北航有限元分析与应用第三讲

有限元分析及应用FiniteElementAnalysisandApplication有限元分析及应用FiniteElementAnalysisandApplication平面问题的有限单元法第三章平面问题的有限单元法3-1、有限单元法的计算步骤3-2、平面问题的常应变(三角形)单元3-3、单元刚度矩阵3-4、单元刚度矩阵的物理意义及其性质3-5、平面问题的矩形单元3-6、六节点三角形单元3-7、单元载荷移置3-8、整体分析3-9、整体刚度矩阵的形成3-10、支承条件的处理3-11、整体刚度矩阵的特点3-1有限单元法的计算步骤弹性力学平面问题的有限单元法包括五个主要步骤：1、所分析问题的数学建模2、离散化3、单元分析4、整体分析与求解5、结果分析图3-13-2平面问题的常应变(三角形)单元有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。因平面问题的变形主要为平面变形，故平面上所有的节点都可视为平面铰，即每个节点有两个自由度。单元与单元在节点处用铰相连，作用在连续体荷载也移置到节点上，成为节点荷载。如节点位移或其某一分量可以不计之处，就在该节点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。如图3-13-2平面问题的常应变(三角形)单元1、位移函数如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变化情况很难用一个简单函数来描绘。有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。22123456...uaaxayaxaxyay22123456...vbbxbybxbxyby3-2平面问题的常应变(三角形)单元三结点三角形单元六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以平面问题的3节点三角形单元的位移函数如下，该位移函数，将单元内部任一点的位移设定为坐标的线性函数，该位移模式很简单。其中为广义坐标或待定系数，可据节点i、j、m的位移值和坐标值求出。123456vuxyxy位移函数写成矩阵形式为：12345610000001aaauxyavxyaa16~3-2平面问题的常应变(三角形)单元最终确定六个待定系数12312ijmiijmjijmmaaaubbbuAcccu45612ijmiijmjijmmaaavbbbvAcccv1[()()()]2iiiijjjjmmmmuabxcyuabxcyuabxcyuA1[()()()]2iiiijjjjmmmmvabxcyvabxcyvabxcyvAi,j,miimmjijmimjaxyxybyycxx轮换其中为2A第1行各个元素的代数余子式，1211iijjmmxyAxyxy3-2平面问题的常应变(三角形)单元令（下标i，j，m轮换）简写为1()2iiiiNabxcyA000000iiijmjijmjmmuvNNNuuNNNvvuvieijmjmNINININiiiejjjmmmuvuvuv[I]是单位矩阵，[N]称为形函数矩阵，Ni只与单元节点坐标有关，称为单元的形状函数3-2平面问题的常应变(三角形)单元•据弹性力学几何方程得单元的应变分量•由于三节点三角形单元的位移函数为线性函数，则单元的应变分量均为常量，故这类三角形单元称为常应变单元（位移在单元内和边界上为线性变化，应变为常量）2635xyxyuxvyuvyx3-2平面问题的常应变(三角形)单元2、形函数的特点及性质1)形函数Ni为x、y坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。2)形函数Ni在i节点处的值等于1，而在其他节点上的值为0。即(,)1(,)0(,)0(,)0(,)1(,)0(,)0(,)0(,)1iiiijjimmjiijjjjmmmiimjjmmmNxyNxyNxyNxyNxyNxyNxyNxyNxy类似(,)(,)(,)1ijmNxyNxyNxy3)单元内任一点的三个形函数之和恒等于1。4)形函数的值在0—1间变化。3-2平面问题的常应变(三角形)单元3、收敛性分析选择单元位移函数时，应当保证有限元法解答的收敛性，即当网格逐渐加密时，有限元法的解答应当收敛于问题的正确解答。因此，选用的位移模式应当满足下列条件：(1)位移函数必须含单元常量应变。前已说明(2)单元必须能反映单元的刚体位移（即单元应变为0时的位移）。前面位移函数改写为（注意：为0）则单元刚体位移为53351253354622v22uyxyxyx2635,,5315342v2uyx1040vuyx记为显然，位移函数包含了单元的刚体位移（平动和转动）3-2平面问题的常应变(三角形)单元•(3)位移函数在单元内部必须连续位移。