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第9节直线的相交第1课时对顶角第6章图形的初步知识ZJ版七年级上1．【2018·杭州期末】下列选项中，∠1与∠2是对顶角的是()D2．【2018·宜宾期末】如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1＋∠2＝90°，则∠BOC的度数是()A．100°B．115°C．135°D．145°C3．平面上任意三条直线，交点可以有()A．1个或2个或3个B．0个或1个或2个或3个C．1个或2个D．都不对【点拨】三条直线中，任意两条不相交时，没有交点，即此时交点个数为0；三条直线都经过同一个点时，此时交点个数为1；两条直线不相交，第三条直线与两条直线都相交时，交点个数为2；三条直线两两相交且不经过同一点时，交点个数为3.【答案】B4．【2019·汕头潮阳区校级月考】如图，已知直线AB，CD，MN相交于点O，若∠1＝22°，∠2＝46°，则∠3的度数为()A．112°B．102°C．68°D．46°A5．【2018·咸阳秦都区期中】已知∠1与∠2互为对顶角，∠2与∠3互余，若∠3＝45°，则∠1的度数是()A．45°B．90°C．135°D．45°或135°A6．【2017·嵊州期末】如图，直线AB与CD相交于点O，∠1＝∠2，若∠AOE＝140°，则∠AOC的度数为()A．40°B．60°C．80°D．100°【点拨】因为∠AOE＝140°，∠AOE＋∠2＝180°，所以∠2＝40°.因为∠1＝∠2，所以∠BOD＝2∠2＝80°.因为直线AB与CD相交于点O，所以∠AOC＝∠BOD＝80°.【答案】C7．下列说法正确的有()①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【点拨】对顶角是具有特殊位置关系的两个角，由这种位置关系可得出数量关系：“角相等”，但并不是所有相等的角都具备这种位置关系，所以相等的角不一定是对顶角，此题易出现认为“相等的角就是对顶角”的错误.【答案】B8．【2018·上海普陀区期中】如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，∠COE＝20°，则∠BOE＝________．120°9．(1)如图①，用图中这种测量工具，可以量出图中零件上AB与CD两条轮廓线的延长线所成的角．其中的道理是______________．(2)如图②，当剪刀口∠AOB增大15°时，∠COD增大________．对顶角相等15°10．【2018·长沙雨花区校级期末】如图，已知直线AB和CD相交于点O，在∠COB的内部作射线OE.(1)若∠AOC＝38°，∠COE＝90°，求∠BOE的度数；解：∵∠AOC＝38°，∠COE＝90°，∴∠BOE＝180°－∠AOC－∠COE＝180°－38°－90°＝52°.(2)若∠COE∶∠EOB∶∠BOD＝4∶3∶2，求∠AOE的度数．解：∵∠COE∶∠EOB∶∠BOD＝4∶3∶2，∠COE＋∠EOB＋∠BOD＝180°，∴∠COE＝49×180°＝80°，∠BOD＝29×180°＝40°，∴∠AOC＝∠BOD＝40°，即∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝40°＋80°＝120°.11．补全解答过程：如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC∠EOD＝2:3，求∠BOD的度数．解：由∠EOC∠EOD＝2:3，设∠EOC＝2x°，则∠EOD＝3x°.因为∠EOC＋∠________＝180°(_____________)，EOD平角的定义所以2x＋3x＝180，解得x＝36.所以∠EOC＝72°.因为OA平分∠EOC(已知)，所以∠AOC＝12∠EOC＝36°.因为∠BOD＝∠AOC(______________)，所以∠BOD＝________．对顶角相等36°12．如图，直线AB，CD相交于点O，∠FOC＝∠BOG＝90°，∠1＝100°，∠2＝30°，分别求∠3，∠4和∠5的度数．解：因为∠AOB＝180°，∠1＝100°，∠2＝30°，所以∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－100°－30°＝50°.又因为∠FOC＝90°＝∠3＋∠4，所以∠4＝∠FOC－∠3＝90°－50°＝40°.因为∠BOD与∠3是对顶角，所以∠BOD＝∠3＝50°，又因为∠BOG＝90°＝∠5＋∠BOD，所以∠5＝90°－50°＝40°.13．如图，直线AB与CD相交于点O，OD恰为∠BOE的平分线．(1)请直接写出∠AOD的补角；(2)若∠AOD＝142°，求∠AOE的度数．解：∠AOD的补角是∠AOC、∠BOD、∠EOD.解：∵∠AOD＝142°，∴∠BOD＝38°，∵OD为∠BOE的平分线，∴∠EOD＝∠BOD＝38°.∴∠AOE＝∠AOD－∠EOD＝142°－38°＝104°.14．直线AB与CD相交于点O，∠AOM＝90°.(1)如图①，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；解：因为∠AOM＝90°，OC平分∠AOM，所以∠AOC＝45°，又因为∠AOC与∠AOD互补，所以∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－45°＝135°.(2)如图②，若∠BOC＝4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数．解：因为∠BOC＝4∠NOB，∠BOC＝∠NOB＋∠NOC，所以∠NOC＝3∠NOB，又因为OM平分∠NOC，所以∠MON＝12∠NOC＝32∠NOB.因为∠AOM＝90°，所以∠BOM＝90°，所以∠BOM＝∠NOB＋∠MON＝52∠NOB＝90°，所以∠NOB＝36°，所以∠MON＝54°.15．观察图，寻找对顶角(不含平角)：(1)如图①，图中共有________对对顶角；(2)如图②，图中共有________对对顶角；(3)如图③，图中共有________对对顶角；2612(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系．若有n条直线相交于一点，则可形成________对对顶角；(5)若有2018条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？n(n－1)解：2018×(2018－1)＝4070306(对)，即可形成4070306对对顶角.【点拨】(1)如题图①，共有1×2＝2(对)对顶角.(2)如题图②，共有2×3＝6(对)对顶角.(3)如题图③，共有3×4＝12(对)对顶角.(4)由(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系可得，若有n条直线相交于一点，则可形成n(n－1)对对顶角.(5)若有2018条直线相交于一点，则可形成2018×(2018－1)＝4070306(对)对顶角.