初中文字几何命题的教学策略

初中文字几何命题的教学策略陈雪霞（广东省东莞市道滘镇济川中学，广东东莞邮编523170）（联系方式：电话：[phone]邮箱：[e-mail]）【摘要】几何证明是一把双刃剑，有些学生学得好，经过几何证明以后，对数学的学习兴趣越来越浓；也有些学生因为接受不了几何形式化，开始有一定障碍，后来对数学慢慢就不感兴趣了。本文从分析初中平面几何文字命题的特点着手，浅谈这类命题的教学基本策略【关键词】文字命题教学策略多年从事初中数学教学，常常面临这样一个问题：学生对平面几何推理证明的能力较差，文字叙述的几何命题是平面几何主要内容之一，每一个定理的证明，就是一个文字命题，为了使学生真正理解和掌握定理，靠死记硬背没有用的，只有使学生掌握文字命题证明方法，才能理解和掌握对定理的证明，从而应用定理进行解决其他几何推理证明题。对文字命题的证明，更有些学生说看不懂题意，望题兴叹，不知所措。针对这种种原因，本文通过解文字命题的基本步骤和结合学生认知心理，如何对学生进行文字几何命题的教学。1.文字叙述几何命题的学习障碍初中学生在几何学习过程中最大的障碍和困难是文字、图形、符号三者的结合和转换，基于学生的年龄特征，学生在空间想象能力和抽象能力方面还不够成熟，缺乏解决几何问题的经验，使几何教学明显地比代数教学要困难得多。公理和定理都是命题，有的命题的文字语言叙述相当简单，这时学生的学习就出现一定程度的困难。1.1命题的结论和题设分辨不清【例1】将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.(1)同角的余角相等；(2)直角都相等．［误解］(1)常有以下几种错误改写：如果是同角，那么余角相等；如果两个角是同角，那么它们的余角相等；如果同一个角是余角，那么余角相等．(2)常有以下几种错误改写：如果是直角，那么都相等；如果直角等于90°，那么直角都相等；如果两条直线互相垂直，那么直角都相等．[正解](1)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等．[剖析与指导]产生改写错误的主要原因是：(1)在命题的题设和结论不很分明时，分辨不清哪是题设，哪是结论；(2)不能正确地理解一些概念名称，如同角、余角、直角等在叙述命题的语句中的地位和意义：(3)缺乏把简单句变换成复合句的语法知识．命题的改写是命题教学的基础，在命题学习中，首先要掌握命题的构造，分清命题的题设是什么？结论是什么？然后才能在这个基础上进行命题的改写。1.2.文字语言与“图形语言”转换出现障碍【例2】对命题：“同角的补角相等”．画图，并写出已知、求证．(不证明)[误解]如图1已知：∠AOB与∠COD是同角，∠BOE是∠AOB的补角，∠DOF是∠COD的补角．求证：∠BOE=∠DOF．[正解]如图2已知：∠CPD是∠AOB的补角，∠EQF是∠AOB的补角．求证：∠CPD=∠EQF．[剖析与指导]这类题目不仅要求分清命题的题设和结论，而且要求能够把文字叙述的命题正确地“翻译”为图形和符号语言．这两方面都是困难的．尤其是“翻译”---图形化、符号化，更是练习中的主要障碍．但这也正是继续学习几何的基础和必备的技能．对于把文字命题“翻译”成图形，与前面所提及的“读句画图”问题是一致的．把文字命题“翻译”成符号语言表示，即用已知、求证表示出来，一般分为两个步骤完成：(1)按照题意，画出图形；(2)分清命题的题设和结论，然后结合图形，用符号语言写成已知、求证．在“已知”项中写出题设，在“求证”项中写出结论．[误解]中的错误主要是在画图时把“同角”理解成等角，并且把一个角的补角画成邻补角，变成了与原命题意义不同的“新”命题了．2.文字叙述几何命题的教学策略命题的证明都是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后得出结论（求证）的过程。因此，对一道文字命题，正确找“已知”和“求证”是保证证明过程正确的前提，也是转化成非文字BCQA命题的重要步骤。2.1对于给定的命题，学会按“如果……那么……”的形式改写命题的文字语言有三种形式：第一种形式是：“如果......，那么......”，或“若.....