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第二章第二章刚体的定轴转动刚体的定轴转动§1刚体的运动一、刚体（rigidbody）：特殊的质点系，形状和体积不变化。理想化的模型。1.平动（translation）时，刚体上任意两点间的连线始终保持平行，其上所有点运动都相同。二、平动与转动ABCAABBCC平动可以用质心的运动来代表。平动和转动，可以描述所有质点系的运动。2.转动（rotation）最简单的是定轴转动（rotationaboutafixedaxis)转轴123可以用质心的平动加绕质心的转动来分析刚体的运动利用平动+转动，可以描述所有质点系的运动。三、角速度和角加速度θΔθA0(t=0)AA’1.角速度(angularvelocity)ωKθ:位置角angularpositionΔθ：角位移(angulardisplacement)对于刚体上各点相同单位：弧度(rad)OθΔθAA’角速度(angularvelocity)A0(t=0)ωK大小：方向：tttddlim0θΔθΔωΔ==→与转动方向成右手螺旋关系.转速n（转／分）(r／min)nn30π60π2==ω角速度的唯一性刚体在一个时刻只有一个角速度，角速度属于整个刚体；从刚体上任意一点看，周围所有的质点均以同一角速度旋转。const.β=⎪⎩⎪⎨⎧−=−+=−+=)(2)(0202221000θθβωωβωθθβωωttt例：匀加速定轴转动tddωβ=22ddtθ=大小：ωK2.角加速度(angularacceleration)βK(rad／s2)tddωβKK=↑ω同向与ωβKK↓ω反向与ωβKK方向：3.角量与线量的关系对于定轴转动rω=vraβ=tra2nω=taddtv=θ:位置角Δθ：角位移tddθω=tddωβKK=方向：与转动方向成右手螺旋关系tddωβ=22ddtθ=rω=vraβ=tra2nω=角量与线量的关系定轴刚体转动角速度的方向？角加速度的方向？转轴小结刚体运动的描述§§22定轴转动刚体的角动量与转动惯量定轴转动刚体的角动量与转动惯量Δmiri一、刚体对转动轴的角动量（Angularmomentum)2()iiOOiimrrmω′=Δ+×ΔKKKv()iiiiLrm′′=×ΔKKKvivKirG转轴OO′ir′G任取质元Δmi，它对O'点角动量为()()iOOiirrm′=+×ΔKKKvOOr′G()()iiiOOiirmrm′=×Δ+×ΔKKKKvv质元对O'点的角动量沿转轴方向的分角动量2iziiLmrω=ΔGKri：是质元到转轴的垂直距离。ωGiziLL=∑KK∑Δ=iiirmωK22()iiiLmrω=Δ∑GK若质量连续分布ωKK)d(2∫=VmrLωKJ=ωKKJL=ΔmiriivKirG转轴OO′ir′GOOr′G定轴转动刚体的角动量（指沿转轴方向的）为ri：是质元到转轴的垂直距离。ωGωKKJL=二、转动惯量J(momentofinertia)1.定义∫=VmrJd2─刚体对于转轴的转动惯量离散型质量分布∑Δ=iiirmJ2m1m2m3m4r1r2r3r4244233222211rmrmrmrmJ+++=单位：千克·米2kg·m2例：∫=VmrJd2讨论1.r:质量元dm到转轴的垂直距离.设刚体的密度为ρVmdd=ρ∫=VVrJd2ρ2.J是由刚体各质元相对于固定轴的分布决定的，与刚体的运动及所受的外力无关。（1）与刚体的质量有关；（2）质量一定时，J与质量相对于转轴的分布有关；（3）与转轴位置有关。§§33转动惯量的计算转动惯量的计算2()iiJmr⊥=Δ∑分立dmm⊥r∫⋅=⊥mmrJ)(d2连续Vmdd=ρVmddρ=smdd=σsmddσ=lmdd=λlmddλ=体分布面分布线分布1.转动惯量的计算例：求均匀细杆的转动惯量（长l，质量m，转轴O）。O解：xdm线密度lm=λdm=λdx∫=mrJd2∫=lxx02dλ331lλ=231ml=若转动轴在杆的中心lx0331λ=22331llxJ−=λ2121ml=O’例：求质量为m,半径为R的匀质薄圆环的转动惯量。（轴与圆环平面垂直，并过圆心）O∫=mrJd2解：dm22dmRmR==∫对圆筒∫=mRJd22mR=例：求质量为m,半径为R的匀质薄圆筒对它的轴的转动惯量。解：例：求质量为m,半径为R的匀质薄圆盘的转动惯量。（轴与圆盘平面垂直，并过圆心）解：r∫=mrJd2rrmdπ2dσ=∫=RrrrJ02dπ2σ∫=Rrr03dπ2σ4π21Rσ=2πRm=σ221mR=O例：求质量为m,半径为R、厚度为l的匀质圆盘的转动惯量。