空间解析几何习题答案

一、计算题与证明题1．已知1||a,4||b,5||c,并且0cba．计算accbba．解：因为1||a,4||b,5||c,并且0cba所以a与b同向，且ba与c反向因此0ba，0cb，0ac所以0accbba2．已知3||ba,4||ba,求||||ba．解：3cos||baba（1）4sin||baba（2）222)1(得252ba所以5ba4．已知向量x与)2,5,1(,a共线,且满足3xa,求向量x的坐标．解：设x的坐标为zyx,,，又2,5,1a则325zyxxa（1）又x与a共线，则0ax即05252512125251kyxjxzizykyxjyxizyzyxkji所以05252222yxxzzy即01042026529222xyxzyzzyx（2）又x与a共线，x与a夹角为0或30325110cos222222222zyxzyxax整理得103222zyx（3）联立321、、解出向量x的坐标为51,21,1016．已知点)7,8,3(A,)3,2,1(B求线段AB的中垂面的方程．解：因为7,8,3A,)3,2,1(BAB中垂面上的点到BA、的距离相等，设动点坐标为zyxM,,，则由MBMA得222222321783zyxzyx化简得027532zyx这就是线段AB的中垂面的方程。7．向量a,b,c具有相同的模,且两两所成的角相等,若a,b的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和,求向量c的坐标．解：rcba且它们两两所成的角相等，设为则有1101101ba则21cosrbaba设向量c的坐标为zyx,,则11cos0112rrrbayxzyxca（1）11cos1102rrrcbzyzyxcb（2）2011222222rzyxc所以2222zyx（3）联立（1）、（2）、(3)求出101zyx或313431zyx所以向量c的坐标为1,0,1或31,34,318．已知点)1,6,3(A,)1,4,2(B,)3,2,0(C,)3,0,2(D，(1)求以AB,AC,AD为邻边组成的平行六面体的体积．(2)求三棱锥BCDA的体积．(3)求BCD的面积．(4)求点A到平面BCD的距离．解：因为103，，A，1,4,2B,3,2,0C,3,0,2D所以0,10,1AB2,8,3AC4,6,5AD（1）ADACAB,,是以它们为邻边的平行六面体的体积176121200010034652830101V（2）由立体几何中知道，四面体ABCD（三棱锥BCDA）的体积3881766161VVT（3）因为222，，BC，444，，BDkjikjiBDBC01616444222所以216161622BDBC，这是平行四边形BCED的面积因此SSBCD21□BCED2821621(4)设点A到平面BCD的距离为H，由立体几何使得三棱锥BCDA的体积HSVBCDT31所以22112112838833BCDTSVH1．求经过点)1,2,3(A和)3,2,1(B且与坐标平面xOz垂直的平面的方程．解：与xoy平面垂直的平面平行于y轴，方程为0DCzAx(1)把点123，，A和点321，，B代入上式得03DCA(2)03DCA(3)由（2），（3）得2DA,2DC代入（1）得022DzDxD消去D得所求的平面方程为02zx2．求到两平面0623:zyx和1152:zyx距离相等的点的轨迹方程．解；设动点为zyxM,,，由点到平面的距离公式得2222221025101025213623zyxzyz所以10102512914623zyxzyx3．已知原点到平面的距离为120,且在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2,求的方程．解：设截距的比例系数为k，则该平面的截距式方程为1562kzkykx化成一般式为0306515kzyx又因点0,0,0O到平面的距离为120，则有120651530222k求出2864k所以，所求平面方程为02861206515zyx5．已知两平面02467:zymx与平面0191132:zmyx相互垂直，求m的值．解：两平面的法矢分别为6,1,1mn，11,3,22mn，由1n⊥2n，得066212mm求出1966m6．已知四点)0,0,0(A,)3,5,2(,B,)2,1,0(C,)7,0,2(D,求三棱锥ABCD中ABC面上的高．解：已知四点7,0,2,2,1,0,3,5,2,0,0,0DCBA,则9,1,2,4,5,0,7,0,2DCDBDA由DCDBDA,,为邻边构成的平行六面体的体积为912450702,,DCDBDAV807000908709028由立体几何可知，三棱锥ABCD的体积为314286161VVABCD设D到平面ABC的高为H则有ABCABCDSHV31所以ABCABCDSVH3又2,1,0,3,5,2ACABkjikjiACAB247210352所以，69212472121222ACABSABC因此，696928692869213143H7．