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探究一：线段上的动点问题第6章图形的初步知识ZJ版七年级上1．如图，数轴的原点O表示数0，点A，B，C是数轴上的三点，点B表示的数为1，AB＝6，BC＝2，动点P，Q同时从A，C出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒(t＞0)．解：∵动点P，Q同时从A，C出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，∴点P表示的数是－5＋2t.点Q表示的数是3＋t.(1)求点A，C分别表示的数；(2)求点P，Q分别表示的数(用含t的式子表示)；解：∵点B表示的数为1，AB＝6，BC＝2.∴点A表示的数是1－6＝－5，点C表示的数是1＋2＝3.(3)试问当t为何值时，OP＝OQ?解：①当点P与点Q在原点两侧时，若OP＝OQ，则5－2t＝3＋t，解得t＝23；②当点P与点Q在原点同侧时，若OP＝OQ，则－5＋2t＝3＋t，解得t＝8；综上，当t为23或8时，OP＝OQ.2．(1)如图①，D是线段AB上任意一点，M，N分别是AD，DB的中点，若AB＝16，求MN的长．解：MN＝DM＋DN＝12AD＋12BD＝12(AD＋BD)＝12AB＝8.(2)如图②，AB＝16，点D是线段AB上一动点，M，N分别是AD，DB的中点，能否求出线段MN的长？若能，求出其长；若不能，试说明理由．解：能.MN＝DM＋DN＝12AD＋12BD＝12(AD＋BD)＝12AB＝8.(3)如图③，AB＝16，点D运动到线段AB的延长线上，其他条件不变，能否求出线段MN的长？若能，求出其长；若不能，试说明理由．解：能.MN＝MD－DN＝12AD－12BD＝12(AD－BD)＝12AB＝8.(4)你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？解：MN的长始终等于12AB.3．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别为－2，6，O为原点，点P为数轴上的一动点，其表示的数为x.(1)PA＝________，PB＝________．(用含x的式子表示)|x＋2||x－6|(2)在数轴上是否存在点P，使PA＋PB＝10？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．解：存在，分三种情况：①当点P在A，B之间时，PA＋PB＝8，故舍去；②当点P在B点右边时，PA＝x＋2，PB＝x－6，因为(x＋2)＋(x－6)＝10，所以x＝7；③当点P在A点左边时，PA＝－x－2，PB＝6－x，因为(－x－2)＋(6－x)＝10，所以x＝－3.综上，当x＝－3或7时，PA＋PB＝10.(3)点P以每秒1个单位长度的速度从点O向右运动，同时点A以每秒5个单位长度的速度向左运动，点B以每秒20个单位长度的速度向右运动，在运动过程中，M，N分别是AP，OB的中点，问：AB－OPMN的值是否发生变化？请说明理由．AB－OPMN的值不发生变化.理由如下：设运动时间为t秒，则OP＝t，OA＝5t＋2，OB＝20t＋6，所以AB＝OA＋OB＝25t＋8，AP＝OA＋OP＝6t＋2，ON＝12OB＝10t＋3，所以AB－OP＝24t＋8，AM＝12AP＝3t＋1，所以OM＝OA－AM＝5t＋2－(3t＋1)＝2t＋1，所以MN＝OM＋ON＝12t＋4.所以AB－OPMN＝24t＋812t＋4＝2，是常数，因此AB－OPMN的值不发生变化.4．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．(1)当PB＝2AM时，求x的值．解：当点P在点B左边时，PA＝2x，PB＝24－2x，AM＝x，所以24－2x＝2x，即x＝6；当点P在点B右边时，PA＝2x，PB＝2x－24，AM＝x，所以2x－24＝2x，方程无解.综上可得，x的值为6.(2)当P在线段AB上运动时，试说明2BM－BP为定值．解：当P在线段AB上运动时，BM＝24－x，BP＝24－2x，所以2BM－BP＝2(24－x)－(24－2x)＝24，即2BM－BP为定值.(3)当P在AB的延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN的长度不变；②MA＋PN的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值．解：①正确.当P在AB的延长线上运动时，PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x－24，PN＝12PB＝x－12，所以①MN＝PM－PN＝x－(x－12)＝12.所以MN的长度不变，为定值12.②MA＋PN＝x＋x－12＝2x－12，所以MA＋PN的值是变化的.探究二：巧解时针与分针的夹角问题第6章图形的初步知识ZJ版七年级上1．观察常用时钟，回答下列问题：(1)10时整，时针和分针构成多少度的角？解：10时整，时针和分针中间相差2个大格.因为每个大格为30°，所以10时整，分针和时针的夹角是2×30°＝60°，答：10时整，时针和分针构成60度的角.(2)时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？(3)从7：00到7：40，分针转动了多少度？解：由时钟可知时针12小时转一圈，一圈是360°，所以360°÷12＝30°，答：时针12小时转一圈，它转动的速度是每小时30°.解：(360°÷60)×40＝240°，答：分针转动了240°.2．小华是个数学迷，最近他在研究钟面角(时针与分针组成的角)问题，他想和大家一起来讨论相关问题．(1)分针每分钟转6°，时针每分钟转________；(2)你能指出下面各个图中时针与分针之间夹角的大小吗？图①的钟面角为________，图②的钟面角为________．0.5°30°22.5°(3)12：00，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？此时，时针和分针各转动了多少度？解：设至少经过xmin时针与分针再次重合，则6x－0.5x＝360，解得x＝72011，∴72011×0.5°＝36011°，72011×6°＝（432011)°.答：至少经过72011min会再次出现时针和分针重合的现象，此时，时针转动了36011°，分针转动了432011°.3．观察时钟，解答下列问题．(1)在2时和3时之间的什么时刻，时针和分针的夹角为直角？解：设从2时经过x分，分针与时针的夹角为直角，依题意，有6x＝60＋0.5x＋90，解得x＝30011.答：在2时30011分，时针和分针的夹角为直角.(2)小明下午5时多有事外出时，看到墙上钟面的时针和分针的夹角为90°，当天下午不到6时回家时，发现时针与分针的夹角又为90°，那么小明外出了多长时间？解：设小明外出了y分，根据题意，列方程为6y＝90＋0.5y＋90，解得y＝36011.答：小明外出了36011分.【点拨】在钟表问题中，常利用时针与分针的转动度数关系：分针每分转动6°，时针每分转动0.5°，并且结合起点时针和分针的位置关系建立角的数量关系.4．同学们，日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识．(1)如图①，上午8：00这一时刻，钟表上分针与时针所夹的角等于________；120°(2)请在图②中大致画出8：20这一时刻时针和分针的位置，思考并回答：从上午8：00到8：20，钟表的分针转过的度数是________，钟表的时针转过的度数是________；120°10°画图略.(3)元旦这一天，某地区某中学七年级部分学生上午8点多集中在学校门口准备去步行街进行公益服务，临出发，组长一看钟表，时针与分针正好是重合的，下午2点多他们回到学校，当进校门时，组长看见钟表的时针与分针方向相反，正好成一条直线，那么你知道他们去步行街进行公益服务共用了多长时间吗？通过计算加以说明．解：设上午8点x分出发，下午2点y分回到学校，则6x－0.5x＝8×30，解得x＝48011≈44，6y－0.5y－2×30＝180，解得y＝48011≈44，所以他们去步行街进行公益服务共用了6小时.