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2.平行线的判定1.经历探索两直线平行条件的过程，理解两直线平行的判定方法.(重点)2.能根据两直线平行的判定方法，解决一些简单问题.(重点、难点)3.初步了解推理论证的方法，会正确书写简单的推理过程.一、平行线的判定方法如图所示：若∠1=∠2，根据平行线的画法可知，a∥b,可以得到平行线的一个基本事实，即两条直线被第三条直线所截,如果同位角_____,那么这两条直线_____.简单说成:同位角_____,两直线_____.符号语言：∵∠1=∠2，∴a∥b.相等平行相等平行【思考】1.上图中，如果∠2=∠3，那么a∥b吗？提示：∵∠1=∠3，∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴a∥b.2.上图中，如果∠2+∠4=180°，那么a∥b吗？提示：∵∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180°，∴∠1=∠2，∴a∥b.【总结】1.两条直线被第三条直线所截,如果内错角_____,那么这两条直线_____.简单说成：内错角相等,两直线_____.符号语言：∵∠2=∠3，∴a∥b.2.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角_____,那么这两条直线_____.简单说成：同旁内角互补,两直线_____.符号语言:∵∠4+∠2=180°，∴a∥b.相等平行平行互补平行平行二、平行线的其他判定方法1.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线_____.2.平行于同一条直线的两条直线_____.平行平行(打“√”或“×”)(1)两条直线被第三条直线所截，如果两个角是同位角，那么这两条直线平行.()(2)内错角相等，两直线平行.()(3)同旁内角相等，两直线平行.()(4)在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c.()×√××知识点1平行线的判定【例1】如图，已知∠B=∠C，点B，A，E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C，且AD平分∠EAC，则AD与BC平行吗？为什么？【解题探究】1.AD与BC被AC所截形成什么位置关系的角？它们满足什么关系时，AD与BC平行？提示：AD与BC被AC所截形成一对内错角∠1与∠C，当∠1=∠C时，AD与BC平行.2.AD与BC被AB所截形成什么位置关系的角？它们满足什么关系时，AD与BC平行？提示：AD与BC被AB所截形成一对同位角∠2与∠B和一对同旁内角∠DAB与∠B，当∠2=∠B时，AD与BC平行；当∠DAB+∠B=180°时，AD与BC平行.3.根据已知条件，怎样用问题1的方法说明AD与BC平行？提示：∵AD平分∠EAC(已知)，∴∠1=∠EAC(角平分线的定义)，∵∠EAC=∠B+∠C，∠B=∠C(已知)，∴∠C=∠EAC(等量代换)，∴∠C=∠1(等量代换)，∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行).2121【互动探究】例1还有其他解决方法吗？提示：可以类似上面的方法由已知条件得到∠B=∠2，再根据“同位角相等，两直线平行”得到AD∥BC.【总结提升】判定两直线平行的三种思路1.考虑这两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角相等或同旁内角互补.2.考虑这两条直线是否都垂直于同一条直线.3.考虑这两条直线是否都平行于同一条直线.知识点2平行线判定的实际应用【例2】如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A=120°，第二次拐角∠B=150°，第三次拐的角是∠C，若要使这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为()A.120°B.130°C.140°D.150°【思路点拨】先过点B在∠ABC内部作∠ABF=∠A，通过判定AD∥BF，再求出∠FBC，进而求出∠C.【自主解答】选D.如图，在∠ABC内部,以点B为顶点，以BA为一边，作∠ABF=∠A=120°，∴AD∥BF.∵∠ABC=150°，∠ABF=120°，∴∠FBC=30°.若∠C+∠FBC=180°，即∠C=150°时，BF∥CE，∴AD∥CE.因此选D.【总结提升】用平行线的判定解决实际问题的两个步骤1.将实际问题转化成数学问题.2.借助于平行线的判定方法加以判定.题组一：平行线的判定1.对于图中标记的各角，利用下列条件能够推理得到a∥b的是()A.∠1=∠2B.∠2=∠4C.∠3=∠4D.∠1+∠4=180°【解析】选D.