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4.5垂线一、垂直的定义1.如图，直线AB,CD相交于点O，若∠AOC=___°，则我们称两条直线互相垂直.记作AB___CD，交点O叫做_____.90⊥垂足2.(1)定义的推理形式可以写成：因为___________，所以_______.(垂直的定义)(2)反之，如果AB⊥CD，那么∠AOC=___°.∠AOC=90°AB⊥CD90二、斜线的定义两条直线_____________时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线，它们的交点叫做_____.三、垂线的画法及性质1.完成下面填空:(1)作一条直线的垂线，可以作_____条；(2)在同一平面内，经过一点有_________条直线与已知直线垂直.相交不成直角斜足无数且只有一2.量一量，比一比.如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O,A1,A2,A3,…,其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的垂线段).比较线段PO,PA1,PA2,PA3,…的长短，这些线段中，哪一条最短？答：___最短.PO【归纳】直线外一点与直线上各点的所有线段中，_______最短.简单说成：___________.垂线段垂线段最短四、点到直线的距离从直线外一点到这条直线的_______的长度，叫做点到直线的距离.垂线段【预习思考】“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这句话正确吗？为什么？提示：不正确.缺少条件：在同一平面内.垂直的定义及其应用【例1】(8分)如图所示，O为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，OC是∠AOD的平分线.(1)求∠COD的度数；(2)判断OD与AB的位置关系，并说明理由．13【规范解答】(1)因为∠AOC+∠BOC=180°，所以∠BOC+∠BOC=180°，…………………………………2分所以∠BOC=180°，所以∠BOC=135°，∠AOC=45°.……………………………4分又因为OC是∠AOD的平分线，所以∠COD=∠AOC=45°.………………………………………5分(2)OD⊥AB.因为∠AOD=∠AOC+∠COD=90°，所以OD⊥AB.……………………………………………………8分1343【规律总结】垂直定义应用的两方面垂直的定义既是性质又是判定：一可以由垂直关系得到角的数量关系；二是根据角的数量关系判定角的边所在直线的位置关系.【跟踪训练】1.如图，OA⊥OB，OC⊥OD，垂足均为O.则∠BOC+∠AOD的度数是()(A)150°(B)160°(C)170°(D)180°【解析】选D.延长BO到E.因为OA⊥OB，所以OA⊥OE.又OC⊥OD，所以∠AOC+∠COE=∠AOC+∠AOD=90°.由同角的余角相等知：∠COE=∠AOD.所以∠BOC+∠AOD=∠BOC+∠COE=180°.2.(2012·临沂中考)如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是()(A)40°(B)50°(C)60°(D)140°【解析】选B.因为AB∥CD，所以∠1=∠BCD，又因为∠1=40°，所以∠1=∠BCD=40°，因为DB⊥BC，所以∠CBD=90°，所以∠2=180°-90°-40°=50°.3.如图，已知直线AB,CD,EF相交于O，OG⊥AB，且∠FOG=32°，∠COE=38°，则∠BOD的度数为______.【解析】因为AB,CD,EF交于O，所以∠FOD=∠COE=38°.又因为OG⊥AB，所以∠BOD=90°-∠FOD-∠FOG=90°-38°-32°=20°.答案：20°4.如图，直线AB,CD相交于O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，∠1=50°，求∠BOC,∠BOF的度数.【解析】因为OE⊥CD于点O，∠1=50°，所以∠AOD=90°-∠1=40°.因为∠BOC与∠AOD是对顶角，所以∠BOC=∠AOD=40°.因为OD平分∠AOF，所以∠DOF=∠AOD=40°，所以∠BOF=180°-∠BOC-∠DOF=180°-40°-40°=100°.垂线的画法及性质的应用【例2】如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路最短，请画出行走路径，并说明理由.【解题探究】1.根据题意可知，小明行走的路径可以分为两段：(1)从点A到点B，其最短路径为线段AB，理由是：两点之间线段最短.(2)从点B到河边，其最短路径是过点B作河岸的垂线，B点与垂足两点的连线最短，理由是：垂线段最短.2.作图如下：【规律总结】垂线做法三字诀1.靠：靠已知直线，使三角尺的一条直角边与已知直线重合;2.移：沿已知直线移动三角尺，使另一条直角边过已知的定点;3.画：画已知直线的垂线.【跟踪训练】5.点P为直线l外一点,点A,B,C为直线l上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线l的距离()(A)为4cm(B)为2cm(C)小于2cm(D)不大于2cm【解析】选D.由题意知，PCPAPB，但PC不一定垂直于直线l，由“垂线段最短”知，点P到直线l的距离不大于2cm.6.如图，点M,N分别在直线a,b上，请画出过点M与直线b垂直的直线，和过点N与直线a垂直的直线.并量出在你所画的图中，点M到直线b的距离与点N到直线a的距离.【解析】如图.距离用刻度尺测量即可.1.在两条直线相交所成的四个角中，不能判定这两条直线垂直的是()(A)对顶角互补(B)四对邻补角(C)三个角相等(D)邻补角相等【解析】选B.两条直线相交，已有四对邻补角，因此，选项B不足以判定这两条直线垂直；而根据垂直的定义，对顶角、邻补角的性质不难判断其他选项的说法都可以判定这两条直线垂直，所以答案为B.2.下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是()【解析】选A.利用点到直线的距离的定义可知：线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是选项A.3.如图，直线a⊥b，∠1=50°，则∠2=____°.【解析】因为a⊥b，所以∠1与∠2互余，因为∠1=50°，所以∠2=90°-∠1=90°-50°=40°.答案：404.如图，OA⊥OB，OC⊥OD.若∠AOD=144°，则∠BOC=______.【解析】由OA⊥OB，OC⊥OD，可得∠AOB=∠COD=90°，所以∠BOC=360°-180°-144°=36°.答案：36°5.如图，∠ABC=90°，∠1=62°，过B作AC的垂线BO，垂足为O，若∠1=∠2，(1)求∠ABO，∠BOD的度数；(2)试说明OD⊥BC．【解析】(1)因为∠ABC=90°，∠1=62°，所以∠ABO=90°-62°=28°．因为BO⊥AC于O，所以∠BOC=90°．因为∠2=∠1=62°，所以∠BOD=90°-62°=28°．(2)因为∠BDO=180°-∠1-∠BOD=180°-62°-28°=90°，所以OD⊥BC.