大学物理-热学中气体分子运动论2

§4麦克斯韦速率分布律(MaxwellDistributionofSpeeds)设总分子数为N，某一速率区间v~v+dv，该速率区间内分子数dNv，一、速率分布函vv+dvvNNvdvvd)(f=速率分布函数fvvvd()dNfN=定dNv=Nf(v)dvdNv占总分子数的百分比单位：s/m速率分布函数fvvvdd)(NNf=1)速率v附近单位速率区间内分子数占总分子数的百分比。1d0=∫∞NNv1d)(0=∫∞vvfvv+dvv归一化条件意义2)NNvd为一个分子的速率在v→v+dv区间内的概率vvddNN为一个分子的速率在v附近单位速率区间内的概率f(v)叫做分子速率分布的概率密度二、麦克斯韦速率分布1.麦克斯韦速率分布律：平衡态下，忽略分子间的相互作用，无外场时，分布在v─v+dv速率区间内的分子数占总分子数的百分比为：vvvvd)(π4d22232π2kTmeNNkTm−=T：热力学温标.m:分子质量.k:玻耳兹曼常量.麦克斯韦速率分布函数2223)(π4)(π2vv2vkTmefkTm−=2.实验验证真空L分子通过细槽的条件ωφ=vLLφω=vφφωΔ=Δ2Lv改变角速度ω的值，可探测到不同速率分子的个数。φ:入口和出口狭缝处半径间的夹角3.麦克斯韦速率分布函数f(v)的性质f(v)f(vp)vv+dvvvp面积=dNvN22223)(π4)(π2vvvkTmefkTm−=(1)麦克斯韦速率分布曲线¾v的取值范围0→∞.¾v很大或很小的几率很少，中等速率的较多.¾宽度为dv窄条的意义.¾只适用于平衡态.¾整个曲线下面积为1.0最概然速率vpf'(v)=0f(v)f(vp)vvp(2)最可几速率vp①什么是最可几（概然）速②物理意义：一定温度下，对相同的速率区间，vp所在区间内的分子数占总分子数的百分比最大，气体分子速率在vp所在区间内的几率最大。③vp的确定μRTmkT22p==vOf(v)f(vp)vpvv+dvv面积=dNvN22232)(π4)(π2vvvkTmefkTm−=0d)(d=vvfλ)2(22222kTmkTkTmmeevvvvv−−−=λμRTmkT22p==vμRT41.1=2vvvp223p2p)(π4)(π2kTmefkTm−=21)π8(1RTeμ=μRT41.1p=v02=−kTmvvf(v)温度越高，速率大的分子数越多.μRTmkT22p==vp1p2p3,vvv321TTT↑pv↑TF分子质量一定f(vp3)vvp1f(vp1)f(vp2)T1T3T2vp2vp3温度低时速率分布曲线瘦、高，分子落在vp附近的概率相对大;温度高时速率分布曲线低、宽,分子落在vp附近的概率相对0讨21p)π8(1)(RTefμ=vf(v)f(vp2)vvp1f(vp1)μ1μ2μRTmkT22p==vμ1p∝vO2H2vp20F温度一定4.麦克斯韦速率分布律的应用（1）平均速率速率在v→v+dv区间的分子数vvd)(dNfN=它们的速率之和vvvd)(Nf∫∞=0d)(vvvNf全部N个分子的速率之和平均速率∫∫∞∞==00d)(d)(vvvvvvvfNNf22232)(π4)(π2vvvkTmefkTm−=vvvd)(π4032232π2∫∞−=kTmekTmvvvvd)(π4032232π2∫∞−=kTmekTm20321d2λλ=∫∞−vvvekTm2=λ223)2(21)(π4π2mkTkTm=v223)π2()(π2π2mkTkTm=21)π2(π2mkT=vmkTπ8=μπ8RT=88ππkTRTmμ==v平均速率方均根速NNf∫∞=022d)(vvvv504π83d2λλ=∫∞−vvvevvvd)(π4042232π2∫∞−=kTmekTmmkT3=μRT3=求方均根速∫∞=02d)(vvvfμRTmkT332==v2πd02=∫∞−vve参考公式μπ8π8RTmkT==vμRTmkT22p==v2pvvvμRT40.1=μRT60.1=μRT73.1=μRTmkT332==vm:分子质量，μ：气体的摩尔质量，Τ:热力学温标vf(v)vpvavvrmsT1T2T1dv例：说明下式的物理意1.f(v)dv2.Nf(v)dv∫21d)(.3vvvvf1.f(v)dv=dN/N意义1：v→v+dv区间内的分子数占总分子数的百分比。意义：v→v+dv区间内的分子数。2.Nf(v)dvvv+dvvf(v)0意义2：任意取一个分子，其速率在v→v+dv区间内的概率。例：说明下式的物理意∫21d)(.3vvvvfNN21vv→Δ=v1→v2区间内分子数占总分子数的百分比。vv+dvvf(v)v1v20例：说明下式的物理意义。∫∫2121d)(d)(vvvvvvvvvffNN速率在（v1→v2）区间分子的平均速率。