正弦定理(省参赛获奖课件)

正弦定理ABC3C2C1CBC的长度与角A的大小有关吗?三角形中角A与它的对边BC的长度是否存在定量关系?在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:caAsincbBsin1sinC不难得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?AcbaCB正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即(1)若直角三角形,已证得结论成立.bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC,即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作AD⊥BC于D,此时有证法1:(2)若三角形是锐角三角形,如图1,由(1)(2)(3)知，结论成立．CCbADsinsin）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D(3)若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有cADBsin交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB图2AasinBbsinCcsin＝＝（2R为△ABC外接圆直径）＝2R思考求证:证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90''RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,AcbCBDa向量法证法2:利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.证明：∵BacAbcCabSABCsin21sin21sin21BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsin∴CabBacSABCsin21sin21同理∴BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin21证法3:剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题：①已知两角和一边，求其他角和边.②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.CcBbAasinsinsin定理的应用例1在△ABC中，已知c=10,A=45。,C=30。求a,b(精确到0.01）.解：且105C)(A180B∵CcBbsinsin∴b=CBcsinsin19.32=30sin105sin10已知两角和任意边，求其他两边和一角CcAasinsin∵∴a=CAcsinsin14.14=21030sin45sin10BACbc)26(5a在△ABC中，已知A=75°，B=45°，c=求a，b.23在△ABC中，已知A=30°，B=120°，b=12求a，c.[a=,c=]3434[]3233ba练习例2已知a=16，b=，A=30°.求角B，C和边c已知两边和其中一边的对角,求其他边和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°当时Ｂ＝60°C=90°.32cC=30°.16sinsinACac316当Ｂ＝120°时B16300ABC16316变式:a=30,b=26,A=30°求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以Ｂ＝25.70,或Ｂ＝1800－25.70=154.30由于154.30+3001800故B只有一解（如图）C=124.30,57.49sinsinACac变式:a=30,b=26,A=30°求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以Ｂ＝25.70,C=124.30,57.49sinsinACac∵ab∴AB,三角形中大边对大角已知两边和其中一边的对角,求其他边和角1.根据下列条件解三角形(1)b=13，a=26，B=30°.[B=90°，C=60°，c=]313(2)b=40，c=20，C=45°.练习注：三角形中角的正弦值小于１时，角可能有两解无解课堂小结（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：①已知两角和任意边，求其他两边和一角②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)正弦定理：ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC＝2R已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?课后思考ACababsinA无解ACaba=bsinA一解ACabbsinAab两解BB1B2BACbaab一解aABabCABabCABabCab无解a=b无解ab一解正弦定理的综合应用221.tantan,.ABCaBbAABC在中，已知试判断的形状'1.3,33,30,.ABCbcBABC在中，已知试判断的形状''21.(cos)cos0,,.xbAxaBabABCABabABC已知方程的两根之积等于两根之和，且为的边，，为的对角，试判断的形状'''1.,,,,,sinsinsin.ABCabcABCaabcbcBCAABC在中，为边长，，，为所对的角，若试判断的形状2222222.0.coscoscoscoscoscosABCabbccaABBCCA在中，求证：'2.(sinsin)(sinsin)(sinsin)0.ABCaBCbCAcAB在中，求证：3.12057,.ABCAABBCABCS在中，若，，求的面积'3.sin()sinsin.ABCCABPABAPCBPCPCPBPA一条直线上有三点，，，点在，之间,点是直线之外一点，设，，求证：CBAP''3.,3,3.43sin()3.43sin()336.6sin()3.6sin()336ABCABCABCABBBCBDB中，则的周长为4..ABCADBACABBDACDC在中，是的平分线，用正弦定理证明：ACBD1.(1)sinsin.(2)sinsin.ABCABAB判断正误：若，则；反之也成立在中，若，则；反之也成立352.sincos,513sin.ABCABC在中，已知，求.6563)sin(sin.54cos,sinsinsinsin,53sin.1312sin),,0(,135cosBACAABAbaBbAaBAABBB只能为锐角，可知由正弦定理又解：.sin,1312sin,54cosCBAABC求中，已知变：在.65336563sin.6533)sin(sin135cos)2(.6563)sin(sin135cos)1(.135cos,sinsin,1312sin53sin),0(,54cos或时，时，角，可以为锐角也可以为钝又解：CBACBBACBBBBAbaBABAAA3.,,,,2cos(60).oABCABCabcbcaCA在中，设所对的边分别为，若，求.120150302103030.21)30sin(1cossin30sinsinsin)cossin3(cossin3cossinsinsincoscossin)sin(sin)sin60sincos60(cossin2sinsin000000000AAAAAACCCAACACACCACACABCCACB又即略解：由正弦定理得2214.().4ABCSbcABC已知的面积，试确定的形状.20sin10)sin1(21,0)(410)sin1(21)(41sin21)(412222为等腰直角三角形且解：ABCcbAAcbAbccbAbccbAbccbS实际问题例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是和4560，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？想一想实例讲解AA1BCDC1D1分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：15sin120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在662184.2836182211BCBA)(9.295.14.2811mAABAAB答：烟囱的高为29.9m.ABCDE6520352.3520100065,(1).ABDDBCm例某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进米后到达处，又测得处的仰角为求山的高度精确到ABCDE652035BEDC2.57,1.89,2.01,45,120,.BCcmCDcmBEcmBC某地出土一块玉佩（如图），其中一角破损，现测得如下数据；为了复原，计算原另两边的长BEDCA解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解。在这个过程中，贯穿了数学建模的思想。这种思想即是从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。本节小结:正弦定理的证明1.结构：正弦定理正弦定理的应用解三角形2.方法、技巧、规律(1)正弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具;(2)两类问题：一类已知两角和一边；另一类是已知两边和一边的对角；(3)注意正弦定理的变式；(4)180.注意内角和为的应用，以及角之间的转化3.思维误区警示：(1)(2)正弦定理可以解任意三角形；运用该定理解决“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其它元素”这类问题时，注意对解的判断.