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相交线与平行线直观是重要的,但它有时也会骗人,你还能找到这样的例子吗?abcdabab回顾与思考每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.正确的命题称为真命题不正确的的命题称为假命题要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.命题:判断一件事情的句子,叫做命题知多少公理:公认的真命题称为公理(axiom).证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).本套教材选用如下命题作为公理:1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边及夹角对应相等的两个三角形全等;4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;5.三边对应相等的两个三角形全等;6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.平行线的判定公理:同位角相等,两直线平行.∵∠1=∠2,∴a∥b.判定定理1:内错角相等,两直线平行.∵∠1=∠2,∴a∥b.判定定理2:同旁内角互补,两直线平行.∵∠1+∠2=1800,∴a∥b.abc21abc12abc12公理:两直线平行,同位角相等.∵a∥b,∴∠1=∠2.性质定理1:两直线平行,内错角相等.∵a∥b,∴∠1=∠2.性质定理2:两直线平行,同旁内角互补.∵a∥b,∴∠1+∠2=1800.abc21abc12abc12平行线的性质三角形内角和定理三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800.△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:∠A=1800–(∠B+∠C).∠B=1800–(∠A+∠C).∠C=1800–(∠A+∠B).∠A+∠B=1800-∠C.∠B+∠C=1800-∠A.∠A+∠C=1800-∠B.这里的结论,以后可以直接运用.ABC三角形的外角三角形内角和定理的推论:推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.推论3:直角三角形的两锐角互余.△ABC中:∠1=∠2+∠3;∠1∠2,∠1∠3.ABCD1234这个结论以后可以直接运用.证明一个命题的一般步骤:(1)弄清题设和结论;(2)根据题意画出相应的图形;(3)根据题设和结论写出已知,求证;(4)分析证明思路,写出证明过程.如图：∠1是△ABC的一个外角,∠1与图中的其它角有什么关系?∠1+∠4=1800;∠1∠2;∠1∠3;∠1=∠2+∠3.证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理),∠1+∠4=1800(平角的意义),∴∠1=∠2+∠3.(等量代换).∴∠1∠2,∠1∠3(和大于部分).ABCD1234能证明你的结论吗?用文字表述为:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.探索思考外角的内涵与外延在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论.推论可以当作定理使用.三角形内角和定理的推论:推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.ABCD1234例1已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证:AD∥BC.ACDBE分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补”.··例题赏析例2.已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°.求：∠B和∠ACB的大小.ABCD解:∵∠DCA是△ABC的一个外角(已知)∠DCA=100°(已知),∴∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角意义).∴∠ACB=80°(等式的性质).∠A=45°(已知),例题赏析证明(1):∵∠BDC是△DCE的一个外角(外角意义),∴∠BDC∠CED(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).∴∠DEC∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).∴∠BDC∠A(不等式的性质).∵∠DEC是△ABE的一个外角(外角意义),例3已知:如图所示.求证:(1)∠BDC∠A;(2)∠BDC=∠A+∠B+∠C.BCADE例题赏析证明(2):∵∠BDC是△DCE的一个外角(外角意义),∴∠BDC=∠C+∠CED(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).∴∠DEC=∠A+∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和).∴∠BDC=∠A+∠B+∠C(等式的性质).∵∠DEC是△ABE的一个外角(外角意义),BCADE1.如图：将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的线段最短？研究发现，并非对角线最短，而是如图所示的连法最短（即用线段AE，DE，EF，BF，CF把四个顶点连接起来）.已知图中∠DAE=∠ADE=300，∠AEF=∠BFE=1200.你能证明此时的AB∥EF吗？.ABCD1题图EF课堂练习2.已知：如图，直线a,b被直线c所截，a∥b.求证：∠1+∠2=1800.bac212题图∴∠2+∠4=1800(两直线平行，同旁内角互补)证明1:∵a∥b(已知)∴∠2=∠3(两直线平行，内错角相等)又∵∠1+∠3=1800(平角意义)∴∠1+∠2=1800(等量代换)证明2:∵a∥b(已知)∠1=∠4(对顶角相等)∴∠1+∠2=1800(等量代换).bac212题图343.已知:如图，∠1+∠2=1800.求证:∠3=∠4.分析:要证明∠3=∠4，只要证明CD∥EF；而由∠1+∠2=1800，可得∠1+∠5=1800.从而可得CD∥EF4123OCEABFD3题图5