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第9章多边形9.1三角形1.认识三角形1.理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念.(重点)2.会将三角形按角、按边分类.(重点)3.理解等腰三角形、等边三角形的概念.(重点)4.掌握三角形的角平分线、中线、高的概念及其画法.(重点、难点)1.三角形的相关概念.(1)三角形的定义：由_____________________的线段首尾顺次连结组成的平面图形.这三条线段就是三角形的___.(2)三角形的表示方法：一般地，三角形用符号“___”表示，顶点为A，B，C的三角形，记为：______.(3)三角形的内角：三角形中_________所组成的角.(4)三角形的外角：三角形中内角的一边与另一边的____________所组成的角.三条不在同一条直线上边△△ABC每两条边反向延长线2.三角形的分类.(1)三角形(按角)(2)三角形(按边)等腰三角形：只有两边相等_____三角形：________________三角形：所有内角都是_____的三角形_____三角形：有一个内角是_____的三角形_____三角形：有一个内角是_____的三角形不等边三角形：三边都不相等等腰三角形锐角锐角直角直角钝角钝角等边三边都相等3.三角形的中线、高、角平分线.(1)中线：在三角形中，连结一个_____与它_________的线段.一个三角形中有_____中线，都在三角形的___部，并且相交于_____.(2)高：从三角形的一个_____向它的_______________作垂线，_____和_____之间的线段.顶点对边中点三条内一点顶点对边所在的直线顶点垂足①锐角三角形的三条高都在三角形的___部，相交于一点；②直角三角形斜边上的高在三角形的___部，两直角边上的高_______________.三条高相交于_________；③钝角三角形钝角对边上的高在三角形的___部，夹钝角的两条边上的高在三角形的___部.三条高的延长线也相交于_____.(3)角平分线：在三角形中，一个内角的_______与它的_____相交，___________________之间的线段.一个三角形中有三条角平分线，它们都在三角形的___部，并且相交于_____.内内与两直角边重合直角顶点内外一点平分线这个角的顶点与交点内一点对边(打“√”或“×”)(1)三角形的中线是经过一边中点和这边对角顶点的直线.()(2)三角形的外角都是钝角.()(3)直角三角形的三条高的交点在直角顶点上.()(4)三角形的中线能把三角形的面积分为相等的两部分.()(5)三角形的角平分线都在三角形的内部.()××√√√知识点1三角形的有关概念【例1】如图所示，图中有几个三角形？请分别表示出来，∠AEC，∠ABD分别是哪些三角形的内角？以BD为边的三角形有哪些？【解题探究】1.图中单个图形是三角形的有哪些？提示：△BEF，△CDF，△BFC.2.图中由两个图形组合为一个三角形的有哪些？提示：△BEC，△BDC，△ABD，△AEC.3.图中共有__个三角形，分别是________________________________________________________.4.以∠AEC为内角的三角形有______，以∠ABD为内角的三角形有_____________，以BD为边的三角形有_____________.8△BEF，△CDF，△BFC，△BEC，△BDC，△ABD，△AEC，△ABC△AEC△BEF，△ABD△BDC，△ABD【总结提升】确定三角形个数的三个要求1.按一定方向数：从上到下，或从左到右等具有一定的方向性.2.按从小到大的顺序数：先数单一的三角形，再数组合的三角形.3.不重不漏：边数边记，要做到不重复，不遗漏.知识点2三角形的三种重要的线段【例2】如图：①在△ABC中，BC边上的高是.②在△AEC中，AE边上的高是.③在△FEC中，EC边上的高是.④若AB=CD=2cm，AE=3cm，则S△AEC=cm2，CE=cm.【思路点拨】根据三角形高的概念，找出所相应的边的高，再利用S三角形=×底×高，求出三角形的面积，进而求出CE的长度.12【自主解答】①在△ABC中，因为AB⊥BC，且BC所对的顶点为点A，所以BC边上的高是AB.同理：②在△AEC中，AE边上的高为CD，③在△FEC中，EC边上的高为FE，④在△AEC中，以AE为底，则高为CD，以CE为底，则高为AB.∵AE=3cm,CD=2cm,∴S△AEC=AE·CD=3cm2,又∵S△AEC=AB·CE=3cm2,AB=2cm,∴CE=3cm.1212【总结提升】三角形的三种重要线段识别的两点注意1.不要混淆：准确把握三角形三种重要线段的概念，弄清三者的区别.2.注意数量关系的推理判断：由三角形的角平分线可得到两个角的数量关系，由三角形的中线可得到两个面积相等的三角形.题组一：三角形的有关概念1.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有()A.2对B.3对C.4对D.6对【解析】选B.△BDC与△BEC，△BDC与△BAC，△BEC与△BAC共三对.2.图中三角形的个数是()A.3个B.4个C.5个D.6个【解析】选D.BD，BE，BC，DE，DC，EC六条线段分别和点A组成6个三角形.3.已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形或钝角三角形【解析】选B.△ABC的一个外角为50°，则相邻的内角是130°，所以△ABC是一个钝角三角形.4.如图所示，图中有个三角形，个直角三角形.【解析】由分析知：图中有5个三角形，4个直角三角形.答案：545.如图，BD是长方形ABCD的一条对角线，CE⊥BD于点E.(1)写出图中所有的直角三角形.(2)写出图中的锐角三角形和钝角三角形.【解析】(1)图中所有的直角三角形有：△ABD，△BCD，△BCE，△CDE.(2)图中的锐角三角形有：△ABE；图中的钝角三角形有：△ADE.题组二：三角形的三种重要的线段1.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.都有可能【解析】选C.只有直角三角形的三条高的交点在直角顶点上.【变式训练】下列说法中错误的是()A.三角形三条角平分线都在三角形的内部B.三角形三条中线都在三角形的内部C.三角形三条高都在三角形的内部D.三角形三条高至少有一条在三角形的内部【解析】选C.当三角形为直角三角形或钝角三角形时，三条高只有一条在三角形的内部.2.如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1=∠2=∠3=∠4，AE是哪个三角形的角平分线()A.△ABEB.△ADFC.△ABCD.△ABC，△ADF【解析】选D.∵∠2=∠3，∴AE是△ADF的角平分线；∵∠1=∠2=∠3=∠4，∴∠1+∠2=∠3+∠4，即∠BAE=∠CAE，∴AE是△ABC的角平分线.3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B落在点B′的位置，则线段AC具有性质()A.只是边BB′上的中线B.只是边BB′上的高C.只是∠BAB′的角平分线D.以上三种性质合一【解析】选D.因为把△ABC沿直线AC翻折180°，使点B落在点B′的位置，所以BC=CB′，所以AC是边BB′上的中线；有∠ACB=∠ACB′=90°，即AC是边BB′上的高；又∠BAC=∠B′AC，所以AC是∠BAB′的角平分线.4.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若CE=9cm，则BC=cm.【解析】∵AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，∴CD=BD=DE=∴CE=DE+CD=∵CE=9cm，∴BC=12cm.答案：121BC2，1BD2，3BC.45.如图所示，AD是△ABC的中线，AB=6cm，AC=5cm，求△ABD和△ADC的周长的差.【解析】∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD=DC=∴△ABD和△ADC的周长的差1BC2，11(ABBCAD)(ACBCAD)ABAC1cm.22【想一想错在哪？】作出下列三角形AB边上的高.提示：BD不是高，对三角形的高的定义不理解.三角形的高是从角的顶点向对边作垂线，垂足和顶点之间线段的长度，也就是垂线段的长度.