个极大值，一个在最疏（拉伸最大）处，一个在最密（压缩最大）处，此时质元过平衡位置，具有最大的振动速度。y=0→ΔWp、ΔWk最大|y|最大→ΔWp、ΔWk为0F与孤立系统的能量的区别：ΔWp=ΔWk两者同相变化，动能与势能同时最大，同时最小。波动过程也是能量的传递过程。VuxtAWWΔ−=Δ=Δ)(sin21222pkωωρ3.机械能ΔW=ΔWk+ΔWpVuxtAΔ−=)(sin222ωωρ讨论：+x一定，ΔW随t变化，每一个小质元拥有的能量在不停的变化.+t一定，ΔW随x周期性变化.+波动是能量的传递过程.+以上结论即适用于横波又适用于纵波.oyTtΔWkΔWpx=x0(1/4)ρω2A2oyλΔWkΔWpt=t0u(1/4)ρω2A2x简谐波在媒质中传播时，各质元都作简谐振动.设质元Δm的动能为ΔWk,弹性势能为ΔWp.则(A)Δm通过平衡位置时，ΔWk最大，ΔWp=0(B)Δm到达正负最大位移时，ΔWp最大，ΔWk=0．(C)ΔWk和ΔWp的最大值都在质元到达正负最大位移时．(D)ΔWk和ΔWp的最大值都在质元通过平衡位置时.答案：D二、能量密度1能量密度w媒质单位体积内的能量。VWwΔΔ=)(sin222uxtA−=ωωρ能量极大值点满足2π)12()(+=−kuxtω0dd=−xutωωutx=dd能量密度取极大值的点以速度u沿x轴的正向传播。对于简谐波，波的相速度就是能量的传递速度。VuxtAWΔ−=)(sin222ωωρ∫=TtwTw0d1∫−=TtuxtAT0222d)(sin1ωωρ∫−=TtuxtAT0222d)(sin1ωωρ∫−−=TtuxtAT022d)](2cos1[211ωωρ2221ωρA=2221ωρAw=222π2νρA=2wA∝、ν2和ρ.此公式适用于各种弹性波。2平均能量密度w一周期内能量密度的平均值。™™三、能流1定义：单位时间内通过媒质中某面积的能量。uudtΔS时间dt内通过ΔS的能量为wΔV=wΔSudt能流PttSuwPddΔ=SuwPΔ=)(sin222uxtSAuP−Δ=ωωρ能流P随时间周期性变化。)(sin222uxtAw−=ωωρSuwΔ=SuAΔ=2221ωρ能流P对时间的平均值单位：W（瓦特）uwSPI=Δ=2221ωρuA=波的强度正比于振幅的平方。I∝A22能流密度、波的强度I波的强度I（平均能流密度）的定义：能流密度的时间平均值。单位：W/m2能流密度的定义：垂直于波的传播方向上单位面积的能流。uzρ=定义：介质的特性阻抗2221ωzA=光强声强uS1S2T内通过S1和S2内的能量相等（能量守恒）I1S1T=I2S2TS1=S2I1=I2A1=A2振幅不变。例：在各向同性、均匀、无吸收媒质中的平面波的振幅。例：在各向同性、均匀、无吸收媒质中球面波的振幅。r1r2S1S2解：TuSATuSA222212212121ωρωρ=222121SASA=S1=4πr12S2=4πr2222222121rArA=1221rrAA=rA1∝令：r=1,A=A1rAA1=)(cos1urtrAy−=ω－球面简谐波的波函数。I1S1T=I2S2T一、惠更斯原理1.原理:•媒质中波传到的各点,都可看作开始发射子波的子波源(点波源)。•以后任一时刻,这些子波面的包络面就是波在该时刻的波前。2.应用:t时刻波面→判断t+Δt时刻波面→波的传播方向§7惠更斯原理平面波判断t+Δt时刻波面uΔt波传播方向t时刻波面球面波tt+Δt3.不足二、波的衍射1.现象水波通过窄缝时的衍射(a)Waterwavespassingbladesofgrass(b)Stickinwater(c)Short-wavelengthwavespassinglog(d)Long-wavelengthwavespassinglog波的衍射：波传播过程中遇到障碍物时,能绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象。粗略地讲：波长与障碍物或孔的尺度相比拟时，衍射现象比较明显。a···2.作图可用惠更斯原理作图。相对障碍物（包括孔、缝）的线度而言，波长大衍射现象明显，波长小衍射现象不明显。·入射波衍射波障碍物衍射波入射波障碍物三、波的折射(透射)和反射1.反射波与半波损失特性阻抗Z=ρuƒ机械波Z1Z2波疏介质：Z1相对小波密介质：Z2相对大当波由波疏介质向波密介质垂直入射时，反射波有π的相位突变，也就是半个波长的损失，这种现象称为半波损失。ƒ光波折射率n小的为光疏介质，n大的为光密介质。波密到波疏，无半波损失.2.透射或折射的波无半波损失现象。波的反射和折射遵从的规律（自学）。与光类似。Partialtransmissionandreflectionamplitudesofawavetravellingfromalowtohighrefractiveindexmedium.§8波的叠加驻波一、波传播的独立性媒质中同时有几列波时,每列波都将保持自己原有的特性(传播方向、振动方向、频率等),不受其它波的影响。二、波的叠加原理在几列波相遇而互相交叠的区域中，某点的振动是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成。（仍可辨出不同乐器的音色、旋律）▲红、绿光束空间交叉相遇（红仍是红、绿仍是绿）（仍能分别接收不同的电台广播）▲听乐队演奏▲空中无线电波很多水波的干涉三、波的干涉1.