，则.....”，例：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。”这时很容易确定“如果”、“若”后面就是题设，“那么”、“则”后面就是结论，第二种形式就不那么明显了，但是叙述比较完整，例如“两条直线相交，只有一个交点”，很容易必写成第一种形式：“如果两条直线相交，那么只有一个交点。”这样，命题的题设和结论也清楚了。第三种形式因为叙述相当简单，所以首先要了解命题的意思，完整命题的叙述，然后改写成第一种形式，如“对顶角相等”，是说“两个角成对顶角，它们就相等”，从而可改写成“如果∠A和∠B是对顶角，那么∠A=∠B。”它的题设和结论也就明显了。对于命题的改写，特别是题设和结论不很分明的命题的改写，应注意以下几点：(1)命题的“缩句”练习．命题是判断一件事情的语句．为明确语句中各词语的含义及地位确定这语句中的“主词”和“宾词”，可以进行类似于小学语文中的“缩句”练习．如把命题“同角的余角相等”缩写成“余角相等”，由此知道主词是“余角”，宾词是“相等”；又命题“两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行”可以缩为：“两个角的平分线平行”，由此得主词为“两个角的平分线”．宾词为“平行”．(2)主词的数量表达方法．当主词的对象在数量上包含有“无数个”时，一般在主词前面加上“任意两个”或就写“两个”来表达这“无数个”．如同角的余角可以有无数个，在改写时一般只需写成“同角的任意两个余角”，或写成“同角的两个余角”．又如直角也有无数个，在改写时只需写成“任意两个直角”或“两个直角”．(3)改写方法．把命题的主词连同它的修饰部分．经过重新组织或添加一些词语．写成“如果……”部分，宾词写成“那么……”部分，把它们连接成一个完整的句子，就得到改写成的命题．2.2依题意画图，标出字母，然后写出已知和求证根据命题的题设和结论，画出正确的几何图形，译成几何语言，并写出“已知......求证……”。画图时，既要相关知识产生联想，又要考虑到图形的一般性和特殊性，训练学生的画图能力。例如：求证“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等”。画图，并写出已知、求证．(不证明)分析：画图的关键是读懂命题，弄清已知和未知，线段的垂线有无数条，但线段的垂直平分线只有一条，就可以设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA、PB，证明PA=PB。既可画出如下的图形：[2]已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上任意一点。求证：PA=PB又例如:求证“到一条线段的两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”。画图，并写出已知、求证．(不证明)分析：这个命题画图的关键是找出有一个点到线段的两个端点距离相等的点，这里的画图应跟等腰三角形结合起来探索，找到联系点，就不难做出符合题意的图形了。已知：如图QA=QB求证：点Q在线段AB的垂直平分线jCPBAMN3.证明过程教学策略即使是文字几何命题，当它转化为非文字命题后也要进行解证，在这个环节，学生学习上主要的难点是：证明时推理依据不准确，书写格式不正确，找不到思路。文字命题的证明，是初学几何证明的入门，往往会出现推理根据颠三倒四，拿着题设当结论，推理过程不严谨，甚至是错误的现象。【例如】已知：∠1+∠2=180°求证：∠3=∠4。【错证】：∵∠1+∠2=180°(已知)；∴l1∥l2(两直线平行，同旁内角互补)∴∠3=∠4(同位角相等，两直线平行)【剖析与指导】错证推理依据不对，其实质是混淆了平行线的判定与性质。正确的证明方法如下：∵∠1+∠2=180°(已知)；∴l1∥l2(同旁内角互补，两直线平行)∴∠3=∠4(两直线平行，同位角相等)几何证明的书写格式与代数的解题格式有很大的差异，对于学生书写能力的培养应分阶段进行，教学中应分阶段进行，教学中应分各个阶段的深广度，有计划、有目的的逐渐提高，切勿操之过急。