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4.1.2相交直线所成的角一、如图，直线AB，CD相交于点O.1.观察以上图形，直线AB和直线CD相交构成__个角，从∠1和∠3可以看出，它们具有公共的顶点O,OA与OB及OC与OD互为反向延长线.42.具有以上特点的另一对角是____与____.3.因为∠AOB是平角，所以∠1+∠2=_____;还因为∠COD是平角，所以∠1+∠4=_____.根据以上两个等式，我们可以得到________.根据类似的原因还可以得到∠1=____.∠2∠4180°180°∠2=∠4∠3【归纳】(1)两个角有一个公共的_____，并且一个角的两边是另一个角的两边的___________，具有这种位置关系的两个角互为对顶角.(2)对顶角_____.【点拨】对顶角是指具有特殊位置关系的两个角，并且成对出现.顶点反向延长线相等二、如图，直线a,b(被截线)被直线c(截线)所截形成了8个小于平角的角.1.观察∠1和∠8的位置关系：它们在被截线的同一方(下方)，在截线的_____.具有同种位置关系的角还有：∠2和∠__；∠4和∠__；∠3和∠__.2.观察∠2和∠5的位置关系：它们在被截线之间，在截线的_____.具有同种位置关系的角还有：∠1和∠__.3.观察∠1和∠5的位置关系：它们在被截线之间，在截线的_____.具有同种位置关系的角还有：∠2和∠__.同侧756两侧6同侧6【归纳】两条直线被第三条直线所截，(1)在被截线的_________，截线的_____，具有这样位置关系的一对角叫做同位角.(2)在被截线的_____，截线的_____，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.(3)在被截线的_____，截线的_____，具有这样位置关系的一对角叫做同旁内角.同一方向同侧内侧两侧内侧同侧【预习思考】1.相等的两个角是对顶角吗？提示：不一定，相等是对顶角的数量特征，还必须满足其位置特征.2.准确识别三类角的关键是什么？提示：辨清截线与被截线，理解定义.对顶角的识别【例1】如图(1)已知直线AB，CD相交于点O，OE⊥DC于点O；如图(2)已知射线AE，射线BD相交于点C.图中哪些角是对顶角？【解题探究】对顶角是两条相交线以交点为顶点，具有特殊位置关系的角.对于图(1)：①OA与OB及OC与OD互为反向延长线，所以存在的对顶角是：∠AOD与∠COB，∠AOC与∠DOB.图(2)中的对顶角是∠ACB与∠DCE，∠BCE与∠ACD.【规律总结】找对顶角的方法找一个角的对顶角时，可以分别反向延长这个角的两边，以延长线为边的角就是原角的对顶角.【跟踪训练】1.以下说法正确的是()(A)有公共顶点，并且相等的两个角是对顶角(B)两条直线相交，任意两个角都是对顶角(C)两角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角(D)两角的两边分别在同一直线上，这两个角互为对顶角【解析】选C.A.有公共顶点，并且相等的两个角是对顶角，不符合对顶角的定义，错误；B.两条直线相交,两角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，任意两个角都是对顶角的说法错误；C.两角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，符合对顶角的定义，正确；D.两角的两边分别在同一直线上，这两个角是对顶角或者邻补角，错误.2.如图所示，直线AB，CD相交于O，所形成的∠1，∠2，∠3，∠4中，下列分类不同于其他三个的是()(A)∠1和∠2(B)∠2和∠3(C)∠3和∠4(D)∠2和∠4【解析】选D.A，B，C中，两个角都是互补关系；D中，两角是对顶角，是相等的关系，故选D.对顶角性质的应用【例2】(6分)已知：如图，直线AB,DC,EF相交于点O，∠AOC=90°，∠2=4∠1，求∠2，∠3，∠BOE的度数.【规范解答】因为∠AOC=90°，所以∠BOC=90°,即∠1+∠2=90°.………………2分又因为∠2=4∠1，解得∠1=18°，∠2=72°，…………………………………4分所以∠3=18°(对顶角相等)，∠BOE=180°-∠3=162°.……………………………………6分特别提醒:∠2与∠1的关系要注意有两个限制条件.【规律总结】对顶角性质的应用解决与相交线形成的对顶角、邻补角的有关问题时要注意以下两点：1.弄清形成这类角的前提条件，即它们是由哪两条直线相交形成的.2.应用对顶角、邻补角的性质时要分清哪些角相等，哪些角互补,不要混淆.【跟踪训练】3.如图，直线a，b，c交于O，∠1=30°，∠2=50°，则∠3=_____.【解析】如图,∠3的对顶角为∠4，所以∠3=∠4；又∠1+∠2+∠4=180°，∠1=30°，∠2=50°，所以∠4=180°-30°-50°=100°，即∠3=100°.答案：100°4.如图，当剪刀口∠AOB增大15°时，∠COD增大_________°.【解析】因为∠AOB与∠COD是对顶角，∠AOB与∠COD始终相等，所以随∠AOB变化，∠COD也发生同样变化.故当剪刀口∠AOB增大15°时，∠COD也增大15°.答案：15同位角、内错角、同旁内角的识别【例3】已知如图，找出图中所有的同位角、内错角、同旁内角.【解题探究】1.把相关的两个角从图形中分离出来，得到图①～图⑤所示的简单图形：2.根据分离的图形及同位角、内错角、同旁内角的定义判断：∠1与∠4是同位角(图①)；∠2与∠5是内错角(图②)；∠3与∠4是同旁内角(图③)；∠4与∠5是同旁内角(图④)；∠3与∠5是同旁内角(图⑤).【规律总结】判断两角位置关系的方法1.判断两角边的情况：公共边所在的直线为截线，另外两边为被截线.2.形象记忆：同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形.【跟踪训练】5.下图中，∠1和∠2是同位角的是()【解析】选D.A，B，C中∠1，∠2的两边都不在同一条直线上，都不是同位角，D中∠1,∠2有一边在同一条直线上，又在被截线的同一方，是同位角.6.若∠1与∠2是同旁内角，∠1=30°，则()(A)∠2=150°(B)∠2=30°(C)∠2=150°或30°(D)∠2的大小不能确定【解析】选D.同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系.7.如图，与∠B是同旁内角的角有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个【解析】选C.根据同旁内角的定义，图中与∠B是同旁内角的角有3个，分别是∠BAC，∠BAE，∠ACB.8.如图，∠EFB的内错角有______个.【解析】∠EFB的内错角有∠AEF,∠DEF,∠FBC，共3个.答案：31.下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】选B.根据对顶角的定义可知：只有第3个图形中的∠1与∠2是对顶角，其他都不是.故选B.2.(2012·桂林中考)如图：与∠1是内错角的是()(A)∠2(B)∠3(C)∠4(D)∠5【解析】选B.根据内错角的定义判断.3.如图，与∠α构成同旁内角的角有_______个.【解析】根据同旁内角的定义可知：与∠α构成同旁内角的角有5个.答案：54.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=54°，∠1比∠2大10°，则∠1=______°；∠2=______°.【解析】因为∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠1+∠2=∠AOC=54°，因为∠1-∠2=10°，所以∠1=32°，∠2=22°.答案：32225.已知，如图，∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6中，同位角有哪些，内错角有哪些，同旁内角有哪些？【解析】同位角有：∠1和∠3，∠4和∠6；内错角有：∠2和∠4，∠5和∠3；同旁内角：∠3和∠4，∠1和∠2，∠2和∠5，∠5和∠6，∠1和∠6.