(完整版)二面角求解方法

二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。4、投影法：利用s投影面=s被投影面cos这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。尤其对无棱问题5异面直线距离法：EF2=m2+n2+d2－2mncos例1：若p是ABC所在平面外一点，而PBC和ABC都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A的大小。分析：由于这两个三角形是全等的三角形，故采用定义法解：取BC的中点E，连接AE、PEAC=AB，PB=PCAEBC，PEBCPEA为二面角P-BC-A的平面角在PAE中AE=PE=3，PA=6PCBAEPEA=900二面角P-BC-A的平面角为900。例2：已知ABC是正三角形，PA平面ABC且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。[思维]二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。解1：（三垂线定理法）取AC的中点E，连接BE，过E做EFPC,连接BFPA平面ABC，PA平面PAC平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=ACBE平面PAC由三垂线定理知BFPCBFE为二面角A-PC-B的平面角设PA=1,E为AC的中点，BE=23,EF=42tanBFE=6EFBEBFE=arctan6解2：（三垂线定理法）取BC的中点E，连接AE，PE过A做AFPE,FMPC,连接FMAB=AC,PB=PCAEBC,PEBCBC平面PAE,BC平面PBC平面PAE平面PBC,平面PAE平面PBC=PE由三垂线定理知AMPCPCBAEFMEPCBAF图1图2FMA为二面角A-PC-B的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.PEAEAPsinFMA=742AMAFFMA=argsin742解3：（投影法）过B作BEAC于E,连结PEPA平面ABC，PA平面PAC平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=ACBE平面PACPEC是PBC在平面PAC上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141PECS,47PBCS由射影面积公式得，77cosarg,77PBCPECSSCOS,解4：（异面直线距离法）过A作ADPC,BEPC交PC分别于D、E设PA=1,则AD=22,PB=PC=2BE=PCSPBC21=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得AB2=AD2+BE2+DE2-2ADBECOS,COS=77cosarg,77[点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。PCBAEEPCBAD图3图4例3：二面角EF的大小为120，A是它内部的一点，AB，AC,B、C为垂足。（1）求证：平面ABC,平面ABC（2）当AB=4cm,AC=6cm时求BC的长及A到EF的距离。分析：本题采用作棱的垂面法找二面角的平面角解：（1）设过ABC的平面交平面于BD,交平面于CDAB,AB平面ABC平面ABC,同理平面ABC（2）ABABEF同理ACEFEF平面ABDCBDEF,CDEFBDC=12060BACBC=72606426422COScm有正弦定理得点A到EF的距离为：d=321460sinBCcm《二面角的求法》一、复习引入：1、什么是二面角及其平面角？范围是什么？①从一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角α—l—β。ABCDωθβlαnn②以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。③范围：[0,]2、二面角出现的状态形式有哪些？竖立式横卧式2、二面角的类型及基本方法（1）四种常规几何作求法定义法垂面法；三垂线法；射影面积法cos=S射影多边形/S多边形（2）向量法：①设m和n分别为平面,的法向量，二面角l的大小为，向量m、n的夹角为，如图：ωθβlαnn结论①：设m和n分别为平面,的法向量，二面角l的大小为，向量m、n的夹角为，则有或结论②：一般地，若设mn,分别是平面,的法向量，则平面与平面所成的二面角的计算公式是：mnmnarccos时）当二面角为锐角、直角(或mnmnarccos当二面角为钝角时）(，其中锐角、钝角根据图形确定。二、例题讲解：以锥体为载体，对求角的问题进行研究例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，AD=21.求面SCD与面SAB所成的角的大小。解法1：可用射影面积法来求，这里只要求出S△SCD与S△SAB即可，故所求的二面角θ应满足cos==111212322=63。点评：（1）若利用射影面积法求二面角的大小，作为解答题，高考中是要扣分的，因为它不是定理.（2）由学生讨论解决，教师根据学生的解答情况进行引导、明确学生的解答。解法2：（三垂线定理法）解：延长CD、BA交于点E，连结SE，SE即平面CSD与平面BSA的交线.又∵DA⊥平面SAB，∴过A点作SE的垂线交于F.如图.∵AD＝21BC且AD∥BC∴△ADE∽△BCE∴EA＝AB＝SA又∵SA⊥AE∴△SAE为等腰直角三角形，F为中点，222221SASEAF又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE∴由三垂线定理得DF⊥SE∴∠DFA为二面角的平面角,ABCDES图1SDCBA∴tanDFA＝22FADA即所求二面角的正切值.