（轴与圆环平面垂直，并过圆心）解：221mRJ=2.平行轴定理Theparallel-axistheorem建立坐标系，原点置于质心处。轴垂直屏幕。对过A点且平行于Z轴的转轴，刚体的转动惯量为∑−+−=iiiiyyxxmJ])()[(2A2A))((22)(2A2AAA2i2yxmymyxmxyxmiiiiiiiiiii++−−+=∑∑∑∑))((00)(2A2A2i2yxmyxmiiiii++−−+=∑∑2CmdJJ+=§§44刚体的定轴转动定律及其应用刚体的定轴转动定律及其应用一、刚体的定轴转动定律对质点tLMddKK=对刚体∑=iLLKKtLMMddKKK=+内外对所有质点求和iFGifG一对内力力矩的大小ijfKjifKirKjrKOjijijifrfrKKKK×+×=jiijffKK−=ijjifrrKKK×−=)(=0MK合外力矩tLMMddKKK=+内外ijtLMddKK=外内力矩之和为零作用于刚体上的合外力矩等于刚体角动量对时间的变化率。tLMddKK=外ωJLz=βJM=外tLMzzdd=刚体的定轴转动定律对于定轴转动的刚体，沿转轴方向得到刚体的定轴转动定律ZβJM=外刚体定轴转动定律讨论1.amFKK=mJaFM→→→,,βM相同，J越大，β越小，J反映了定轴转动刚体的惯性。2.β∝M，两者方向相同。3.转动第一定律M=0，β=0刚体保持原有的角速度不变。静止的仍静止，转动的保持角速度不变。FGorGF⊥G//FGzrGrGOFrMooGKG×=//()ooMrFF⊥=×+GGGK//oorFrF⊥=×+×GGKK垂直于转轴//()zorrFrF⊥=+×+×GGGKK//zorFrFrF⊥⊥=×+×+×GGGGKKzMrF⊥=×GGKZ关于力矩沿转轴分量的讨论O´平行于转轴，不会使刚体绕轴转动。平行于转轴的力，对转轴的力矩为零。αrFK若外力在垂直于转轴的平面内rKFKFrMKKK×=若外力不在垂直于转轴的平面内FK//FK//FFFKKK+=⊥⊥FK//FKMrF⊥=×KKK结论:对于定轴转动的刚体αsinrFM=Fd=d:力臂d例：已知：轮R=0.2m,物体质量m=1kg，v0=0,h=1.5m,绳子与轮子间无相对滑动，绳子不可伸长，下落时间t=3s。求：轮对O轴的转动惯量J=？解：定轴O§5转动定律应用举例·Rthmv0=0绳m对轮：TR=Jβ对m:mg－T=maRa=β221ath=22)12(mRhgtJ−=gmKTTKK−=′aKNβTGR·=1.14（kg·m2）分析：1.h、m一定，，正确。2.若J=0，得J↑→t↑，合理；22)12(mRhgtJ−=222.01)15.123.08.9(××−××=221gth=mgmRJJT2+=gmRJmRa22+=3.物体的运动若JmR2,T≈mganda≈0例：长度为l，质量为m的均匀细棒，在竖直平面内摆动。棒最初处于水平位置，求它下摆到θ角时的角加速度和角速度。θ解：dmxmgxMdd=∫=mxgMdcmgx=mmxx∫=dcθcos21mgl=由转动定律βJM=231mlJ=JM=βlg2cos3θ=方向：tddωβ=θωωθθωdddddd==tθβωωdd=∫∫=θωθβωω00dd∫=θθθω02d2cos321lglgθωsin3=θdmx例：轻绳下挂一半径为R、质量为M的滑轮P，如图。轴处摩擦忽略。P上跨一长度变化可忽略的轻绳，绳两端挂m1、m2，且m1m2，求：m1、m2的加速度，悬挂m1、m2绳子的张力。m2m1m2TpT2’T1’T2m2gm1T1m1ga2a1x轻滑轮T1=T2=T绳子不可伸长a1=a2=am1g–T1=m1aT2–m2g=m2a解：MgM1M2βJRTRT=−21221MRJ=βRaa==t绳子与轮间无相对滑动Pm1g–T1=m1aT2–m2g=m2aβJRTRT=−21221MRJ=βRaa==t)21()(2121Mmmgmma++−=)21()212(21211MmmgMmmT+++=)21()212(21122MmmgMmmT+++=RMmmgmm)21()(2121++−=β如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮。A滑轮挂一质量为Ｍ的物体，B滑轮受拉力F，而且F＝Mg。设Ａ、B两滑轮的角加速度分别为βA和βB，不计滑轮轴的摩擦，则有(A)βA=βB(B)βAβB(C)βAβB(D)开始时βA=βB，以后βAβBABMF答案：（C）#mechrb1