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2.三角形的内角和与外角和1.了解并掌握三角形的内角和等于180°，理解直角三角形两锐角互余的性质.(重点)2.掌握三角形外角的两条性质，了解三角形的外角和是360°.(难点)3.能应用三角形内角和外角的性质进行相关角的计算或比较.(重点、难点)一、三角形的内角和如图所示，已知△ABC,过点A作MN∥BC，∵MN∥BC，∴∠B=____，∠C=____.又∵∠1+∠BAC+∠2=______，∴∠B+∠BAC+∠C=______.【总结】三角形的内角和等于______.∠2180°180°180°∠1二、直角三角形两锐角的关系根据三角形内角和为______，直角三角形的直角为_____，所以两锐角之和等于_____，即两锐角_____.180°90°90°互余三、三角形的外角的性质如图所示，△ABC中，∠1是△ABC的一个外角，∵∠2+∠3+∠4=180°，(三角形的内角和等于180°)且∠1+∠4=180°，(平角的定义)∴∠1=∠2+∠3.(等量代换)【思考】1.通过上面的推理，猜想∠5与∠2，∠4的关系.提示：∠5=∠2+∠4.2.判断∠5与∠2，∠4的大小，∠1与∠2，∠3的大小.提示：根据和差关系，可得∠5∠2，∠5∠4，同理∠1∠2，∠1∠3.【总结】1.三角形的一个外角_____与它不相邻的两个内角的和.2.三角形的一个外角_____任何一个与它不相邻的内角.四、三角形的外角性质三角形的外角和等于______.等于大于360°(打“√”或“×”)(1)三角形越大，它的内角和就越大.()(2)一个三角形的三个内角度数是：70°,64°,45°.()(3)一个三角形至少有两个角是锐角.()(4)两个小直角三角形拼在一起形成的大三角形内角和为360°.()(5)三角形的任何一个外角都大于其内角.()××√××知识点1三角形内角和定理的应用【例1】如图，△ABC中，∠A=60°，∠B∶∠C=1∶5，求∠B的度数.【思路点拨】根据比例设出未知数→根据三角形内角和作为相等关系列出方程→求出未知数的值.【自主解答】设∠B=x°，∵∠B∶∠C=1∶5，∴∠C=(5x)°.∵三角形的三个内角的和是180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.∴列方程：60+x+5x=180，解得x=20，故∠B=20°.【总结提升】应用方程求解三角形中相关的角的一般思路1.设元：选择适当的角设为未知数.2.表示：用未知数表示其他的角.3.列方程：根据三角形内角和列方程求解.知识点2三角形的外角性质的应用【例2】(2013·鄂州中考)一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是()A.165°B.120°C.150°D.135°【思路点拨】利用直角三角形的性质求出∠2；再由三角形外角的性质知∠2=∠1+45°，所以易求∠1；然后由邻补角的性质来求∠α的度数.【自主解答】选A.∵∠2=90°-30°=60°，∴∠1=∠2-45°=15°，∴∠α=180°-∠1=165°.【总结提升】运用三角形外角性质解决问题时的两点注意1.明确要求的角或已知的角是哪个三角形的外角.2.由三角形内角与外角的性质进行计算.题组一：三角形内角和定理的应用1.若一个三角形三个内角度数的比为2∶7∶4，那么这个三角形是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【解析】选C.因为三角形三个内角度数的比为2∶7∶4，所以可设三角形的三个内角分别为：2x，7x，4x.∴2x+7x+4x=180°，得7x≈97°，所以这个三角形是钝角三角形.2.已知直角三角形的一个锐角为25°，则它的另一个锐角的度数为()A.25°B.65°C.75°D.不能确定【解析】选B.因为直角三角形的两锐角互余，所以另一个锐角等于90°-25°=65°.3.(2013·鞍山中考)如图，已知D，E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A的度数为()A.100°B.90°C.80°D.70°【解析】选C.∵DE∥BC，∠AED=40°，∴∠C=∠AED=40°.∵∠B=60°，∴∠A=180°-∠C-∠B=180°-40°-60°=80°.4.如图，已知AD∥BC，∠EAD=50°，∠ACB=40°，则∠BAC=度.【解析】∵AD∥BC，∠EAD=50°，∴∠EBC=∠EAD=50°.在△ABC中，∠EBC=50°，∠ACB=40°，∴∠BAC=180°-50°-40°=90°.答案：905.(2013·上海中考)当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为.【解析】100°÷2=50°，180°-100°-50°=30°.答案：30°6.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，CD平分∠ACB，求∠ACD的度数.【解析】在△ABC中，∵∠A=70°，∠B=50°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=×60°=30°.1212题组二：三角形的外角性质的应用1.(2012·东营中考)下图能说明∠1∠2的是()【解析】选C.∠1和∠2是对顶角，所以∠1=∠2，故A选项不符合题意；∠1和∠2是同位角，如果两条被截直线是平行的，则∠1=∠2，若不平行，则∠1∠2或∠1∠2都有可能，故B选项不符合题意；∠1是三角形的一个外角，所以∠1∠2，故C选项符合题意；∠1和∠2是同一个角的余角，则∠1=∠2，故D选项不符合题意.2.如果三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和为180°，那么这个三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定【解析】选C.因为三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，它们的和为180°，所以这个外角等于90°，与它不相邻的两个内角的和也是90°，三角形的剩余内角等于180°-90°=90°，为直角三角形，故选C.3.(2013·毕节中考)如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，∠E+∠D的度数为()A.30°B.60°C.90°D.45°【解析】选D.∵AB∥CD，∠EBA=45°，∴∠CFB=45°，∴∠E+∠D=∠CFB=45°.4.如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=度.【解析】根据平行线的性质，可得∠NCP=∠A=70°.又根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以∠P=∠NCP-∠B=70°-40°=30°.答案：305.如图，点D是△ABC内的一点.说明：∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD.【解析】连结AD并延长，因此∠1=∠BAD+∠ABD，∠2=∠CAD+∠ACD，∴∠BDC=∠1+∠2=∠BAD+∠ABD+∠CAD+∠ACD=∠BAC+∠ABD+∠ACD.【想一想错在哪？】(2013·襄阳中考)如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A的度数为()A.60°B.70°C.80°D.90°提示：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，而不是任意两个内角和.