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4.4平行线的判定1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角_____,那么这两条直线_____.简单地说:同位角_____,两条直线_____.符号语言：因为∠1__∠2,所以AB___CD.相等平行相等平行=∥2.如图，如果∠2=∠3，能得出a∥b吗？因为∠2=∠3(已知)，∠3=∠1(___________)，所以∠1=∠__(等量代换)，所以a∥b(_______________________).对顶角相等2同位角相等，两直线平行【归纳】两条直线被第三条直线所截,如果内错角_____,那么这两条直线_____.简单地说：内错角_____,两直线_____.相等平行相等平行3.题2中，如果∠2+∠4=180°，能得出a∥b吗？因为∠4+∠2=180°,∠4+∠1=180°(已知)，所以∠2=∠1(_______________)，所以a∥b(______________________).同角的补角相等同位角相等,两直线平行【归纳】两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角_____,那么两条直线_____.简单地说：同旁内角_____,两直线_____.互补平行互补平行【预习思考】你能说出木工用角尺画平行线的道理吗？提示：用角尺画平行线，实际上是画出了两个直角，根据“同位角相等,两条直线平行”可知这样画出的就是平行线.平行线的判定【例1】(7分)如图所示，已知直线a，b，c，d，e，且∠1=∠2，∠3+∠4=180°，试判断a与c的关系，并说明理由.【规范解答】平行.1分理由如下：因为∠1=∠2，所以a∥b.(内错角相等，两直线平行)………………………………3分特别提醒:(1)找准两个角是哪两条直线被哪一条直线所截而成的角.(2)注意符号语言的运用格式.又∠3+∠4=180°，所以c∥b，(同旁内角互补，两直线平行)…………………………………………………………………5分所以a∥c.(平行于同一条直线的两条直线平行)…………………………………………………………………7分【规律总结】判定两条直线平行的方法要判定两条直线平行，只要能推出这两条直线被第三条直线所截形成的同位角相等或内错角相等或同旁内角互补即可.【跟踪训练】1.如图，下列条件中，能判定AB∥CE的是()(A)∠A=∠ACE(B)∠B=∠ACE(C)∠B=∠ACB(D)∠A=∠ECD【解析】选A.∠A与∠ACE是AB,CE被AC所截而成的内错角，所以由∠A=∠ACE可以判定AB∥CE，A正确；∠B与∠ACE以及∠A与∠ECD构不成内错角，也构不成同位角，因此，由∠B=∠ACE，∠A=∠ECD都不能判定AB∥CE，B,D都错误；∠B与∠ACB是AB与AC被BC所截而成的同旁内角，所以由∠B=∠ACB也无法判定AB∥CE，C错.2.(2012·南宁中考)如图所示，用直尺和三角尺作直线AB,CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为______.【解析】三角尺在平移的过程中，角度没有发生变化，根据同位角相等，两直线平行就能判定直线AB与直线CD的位置关系为平行.答案：平行3.如图，要判定AB∥CD，可以添加的条件是_______.【解析】答案不唯一,根据“同位角相等，两直线平行”，可以添加的条件是∠ABC=∠DCE,根据“内错角相等，两直线平行”可以添加的条件是∠1=∠2或∠5=∠6,根据“同旁内角互补，两直线平行”可以添加的条件是:∠ABC+∠BCD=180°或∠BAD+∠CDA=180°.答案：∠ABC=∠DCE(答案不唯一)4.已知∠3=45°,∠1与∠2互余，试判断AB,CD的位置关系.【解析】由于∠1与∠2是对顶角，所以∠1=∠2.又因为∠1+∠2=90°(已知)所以∠1=∠2=45°.因为∠3=45°(已知)，所以∠2=∠3,所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行).5.如图，已知∠AED=60°，∠2=30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？【解析】可以.理由如下：因为∠AED=60°，EF平分∠AED，所以∠1=30°，又因为∠1=∠2=30°，所以EF∥BD(内错角相等，两直线平行).平行线性质和条件的综合应用【例2】(9分)已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D，请说明∠A=∠F.【规范解答】因为∠1=∠2(已知)，∠2=∠3(对顶角相等)，所以∠1=∠3(等量代换)，…………………………………………………………………3分所以BD∥CE(同位角相等，两直线平行)，所以∠D=∠CEF(两直线平行，同位角相等)，………………5分又因为∠C=∠D(已知)，所以∠CEF=∠C(等量代换)，…………………………………7分所以DF∥AC(内错角相等，两直线平行)，所以∠A=∠F(两直线平行，内错角相等).…………………………………………………………………9分【规律总结】平行线的性质与判定的区别与联系1.区别：(1)性质：根据两条直线平行，证角相等或互补．(2)判定：根据两角相等或互补，证两条直线平行．2.联系：它们都是以两条直线被第三条直线所截为前提；它们的条件和结论是互逆的.3.总结：已知平行用性质,要证平行用判定.【跟踪训练】6.如图，AB∥CD，AD，BC相交于点O，∠A=35°，∠BOD=76°，则∠C的度数是_______．【解析】因为AB∥CD，所以∠C=∠B，因为∠BOD+∠BOA=180°,∠A+∠B+∠BOA=180°,所以∠A+∠B=∠BOD=76°.又因为∠A=35°，所以∠B=76°-35°=41°,所以∠C=41°.答案：41°7.小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB∥CD，∠BAE=30°，∠AED=70°.小明发现工人师傅只是量出∠BAE=30°，∠AED=70°后，又量了∠EDC=40°，就说AB与CD肯定是平行的，你知道是什么原因吗？【解析】如图，在∠AED的内部画∠AEF=∠BAE，则EF∥AB.又因为∠BAE=30°，∠AED=70°，所以∠DEF=40°，又∠EDC=40°，所以∠DEF=∠EDC，所以EF∥CD，所以AB∥CD.1.(2012·梧州中考)如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是()(A)∠3=∠4(B)∠D=∠DCE(C)∠1=∠2(D)∠D+∠ACD=180°【解析】选C.因为∠1=∠2,所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行).2.如图，下列推理正确的是()(A)因为∠1=∠2，所以AD∥BC(B)因为∠3=∠4，所以AB∥CD(C)因为∠3=∠5，所以AD∥BC(D)因为∠3=∠5，所以AB∥DC【解析】选D.同位角相等，两直线平行.3.如图所示，BE是AB的延长线，量得∠CBE=∠A=∠C.(1)由∠CBE=∠A可以判断______∥_____，根据是__________.(2)由∠CBE=∠C可以判断______∥_____，根据是__________.【解析】(1)∠CBE与∠A是直线AD,BC被直线AE所截得的同位角，两角相等，可得直线AD与BC平行.(2)∠CBE与∠C是直线CD,AE被直线BC所截得的内错角，两角相等，可得直线CD与AE平行.答案：(1)ADBC同位角相等，两直线平行(2)CDAE内错角相等，两直线平行4.(2012·宜宾中考)如图，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4=_______.【解析】因为∠1=∠3，所以AB∥CD，所以∠5+∠4=180°，又∠5=∠2=59°，所以∠4=180°-59°=121°.答案：121°5.如图所示，要想判断AB是否与CD平行，我们可以测量哪些角，请你写出三种方案，并说明理由.【解析】(1)可以测量∠EAB与∠D，如果∠EAB=∠D，那么根据同位角相等，两直线平行，得出AB与CD平行.(2)可以测量∠BAC与∠C，如果∠BAC=∠C，那么根据内错角相等，两直线平行，得出AB与CD平行.(3)可以测量∠BAD与∠D，如果∠BAD+∠D=180°，那么根据同旁内角互补，两直线平行，得出AB与CD平行.