干涉现象波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布。水波盘中的干涉现象2.相干条件(1)频率相同(2)有恒定的相位差(3)振动方向相同相干波源相干波3.波场的强度分布S1：ξ10=A10cos(ωt+ϕ10)，S2：ξ20=A20cos(ωt+ϕ20)①波场中任一点的合振动设振动方向垂直于屏面••S2S1r1r2·p波到达p点，两分振动为ξ1=A1cos(ωt+ϕ10−kr1)，ξ2=A2cos(ωt+ϕ20−kr2)相位差:Δϕ=(ϕ20–ϕ10)–k(r2–r1)λπ2=k波源的初相差波的传播路径不同引起的相差强度合振幅p点合振动)cos(21ϕωξξξ+=+=tAϕΔ++=cos22121IIIIIΔϕ=(ϕ20–ϕ10)–k(r2–r1))](π2cos[2121020212221rrAAAAA−−−++=λϕϕξ1=A1cos(ωt−kr1+ϕ10)ξ2=A2cos(ωt−kr2+ϕ20)λπ2=k••S2S1r1r2·p)(π2121020rr−−−=Δλϕϕϕ=±2mπ，(m=0,1,2,…)加强条件(相长干涉)212221max2AAAAA++==A1+A22121max2IIIII++=若A1=A2,则Imax=4I1=±(2m+1)π(m=0,1,2,…)减弱条件(相消干涉)若A1=A2,则Imin=02121min2IIIII−+=212221min2AAAAA−+==⏐A1−A2⏐②加强、减弱条件)](π2cos[2121020212221rrAAAAA−−−++=λϕϕϕΔ++=cos22121IIIII+减弱条件特例：ϕ20=ϕ10),2,1,0(12…=±=−=mmrrλδ),2,1,0(2)12(12…=+±=−=mmrrλδ)(π2121020rr−−−=Δλϕϕϕ)(π212rr−−=Δλϕ)(12rr−=δ波程差+加强条件振动减弱振动增强振动增强振动减弱振动减弱振动增强振动增强例：同一媒质中两波源A、B相距30m。两波源振幅相同，频率均为ν=100ΗΖ，位相差为π。已知该介质中波速为u=400m/s，求：A、B两点间因干涉而静止点的坐标。解1：OxyABpxuu)π2cos(pxtAyλω−=+]π)30(π2cos[p+−−=−xtAyλωΔϕ=ϕ−−ϕ+)π2(π)30(π2xtxtλωλω−−+−−=π)302(π2+−=xλΔϕ=(2m+1)π（m=0,±1,±2,…)π)12(π)302(π2+=+−mxλνλu=)m(4100400==mx215+=tAyAωcos=)πcos(+=tAyBω干涉静止点mx215+=（m=0,±1,±2,…)m=0x=15m=±1x=17,13m=±2x=19,11m=±3x=21,9m=±4x=23,7m=±5x=25,5m=±6x=27,3m=±7x=29,1m=±8x=31,−1(舍)OxABPxuuy)]15(π2cos[+−=+xtAyλω]π)15(π2cos[+−−=−xtAyλω解2：π2π2+=Δxλϕπ)1(+=xΔϕ=(2m+1)πx=2m（m=0,±1,±2,…)15m=0,±1,±2,…±7干涉静止点例：如图，两波源A、B相距30cm，初相差为π，两简谐振动的振幅为1cm,频率为10Hz。CB垂直于AB，CB=40cm。若使C处振动加强，求：相干波满足的条件。ABCr1r230cm解：40cm)π210π2cos(111rtyλ−⋅⋅=)ππ210π2cos(122+−⋅⋅=rtyλ)π210π2(ππ210π212rtrtλλϕ−⋅−+−⋅=Δπ)(π221+−=rrλ若振动加强π2π)(π221mrr±=+−λ)cm(104050)(21=−=−rr(cm)(cm)m=1,2,3,...ABCr1r230cm40cmπ2π)(π221mrr±=+−λ104050)(21=−=−rrπ2π10π2m±=+λm2120±=+λ1220−±=mλ0λ1220−=mλ(m=1,2,3,...)(cm)(m=1,2,3,...)C处振动加强,波长为：(cm)四、驻波(StandingWave)1.形成同一介质中，两列频率相同，振动方向相同，振动幅相同的简谐波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加形成驻波。BmA两固定端AB2.分析),π2cos(11ϕλω+−=xtAy)π2cos(22ϕλω++=xtAy①驻波表达式21yyy+=)2cos()2π2cos(22112ϕϕωϕϕλ++⋅−+=txAy)π2cos()π2cos(21ϕλωϕλω++++−=xtAxtA取ϕ1=ϕ2进行分析txAyωλcosπ2cos2⋅=xAλπ2cos2振幅各点作简谐振动，振幅不同),(),(xtyxxtty≠Δ+Δ+不是行波波腹：振幅最大的各点1π2cos=xλ2,1,0,ππ2±±==mmxλ,2λmx=波节：振幅为零2,1,0,2π)12(π2±±=+=mmxλ,4)12(λ+=mx②波腹和波节txAyωλcosπ2cos2⋅=nannnnaaan:波节一段波腹：振幅最大的各点。2λmx=波节：振幅为零4)12(λ+=mx相邻波腹或波节的距离,2λ一段内：xAλπ2cos2相邻段：③相位分段振动！！txAyωλcosπ2cos2⋅=同号,各点相位相同xAλπ2cos2符号相反,相邻段相位相反+--+各象限cos符号3.驻波形成图示t=0t=T/8t=T/4t=3T/8t=T/2波节