∫21d)(212vvvvvfNm速率在（v1→v2）区间内分子的平动动能之vvvvd)(π4d22232π2kTmeNNkTm−=令pvv=upvvu=)(d)(π4p2p22232p2π2vvvuuekTmukTm−=mkT22p=v122p=kTmvumkTueukTmd)2()(π4232232π2−=uuemkTukTmd)π2()(π4222323π2−=uueudπ422−=uNNufudd)(=22π4ueu−=§5玻耳兹曼分布假如气体分子有势能Ep=Ep(x，y，z),E=Ep+Ek玻耳兹曼推广：速度在vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz区间、位置在x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz区域内的分子数目为准确描述玻耳兹曼统计，引入一概念---微观状态22232)(π4)(π2vvvkTmefkTm−=zyxeNzyxkTEdddddddvvv−∝微观状态：一气体分子处于速度区间vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz，位置区间x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz，称该分子处于一种微观状态，dvxdvydvzdxdydz所限定的区域称为状态区间。玻耳兹曼统计：温度T的平衡状态下，任何系统的微观粒子按状态的分布，即在某一状态区间的粒子数，与该状态区间的一个粒子的能量E有关，且与e－E/kT成正比。玻耳兹曼因其它情形，如原处于不同能级的原子数目E0E3E2E1kTiEeni−∝代入上式，归一处于位置区间x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz内的分子数dN’zyxeNzyxkTEEdddddddpkvvv+−∝1ddd)π2(k23=∫∞+∞−−zyxkTEekTmvvv)(21222KzyxmEvvv++=λλπd2=∫∞∞−−ueu令Ep=0处气体分子的数密度为n0zyxeNkTEddddp−∝′kTEennp0−=分子按势能的分kTECezyxNpdddd−=′n：为气体分子的数密度。重力场中的气体分子按位置分kTEennp0−=kTmghen−=0RTghenμ−=0粒子数密度随高度变化。hnn0讨论：‹h↑,n↓，n随高度的增加而减小。‹m越大（重力显著），n随高度减小的越快。‹T越大（无规则运动剧n随高度减小的越慢。T1T2T1恒温气压公式（高度计）设温度不随高度变化PPgRTh0lnμ=根据压强变化测高度。p=nkT实际温度也随高度变化，测大气高度有一定的范围，是近似测量。RTghkTenμ−=0RTghepμ−=0§7气体分子的平均自由程（MeanFreePath)一个分子连续两次碰撞之间经历的平均自由路程叫平均自由程λ。一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫平均碰撞频率Z。单位时间内分子经历的平均距离v，平均碰撞Z次zv=λ平均碰撞频率Z：设分子A以相对平均速率u运动，其它分子可设为静止.运动方向上，中心在以d为半径的圆柱体内的分子都将与分子A碰撞.该圆柱体的横截面积σ叫碰撞截面σ=πd2.Aσddduu单位时间内所受到的平均的碰撞次采用钢球模型.分子直径d.单位时间内分子A走u，相应的圆柱体体积为uσ，则统计理论可计算平均自由程对空气分子d~3.5×10–10m标准状态下Z~6.5×109s–1，λ~6.9×10–8m气体所在容器线度小于平均自由程的计算值时，实际平均自由程就是容器线度的大小。σunz=v2=u2π2dnzv=λzv=λnd2π21=PdkT2π2=Aσddduuzv=λnd2π21=pdkT2π2=讨™平均自由程与平均速度无关。™nd112及∝λ™温度一定p1∝λ对于空气，若T=)m(λp(atm)17×10-810-70.7（灯泡内）10-117×103（几百公里高空）例：设空气分子的d=3.5×10−10m,求标准状态下空气分子的平均自由程和平均碰撞频率。标准状态,即1个大气压，0℃.nd2π21=λpdkT2π2=)1001.1()105.3(π2)2730(1038.1521023××××+××=−−=6.9×10−8(m)约为分子直径的200倍。μπ8RT=v3102914.3)2730(31.88−××+××==448(m/s)λv=z8109.6448−×==6.5×109/s65亿为何多原子分子在碰撞中能看成球形？说明：kTJ21212=ωJkT=≈→2ωω在T=300K时：气体J(10-46kg⋅m2))(1−sωCO21.455.34×1012H20.047×10133.19O21.94×10124.622N1.39×10125.45zω→分子在碰撞中可视为球形.各个方向随机运动，故为相等设平均速率与方均根速率的规律相似，则由上式vv′−=GGKu2222vvvv′+′⋅−=GGGGKu2222vvvv′+′⋅−=GGu222vv′+=u222v=uv2=uuKvGv′Guvvθ碰撞夹角θ有各种可能（0—180°）°=90θv2=→u气体动理论小结提纲一.模型与简化假设：二.统计平均的思想：222213xyz===，vvvv理想气体、平衡碰撞.三.处理问题的方法：四.统计规律：2u=⋅⋅⋅v小柱体法.能量均麦氏分玻氏分布、五.宏观规律：理想气体状态方程.六.微观量的量级及与压强、温度的关系：n,d,zλ⋅⋅⋅，，v，zλ七.重要常量：NA,R,k.气动理论结束!