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3探索三角形全等的条件第四章三角形第2课时探索三角形全等的条件（二）课前预习1.如图4-3-21，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD.你补充的条件是_________________________（只填一个）.AC=BD（或∠CBA=∠DAB）2.如图4-3-22，AB=AC，点D在AB上，点E在AC上，DC、EB交于点F，要证明△ADC≌△AEB，只需增加一个条件，这个条件可以是________.3.如图4-3-23，AB∥CD，点E是线段CD上的一点，BE交AD于点F，EF=BF，CD=10，AB=8，CE=__________.AD=AE24.在△ABC和△DEF中，已知①AB=DE，②AC=DF，③∠A=∠D，④∠B=∠E，请你选择其中的三个条件，使△ABC≌△DEF，你选择的一组序号为_________________________.①②③（答案不唯一）课堂讲练典型例题新知1三角形全等的条件——“角边角”（ASA）及其应用【例1】如图4-3-24，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.AB与DC相等吗？为什么？解：AB与DC相等.因为AB∥CD，所以∠B＝∠C.因为AF∥DE，所以∠AFB＝∠DEC.又因为BE＝CF，所以BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.在△ABF和△DCE中，∠B＝∠C，BF＝CE，∠AFB＝∠DEC，所以△ABF≌△DCE（ASA）.所以AB＝DC.【例2】如图4-3-26，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC.证明：因为∠BCE=∠DCA，所以∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，即∠ACB=∠ECD.在△ABC和△EDC中，∠ACB=∠ECD，AC=EC，∠A=∠E，所以△ABC≌△EDC（ASA）.所以BC=DC.模拟演练1.如图4-3-25，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB.AC与DB相等吗？试说明理由.解：AC与DB相等.在△ABC和△DCB中,因为∠2=∠1，BC为公共边，∠ABC=∠DCB，所以△ABC≌△DCB（ASA），所以AC=DB.2.如图4-3-27，∠AOD=∠BOC，∠A=∠C，O是AC的中点.△AOB与△COD全等吗？为什么？解：△AOB与△COD全等.因为∠AOD=∠BOC，所以∠AOD+∠DOB=∠BOC+∠BOD.即∠AOB=∠COD.因为O是AC的中点，所以AO=CO.在△AOB与△COD中，∠A=∠C，AO=CO,∠AOB=∠COD，所以△AOB≌△COD（ASA）.典型例题新知2三角形全等的条件——“角角边”（AAS）及其应用【例3】如图4-3-28，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C.那么AB与DC相等吗？为什么？解：AB与DC相等.因为点E，F在BC上，BE=CF，所以BE+EF=CF+EF，即BF=CE.在△ABF和△DCE中，因为∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，所以△ABF≌△DCE（AAS）.所以AB=DC.【例4】如图4-3-30，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E,F.求证：△BED≌△CFD.证明：因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠CFD=90°.因为AB=AC，所以∠B=∠C.在△BED和△CFD中，∠DEB=∠DFC,∠B=∠C,BD=CD，所以△BED≌△CFD（AAS）.模拟演练3.如图4-3-29，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD，BE交于点F，且BD=CE，问：AB与AC具有什么关系？并说明理由.解：AB=AC.理由如下：因为CD⊥AB，BE⊥AC，所以∠CEF=∠BDF=90°.又因为∠1=∠2，CE=BD，所以△CEF≌△BDF（AAS）.所以CF=BF，EF=DF.所以CF+FD=BF+FE，即CD=BE.在△ABE和△ACD中，∠A=∠A，∠BEA=∠CDA=90°，BE=CD，所以△ABE≌△ACD（AAS）.所以AB=AC.4.如图4-3-31,已知AB=AD，∠BAD=∠CAE，请添加一个条件：__________，使△ABC≌△ADE，并说明理由.条件：∠C=∠E（条件不唯一）因为∠BAD=∠CAE，所以∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE.在△ABC与△ADE中，∠C=∠E,∠BAC=∠DAE,AB=AD,所以△ABC≌△ADE（AAS）.课后作业夯实基础新知1三角形全等的条件——“角边角”（ASA）及其应用1.下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等.正确的是（）A.①和②B.②和③C.①和③D.①②③C2.根据已知条件，能画出唯一△ABC的是（）A.AC=4，AB=5，BC=10B.AC=4，AB=5，∠B=60°C.∠A=50°，∠B=60°，AB=2D.∠C=90°，AB=5C3.在△ABC与△DEF中，已知AB=DE，∠A=∠D，分别补充下列条件中的一个条件：①AC=DF；②∠B=∠E；③∠C=∠F；④BC=EF，其中能判断△ABC≌△DEF的有（）A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④A新知2三角形全等的条件——“角角边”（AAS）及其应用4.如图4-3-32，已知∠1=∠2，AC=AD，从下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E中添加一个条件，能使△ABC≌△AED的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个C5.如图4-3-33，已知AB=AD，∠BAD=∠CAE，则增加以下哪个条件仍不能判断△BAC≌△DAE的是（）A.AC=AEB.BC=DEC.∠B=∠DD.∠C=∠EB6.一定能确定△ABC≌△DEF的条件是（）A.∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠EB.∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠DC.AB=DE，BC=EF，∠A=∠DD.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠FA7.如图4-3-34，已知B、C在线段AD上，且MB=ND，∠MBA=∠NDC，请你添加一个条件，使△ABM≌△CDN，你添加的条件是__________________________________.∠M=∠N或∠A=∠NCD或AM∥CN或AB=CD能力提升8.如图4-3-35，在△ABC中，∠B=∠C，AB=10cm，BC=8cm，D为AB的中点，点P在线段上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动.当△BPD与△CQP全等时，求点P运动的时间.解：因为∠B=∠C，所以AB=AC.设点P,Q的运动时间为t，则BP=3t，CQ=3t.因为AB=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，所以BD=×10=5（cm），PC=（8-3t）cm.①BD,PC是对应边时，因为△BPD与△CQP全等，所以BD=PC，BP=CQ.所以5=8-3t且3t=3t.解得t=1s.②BD与CQ是对应边时，因为△BPD与△CQP全等，所以BD=CQ，BP=PC.所以5=3t，3t=8-3t.解得t=且t=（舍去）.综上所述，△BPD与△CQP全等时，点P运动的时间为1s.9.如图4-3-36，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C点作直线l，点D，E在直线l上，连接AD，BE，∠ADC=∠CEB=90°.求证：△ADC≌△CEB.证明：因为∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，所以∠DAC=∠ECB,在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB,∠DAC=∠ECB,AC=CB，所以△ADC≌△CEB（AAS）.