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3简单的轴对称图形第2课时1、掌握等腰三角形的性质.2、运用等腰三角形的性质解决相关问题.3、探索等腰三角形的判定定理及其应用．4、探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．1、下列图形不一定是轴对称图形的是（）A.圆B.长方形C.线段D.三角形2、怎样的三角形是轴对称图形？3、有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫，两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫.D等腰三角形等腰三角形腰底顶角底角有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.ACB腰腰底边顶角底角底角【定义】如图，拿出一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它打开，得到的三角形ABC有什么特点？【探究】把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.【找一找】重合的线段重合的角ACBDAB＝ACBD＝CDAD＝AD∠B＝∠C∠BAD＝∠CAD∠ADB＝∠ADC等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗?等腰三角形的两个底角相等.【猜想】已知：△ABC中，AB=AC求证：∠B=C分析：1.如何证明两个角相等？2.如何构造两个全等的三角形？ABC【验证】ABCD【证明】作△ABC的角平分线AD,（SAS），则有∠BAD＝∠CAD在△ABD和△ACD中AB＝AC,AD＝AD,所以△ABD≌△ACD所以∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）.∠BAD＝∠CAD还有其他的方法吗？还可以作BC边上的中线或BC边上的高来解决【想一想】等腰三角形顶角的角平分线，底边上的高线，底边上的中线有什么关系？刚才的证明除了能得到∠B＝∠C，你还能发现什么?(等腰三角形三线合一)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.（简写成“三线合一”）等腰三角形的性质:【归纳】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.ABCD【解析】因为AB=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等边对等角)设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，所以，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.x⌒2x2x2x【例题】⒈等腰三角形一个底角为50°,它的另外两个角为_____________；⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为___________________；⒊等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为________.50°,80°70°,40°或55°,55°30°,30°【跟踪训练】一个三角形有两个角相等，为什么这两个角所对的边也相等？ABC已知：△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.【探究】【证明】作∠BAC的平分线AD.在△BAD和△CAD中，∠1=∠2，∠B=∠C，AD=AD,所以△BAD≌△CAD（AAS）,所以AB=AC（全等三角形的对应边相等）.1ABCD2你还有其他方法吗？①定义，②判定定理在同一个一、等腰三角形的判定方法有：__________________二、运用等腰三角形的判定定理时，应注意__________________.等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等（简写成“等角对等边”）【归纳】三角形中ABCDE已知：如图，∠DAC是△ABC的一个外角，AE平分∠DAC，且AE∥BC.求证：△ABC是等腰三角形.【证明】因为AE平分∠DAC,所以∠DAE=∠EAC,因为ＡＥ∥BC,所以∠DAE＝∠B,∠EAC=∠C,所以∠B=∠C,∴AB=AC.所以△ABC是等腰三角形.【例题】1.已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD.BADC【证明】因为AD∥BC,所以∠ADB=∠DBC,因为∠ABD=∠DBC,所以∠ABD=∠ADB,所以AB=AD.【跟踪训练】2.如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？21分析：是等腰三角形．因为，如图可证∠1=∠2．因为△ABC与△ADC关于AC轴对称，所以AB＝AD.又因为∠B=60°,所以△ABD是等边三角形.又因为AC⊥BD,所以BC＝DC＝AB.如图，将两个含有30°角的三角板放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？BACD21【探究】定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.AB21ＢＡＣ即在Rt△ABC中，如果∠ＡＣB＝９0°∠A＝30°那么ＢＣ＝.【归纳】BADCE如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m,∠A＝30°,立柱BC，DE有多长？【例题】【解析】因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，由上述定理可得：BC=AB，DE=AD，所以BC=×7.4=3.7(m).又AD=AB=3.7(m),所以DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱BC，DE分别长3.7m、1.85m.1212121212121.如图,∠Ｃ＝90°，Ｄ是ＣＡ的延长线上一点,∠ＢＤＣ＝15°，且ＡＤ＝ＡＢ，则ＢＣ=_____AB.ＢＣＡＤ【跟踪训练】122.（宿迁·中考）数学活动课上，老师在黑板上画直线l平行于射线AN（如图），让同学们在直线和射线上各找一点B和C，使得以A,B,C为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画______个．【解析】分别以A，B，C为直角顶点,则共有3个等腰直角三角形.答案：33.如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE，则∠CAE=.【解析】点D是等边△ABC中BC边的中点，故∠DAC＝30°;在等边△ADE中，∠CAE=60°-30°=30°.答案：30°1.（烟台·中考）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于()A.80°B.70°C.60°D.50°ADBCCE【解析】选C.因为AB=AC，∠A=20°，所以∠ABC=（180°-∠A）=80°，因为DE垂直平分AB，所以∠ABE=∠A=20°，所以∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°.212.（泰州·中考）等腰△ABC的两边长为2和5，则第三边长为．【解析】因为2,5,5能构成三角形，2,2,5不能构成三角形，所以第三边长为5.答案：5BCADE3.（宁波·中考）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD,CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A.5个B.4个C.3个D.2个【解析】选A.因为AB=AC,∠A=36°,所以∠ABC=∠ACB=72°.由BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的角平分线，可得∠ABD=∠CBD=∠ECB=∠ACE=36°.所以△ABC,△BCD,△ABD,△BCE,△DCE都为等腰三角形.两个底角相等，简称“等边对等角”顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”分类讨论思想的应用轴对称图形通过本课时的学习，需要我们掌握：1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两种判定方法:①定义，②判定定理.（2）运用等腰三角形的判定定理时，应注意在同一个三角形中.2.等腰三角形的判定：3.含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么，它所对的直角边等于斜边的一半.因为宇宙的结构是最完善的而且是最明智的上帝的创造，因此，如果在宇宙里没有某种极大的或极小的法则，那就根本不会发生任何事情.——欧拉