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5利用三角形全等测距离第四章三角形课前预习1.如图4-5-1，AB∥CD，E，F是BD上的两点，且AE∥CF，BF=DE，AE=5cm，则CF=__________.5cm2.为了测量A，B两点间的距离，小强设计了如图4-5-2所示的4种测量方案，根据小强的设计，能使CD=AB的有（）A.①②B.①④C.①③D.③④B3.把等腰直角三角形ABC，按如图4-5-3所示立在桌上，顶点A在桌面上，若另两个顶点分别距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，垂足之间的距离DE的长为（）A.4cmB.6cmC.8cmD.求不出来C4.如图4-5-4，要测河岸相对两点A，B间的距离，先从B出发与AB成90°角方向，向前走50米到C立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向走17米，到达E处，使A，C与E在同一直线上，那么测得A，B的距离为17米.这一作法的理论依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AASC5.如图4-5-5，小牛利用全等三角形的知识测量池塘两端A，B的距离，如要证明△CDO≌△BAO，则只需测出其长度的线段是（）A.AOB.CBC.BOD.CDD课堂讲练典型例题新知利用三角形全等测距离【例1】某铁路施工队在建设铁路的过程中要打通一座小山，需要测量隧道AB的长，恰好山的周围是宽阔的平地（如图4-5-6）.请你利用三角形全等的知识帮助测量人员测量出AB的长，简要说明测量的方法，画出测量方案，说明方案合理的理由.解：（1）如答图4-5-1，找个能同时看见A点和B点的C点，然后连接AC并延长至D，使DC＝AC；（2）连接BC并延长至点E，使EC＝BC，测量DE的长度，即为AB的距离.因为AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，所以△ACB≌△DCE（SAS）.所以AB＝DE.【例2】如图4-5-8，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD=BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（）A.AASB.SASC.ASAD.SSSB模拟演练1.如图4-5-7，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，则A，B两点间的距离（）A.大于100mB.等于100mC.小于100mD.无法确定B2.如图4-5-9，将两根等长钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于容器内径A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A.边边边B.边角边C.角边角D.角角边B课后作业夯实基础新知利用三角形全等测距离1.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图4-5-10所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块B2.如图4-5-11，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC.将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是（）A.SASB.SSSC.AASD.ASAB3.小明沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O点，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息如下：如图4-5-12，AB∥OE，OE∥CD，AC与BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为点D，下列结论中不正确的是（）DA.∠BOA=∠DOCB.AB∥CDC.∠ABD=90°D.与∠AOE相等的角共有2个4.如图4-5-13，王老师不小心把一块教学用的三角形玻璃打破了，他想再到玻璃店划一块同样大小的三角形玻璃，为了方便他只要带哪一块就可以？（）A.③B.②C.①D.都不行A5.如图4-5-14，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，且左边的滑梯与地面的夹角∠ABC=35°，则右边的滑梯与地面的夹角∠DFE=（）A.60°B.55°C.65°D.35°B6.如图4-5-15，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED.若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）A.29米B.58米C.60米D.116米B7.如图4-5-16是标准跷跷板的示意图，横板AB的中点过支撑点O，且绕点O只能上下转动.如果∠OCA=90°，∠CAO=25°，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为__________.50°8.如图4-5-17，是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中△ABC的周长为24cm，CF=3cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为（）A.45cmB.48cmC.51cmD.54cmA9.如图4-5-18，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，则∠ABC=∠CDE=90°，BC=DC，∠1=__________，△ABC≌__________，若测得DE的长为25米，则河宽AB长为__________.∠2△EDC25米10.某大学计划为新生配备如图4-5-19①所示的折叠凳，图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度也为30cm，依据是___________________________________和______________________（用文字语言叙述）.两边及夹角对应相等的两个三角形全等全等三角形对应边相等能力提升11.小明家所在的小区有一个池塘，如图4-5-20，A，B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在BD的中点C处有一个雕塑，小明从A出发，沿直线AC一直向前经过点C走到点E，并使CE=CA，然后他测量点E到假山D的距离，则DE的长度就是A，B两点之间的距离.（1）你能说明小明这样做的根据吗？（2）如果小明未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助他确定AB的长度范围吗？解：（1）在△ACB和△ECD中，CA=CE，因为∠ACB=∠ECD，BC=DC，所以△ACB≌△ECD（SAS）.所以AB=ED.（2）如答图4-5-2，连接AD，AD=200m，AC=120m，所以AE=240m.所以40m＜DE＜440m.所以40m＜AB＜440m.12.如图4-5-21，以△ABC的边AB，AC为边分别向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，连接CD，BE，DE.（1）证明：△ADC≌△ABE；（2）试判断△ABC与△ADE面积之间的关系，并说明理由.（1）证明：因为△ABD和△ACE都为等腰直角三角形，所以AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=90°.所以∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE.在△DAC和△BAE中，AD=AB，∠DAC=∠BAE，AC=AE，所以△DAC≌△BAE（SAS）.（2）解：△ABC与△ADE面积相等.理由如下：作CM⊥AB于点M，EN⊥DA的延长线交DA于点N，因为△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，所以∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE.因为∠BAD+∠CAE+∠BAC+∠DAE=360°，所以∠BAC+∠DAE=180°.因为∠DAE+∠EAN=180°，所以∠BAC=∠EAN.在△ACM和△AEN中，∠MAC=∠NAE，∠AMC=∠ANE，AC=AE，所以△ACM≌△AEN（AAS）.所以CM=EN.因为S△ABC=AB·CM，S△ADE=AD·EN，所以S△ABC=S△ADE.