已知点A在z轴上且到平面014724:zyx的距离为7,求点A的坐标．解：A在z轴上，故设A的坐标为（00z），由点到平面的距离公式，得7724147222z所以69147z则692z那么A点的坐标为692,0,0A8．已知点．A在z轴上且到点)1,2,0(B与到平面9326:zyx的距离相等,求点A的坐标。解：A在z轴上，故设A的坐标为z,0,0，由两点的距离公式和点到平面的距离公式得22222232693120zz化简得022974402zz因为031164229404742方程无实数根，所以要满足题设条件的点不存在。1．求经过点)0,2,1(P且与直线011111zyx和0111zyx都平行的平面的方程．解：两已知直线的方向矢分别为01101121，，，，，vv，平面与直线平行，则平面的法矢CBAa，，与直线垂直由a⊥1v，有00BA（1）由a⊥2v，有00BA（2）联立（1），（2）求得0,0BA,只有0C又因为平面经过点021，，P，代入平面一般方程得00C2010D所以0D故所求平面方程0Cz，即0z，也就是xoy平面。2．求通过点P(1，0，-2)，而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线12341zyx相交的直线的方程．解：设所求直线的方向矢为pnmv，，，直线与平面0123zx平行，则v⊥n，有023pnm（1）直线与直线12341zyx相交，即共面则有0200311124pnm所以01287nm（2）由（1），（2）得87137123212821pnm，即31504pnm取4m，50n，31p，得求作的直线方程为3125041zyx3．求通过点)0,0,0(A与直线141423zyx的平面的方程．解：设通过点)0,0,0(A的平面方程为0)0()0()0(zCyBxA即0CzByAx(1)又直线141423zyx在平面上，则直线的方向矢v与平面法矢n垂直所以02CBA(2)直线上的点4,4,3也在该平面上，则0443CBA（3）由（1），（2），（3）得知，将CBA,,作为未知数，有非零解的充要条件为0443112xzy即01158zyx，这就是求作的平面方程。4．求点)0,1,1(P到直线01112zyx的距离．解：点1,0,2A在直线上，直线的方向矢0,1,1v1,1,1AP,则AP与v的夹角为011111011cos22222vAPvAP所以090因此点0,1,1P到直线的距离为3111222APd5．取何值时直线01540623zyxzyx与z轴相交?解：直线01540623zyxzyx与z轴相交，则有交点坐标为z，，00，由直线方程得015062zz，求得57．求过点)25,3(且与两平面34zx和13zyx平行直线方程．解：与两平面平行的直线与这两个平面的交线平行，则直线的方向矢垂直于这两平面法矢所确定的平面，即直线的方向矢为kjikjinnv13411340121将已知点代入直线的标准方程得1513243zyx8．一平面经过直线（即直线在平面上）l：41235zyx，且垂直于平面015zyx，求该平面的方程．解：设求作的平面为0DCzByAx(1)直线41235zyx在该平面上，则有点0,2,5在平面上，且直线的方向矢4,1,3v与平面的法矢CBAn,,垂直所以025DBA(2)043CBA(3)又平面与已知平面011zyx垂直，则它们的法矢垂直所以0CBA(4)联立(2),(3),(4)得DCDBDA342347395代入（1）式消去D并化简得求作的平面方程为039225zyx3．求顶点为)0,0,0(O，轴与平面x+y+z=0垂直，且经过点)1,2,3()的圆锥面的方程．解：设轨迹上任一点的坐标为zyxP，，，依题意，该圆锥面的轴线与平面0zyx垂直，则轴线的方向矢为111，，v，又点0,0,0O与点1,23，在锥面上过这两点的线的方向矢为1,2,31l，点)0,0,0(O与点zyxP，，的方向矢为zyxl,,2，则有1l与v的夹角和2l与v的夹角相等，即2222222222221111231112131111111zyxyx化简得所求的圆锥面方程为01414111111222yzxyzyx4．已知平面过z轴,且与球面0411086222zyxzyx相交得到一个半径为2的圆,求该平面的方程．解：过z轴的平面为0ByAx（1）球面方程化为9543222zyx表示球心坐标为5,4,3O到截面圆的圆心的距离为52322d,如题三.4图所示由点到平面的距离公式为54322BABA