评注：常规法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；二证：通过简单的判断或推理得到相应角；三求：通过计算求出相应的角。点评：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。总之，在运用三垂线找平面角时，找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理，按三垂线的条件，一垂线垂直二面角的一个面，还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交，交点在二面角的面内。解法3：（向量法）解：如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(-1，1，0)，D(0，21，0)，S(0，0，1)，易知平面SAB的法向量为m=(0，21，0)；设平面SDC的法向量为n=(x，y，z)，而DC=(-1，21，0)，DS=(0，12，1)，∵n⊥面SDC，∴n⊥DC，n⊥DS，n1⊥DC.∴00nDCnDS得102102xyyz令1x得：2,y1z。即n=(1，2，1)∵面SAB与面SCD所成角的二面角为锐角θ，cos,nmmnmn=1162=36∴θ=arccos36.故面SCD与面SBA所成的角大小为arccos36.点评：通过此例可以看出：求二面角大小（空间面面角等于二面角或其补角）的常规方法是构造三角形求解，其关键又是作出二面角的平面角，往往很不简单。利用建立空间直角坐标系，避开了“作、证”两个基本步骤，通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的，解题过程实现了程序化，是一种有效方法。搭建平台，自主交流，数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美，一题多解是训练学生思维的有效形式。以柱体为载体，对求角的问题进行研究SDCBA例2、已知D、E分别是正三棱柱ABC一A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D=2B1E=B1C1.求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成二面角的大小.（几何法）解：在平面M1B1B内延长DE和A1B1交于F，则F是面DEF与面A1B1C1的公共点，C1也是这两个面的公共点，连结C1F，C1F为这两个面的交线，所求的二面角就是D-C1F-A1.∵A1D∥B1E，且A1D=2B1E，∴E、B1分别为DF和A1F的中点.∵A1B1=B1F=B1C1，∴FC1⊥A1C1.又面AA1C1C⊥面A1B1C1，FC1在面A1B1C1内，∴FC1⊥面AA1C1C.而DC1在面AA1C1C内，∴FC1⊥DC1.∴∠DC1A1是二面角D-FC1-A1的平面角.由已知A1D=B1C=A1C1，∴∠DC1A1=4.故所求二面角的大小为4.法2：（向量法）解：建立如图的空间直角坐标系Axyz，设112BC，则1(3B，1，0），E(3,1,1),1C(0,2,0),D(0,0,2),易知平面A1B1C1的法向量为n=(0,0,1),设平面DEC1的法向量为m=(x，y，z),而DE=(3,1,-1),1DC=(0,2,-2),由100mDEmDC30220xyzyz即yz，不妨设0x，得1yzm=（0，1，1）cos,nm22，∵面A1B1C1与面DEC1所成角的二面角为锐角θ，4。点评：无棱的二面角一般是只已知一个共点，但两个面的交线不知道。若要找出二面角的平面角，则需要根据公理2或公理4来找出二面角的棱，化为有棱二面角问题，再按有棱二面角的解法解题。这种主要有两类：一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角（两条在同一平面内且不平行）。那么延长这两条线有一交点，根据公理2，这点在二面角的棱上，连公共点和这点就是二面角的棱；另一类是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角。这由直线和平面平行的判定和性质定理知这直线和面平行，所以直线平行于二面角的两个面的交线。由公理4，可知这两条直线平行于二面角的棱。所以过公共点作一条直线平行于这两直线，那么所作的直线是二面角的棱。课堂反馈练习：如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=DA=AB=1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点，求二面角B-PQ-D的大小。ABCC1QD1A1B1PxyzD解：建立如图所示的坐标系D---xyz，，则)1,1,0(),21,2,0(,0,1,1QPB,A(1,0,0)，).1,0,1(),21,1,1(),0,0,1(BQBPDA因DA⊥面PQD，所以DA是面PDQ的法向量。设),,(zyxn为面BPQ的法向量，则BQnBPn,，,0021zxzyx解得yzzx2，取n=(2,1,2)，∴cos32,DAnDAnDAn。从图中可知，二面角B-PQ-D为锐角，因此二面角B-PQ-D的大小为32arccos.点评：二面角问题可以综合较多知识点，可以综合有关的平行、垂直的关系。用到的定理几乎是我们所学立几的知识。所以要有较扎实的基础知识才能够对付得了这类问题。在计算方面要用到解三角形的知识，要会在图中有关的三角形中求出所需的边或角，然后通常归结在一个三角形中去求出最后的结果。总的，解这类题，找平面角是关键的一步，要注意运用题中的条件分析图形，然后用有关的方法找出平面角，计算时要分析所要求的量是可由图中的哪些平面图形去逐步去求出。三、课堂小结：二面角的类型和求法可用框图：点评：自主小结的形式将课堂还给学生，既是对一节课的