因为线性函数，内部连续•(4)位移函数必须保证相邻单元在公共边界处的位移协调（即在公共边界上位移值相同）。如右图•设公共边界直线方程为y=Ax+B，代入位移函数可得：边界上位移为•显然，u,v仍为线性函数，即公共边界上位移连续协调。•综上所述，常应变三角形单元的位移函数满足解的收敛性条件，称此单元为协调单元123456()()uxAxBvxAxBy=Ax+B边界不协调产生裂缝边界不协调产生重迭3-2平面问题的常应变(三角形)单元例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵[N]。0ijmmjaxyxyijmbyya0imjcxx0jmiimaxyxy0jmibyyjimcxxa2mijjiaxyxyamijbyyamjicxxa3-2平面问题的常应变(三角形)单元由三角形的面积22aA211()(00)2iiiixNabxcyaxAaa211()(00)2jjjjyNabxcyayAaa2211()()12mmmmxyNabxcyaaxayAaaa0010[]0001xyxyaaaaNxyxyaaaa3-2平面问题的常应变(三角形)单元•4、应力、应变矩阵•将位移函数代入平面问题几何方程，得应变矩阵：00000000iixijmjyijmjxymmuuvxxNNNuvyyNNNvuvuyxyxv0001000[][][]2iiijmjeeijmijmjiijjmmmmuvbbbucccBBBBvAcbcbcbuv3-2平面问题的常应变(三角形)单元•应力矩阵•由平面问题物理方程得：•应变矩阵[B]反映了单元内任一点的应变与节点位移间的关系•应力矩阵[S]反映了单元内任一点的应力与节点位移间的关系•显然，常应变三角形单元的应变矩阵[B]为常量矩阵，说明在该单元上的应力和应变为常值。由此可见，在相邻单元的边界处，应变及应力不连续，有突变。eeeijmDDBSSSS3-3单元刚度矩阵讨论单元内部的应力与单元的节点力的关系，导出用节点位移表示节点力的表达式。由应力推算节点力，需要利用平衡方程。第一章中已经用虚功方程表示出平衡方程，即外力在虚位移上所作的虚功等于应力在虚应变上作的虚应变功。*T*T(1-17)δFεσdxdydzyiFixmFxjFxiFymFyjFmj*yiFi*xmF*xjF*xiF*ymF*yjFmjy*xy*y*xxytx(a)结点力、内部应力(b)虚位移、虚应变3-3单元刚度矩阵考虑上图三角形单元的实际受力，节点力和内部应力为：任意虚设位移，节点位移与内部应变为xyxyt****xyxyxiyixjyjxmymFFFFFFF*i*i*e*j*j*m*muvuδvuv3-3单元刚度矩阵令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为TFFFFFF******ixiiyijxjjyjmxmmymuvuvuvFFFFFFxiyixj******iijjmmyjxmymuvuvuveeT*Fδ3-3单元刚度矩阵计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为dx和dy，厚度为t，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。dydxdxdxdydydxdxdxdydydytdyxtdyxtdxytdxytdxxyttdxxyttdyxyttdyxytdx*xdy*y*xy*xy(a)实际应力(b)虚设应变3-3单元刚度矩阵微小矩形的内力虚功为整个弹性体的内力虚功为T*UdUεσtdxdy***xxyyxyxydU(σtdy)(εdx)(σtdx)(εdy)(τtdx)(γdy))tdxdyτγσεσ(εxy*xyy*yx*xx***xyxyyxyσεεγσtdxdyτtdxdyσεT*3-3单元刚度矩阵根据虚功原理，得这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。虚应变可以由节点虚位移求出：代入虚功方程**eTTeFtdxdyTeeT**T*Tε(Bδ)δ[B]**[]eTeTeTFBtdxdyeTF[B]σtdxdy3-3单元刚度矩阵接上式，将应力用节点位移表示出有令实际上，单元刚度阵的一般格式可表示为则建立了单元的节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。eσDBδeeTF[B][D][B]tdxdyδeTK[B][D][B]tdxdyeeeFKδeKeTVK[B][D][B]dxdydz3-3单元刚度矩阵由于[D]中元素是常量，而在线性位移模式下，[B]中的元素也是常量，且因此可以进一步得出平面应力问题和平面应