因此，在几何入门教学时，对几何语言能力的培养，应从最基本的语句书写格式开始训练，培养良好逻辑书写能力，避免在证明过程中“跳步”、“漏步”等想象。教学时要着重以下两方面的训练。3.1教师搭架子，学生填理由。初一学生对于几何证明题，处于了解认识阶段，在教学时应让学生一步一步的学，提高他们对证明题的兴趣。因此，老师在刚对学生接触几何证明题的教学时，一是给出证明的过程，让学生填理由；二是老师先写出因为的那一条件，由学生接着写所以的那一个结论，使学生对证明的书写格式和证明思路有足够的感性认识，并逐步发展到能够独立完成书写过程。具体做法如：3.1.1从简单的计算题抓起,运用填充题，熟悉格式要求例如：已知：直线a、b相交，∠1=40°求∠2、∠3、的度数（如图）[1]解：∵∠1=40°（）∴∠3=∠1=40（）∵∠2=180°－∠1（）∴∠2=180°－40°=140°（）∴∠4=∠2=140°（）3.1.2由老师带路，培养证明的逻辑思维通过老师写“因为……”，学生补充“所有……”让学生进一步熟悉证明的步骤和格式，。例如：如图D、E、F分别是BC、CA、AD上的点，且DE∥BA，DF∥CA求证：∠FDE=∠A3124baACBFDE证明：∵DE∥BA（）∴_________=__________（）∵DF∥CA（）∴_________=__________（）∴∠FDE=∠A3.2教师示范，学生模仿对于新的知识内容，要做好教师示范，学生模仿工作。示范什么？模仿什么？如何进行？一是由老师讲解例题，学生在随堂练习时模仿老师解题的格式，思路，方法。二是同学上黑板板演习题，不会做题的学生可以跟着黑板上的同学的提示完成练习。示范：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。模仿：如图（2），在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且OE=OF，求证：四边形BFDE是平行四边形。图（1）图（2）3.3证明思路分析的策略学生接触到推理与证明，感到比较困难，其主要原因是由于不知从何下手，不知该怎样去叙述推理过程。具体克服的措施：明确在推理过程中必须有理有据；激发学习兴趣。调动学习的主动性，更关键就是要会分析命题，要正确地书写证明过程，必须要有一个清晰的证明题思路，教学中应着重三方面的训练。3.3.1教学生分析证题思路的方法逆推顺证：从结论出发，倒着分析，由“未知”想到“须知”，由“须知”逐步靠拢“已知条件”，它的证明思路表达语言是“要知……，只需……”例如：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，求证：∠B=∠D分析：要证明∠B=∠D，它们不在同一个三角形中，所以要得到∠B=∠D，只需证明∠B，∠D所在的两个三角形全等就行了，要证△ABC和△CDA全等，只需AD=BC，AB=CD，AC=AC用（SSS）证明。在解决数学问题中，逆推法是一种重要的认知策略，如上例题，就是从要证明∠B=∠D出发，一步一步向问题的起始点推理：要得到∠B=∠D，只需证明∠B，∠D所在的两个三角形全等就行了，要证△ABC和△CDA全等，只需AD=BC，AB=CD，AC=AC用（SSS）证明。顺推证明：从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结果，它的书写表达常用语言是“因为……所以……”。OABDCEFOABDCEFDACB例如：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，求证：∠B=∠D分析：因为AD=BC，AB=CD，AC是公共边，所以△ABC和△CDA全等，则得出∠B=∠D3.3.2让学生掌握一些基本图形及其特点证明思路的探索是几何证明过程的关键环节，而基本图形则是探索平面几何思路的重要方法，因此教学时应强调学生掌握一些基本的图形及其性质。如：“等腰三角形三线合一”，“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等”，“角平分线上的点到角的两边距离相等”等。3.3.3根据所学的内容，总结证