因为∠1与∠2，∠2与∠4，∠3与∠4，都不是a，b被截得的同位角或内错角，所以选项A，B，C不能判定a∥b；若∠1+∠4=180°，因为∠1与∠5为对顶角，所以∠1=∠5，则∠5+∠4=180°，所以a∥b.所以选项D可以判定a∥b.【变式训练】如图，∠1=52°，∠2=58°，∠3=70°，下列条件中能得到DE∥BC的是()A.∠B=58°B.∠C=52°C.∠B=70°D.∠C=70°【解析】选D.∵∠3=70°，∠C=70°，∴∠3=∠C，∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行).2.(2012·贵阳中考)如图，已知∠1=∠2，则图中互相平行的线段是________.【解析】∵∠1=∠2，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行).答案：AB∥CD3.如图所示，用两个相同的三角尺按照如图方式作平行线，理由是_______.【解析】如图，∵∠PAB=∠ACD，∴CD∥AP(内错角相等，两直线平行).答案：内错角相等，两直线平行4.观察图形，回答问题：若使AD∥BC，需添加的条件：___________________________________(至少找出4个答案).【解析】若添加∠DAC=∠ACB或∠ADB=∠DBC，则利用内错角相等判定两直线平行；若添加∠EAD=∠EBC或∠FDA=∠FCB，则利用同位角相等判定两直线平行.若添加∠ABC+∠BAD=180°或∠DCB+∠CDA=180°，则利用同旁内角互补判定两直线平行.答案：∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC，∠EAD=∠EBC，∠FDA=∠FCB，∠ABC+∠BAD=180°，∠DCB+∠CDA=180°(答案不唯一)5.如图，已知CD⊥AD，DA⊥AB，∠1=∠2，则DF与AE平行吗？为什么？【解析】DF∥AE.理由如下：∵CD⊥AD，DA⊥AB，∴∠2+∠FDA=90°，∠1+∠DAE=90°，又∠1=∠2，∴∠FDA=∠DAE，∴DF∥AE(内错角相等，两直线平行).题组二：平行线判定的实际应用1.一个弯形管道ABCD的弯角∠ABC=130°，∠BCD=50°，则管道AB与CD的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法确定【解析】选A.∵∠ABC+∠BCD=130°+50°=180°，∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行).2.(2012·广元中考)一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向平行行驶，那么这两个拐弯的角度可能是()A.先向左转130°，再向左转50°B.先向左转50°，再向右转50°C.先向左转50°，再向右转40°D.先向左转50°，再向左转40°【解析】选B.先向左转a°,再向右转b°形成的两个角是同位角关系，因为两次拐弯后，仍在原来的方向平行行驶，即两直线平行，所以需要a°=b°.【变式训练】如图是一条管道的示意图，如果要求管道经两次拐弯后的方向保持原来不变，那么管道的两个拐角∠α，∠β之间的关系是()A.∠α=∠βB.∠α+∠β=90°C.∠α+∠β=180°D.∠α+∠β=360°【解析】选A.如图，∵∠α=∠β，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行).3.如图是一条街道的两个拐角，∠ABC与∠BCD均为140°，则街道AB与CD的关系是_______，这是因为_______.【解析】AB∥CD.理由：∵∠ABC=∠BCD=140°,∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行).答案：平行内错角相等，两直线平行4.如图，某工件要求AB∥ED，质检员小李量得∠ABC=146°，∠BCD=60°，∠EDC=154°，则此工件_______(填“合格”或“不合格”).【解析】如图，在∠BCD内部，以点C为顶点，以CB为一边，作∠BCF=34°，∴∠BCF+∠ABC=34°+146°=180°，∴AB∥CF(同旁内角互补，两直线平行).∵∠BCD=60°，∠BCF=34°，∴∠DCF=26°，又∵∠EDC=154°，∴∠EDC+∠DCF=154°+26°=180°，∴DE∥CF(同旁内角互补，两直线平行).∴AB∥DE(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行).因此此工件是合格的.答案：合格5.如图是一块四边形木板，若手头只有一把直角尺和铅笔，如何检验这块木板的对边MN与PQ是平行的.(要求：在原图上画出示意图，用文字简要叙述检验过程，并说明理由)【解析】如图，把直角尺一边紧靠木板边缘PQ，画直线AB，与PQ，MN交于A，B；再把直角尺的一边紧靠木板的边缘MN，移动使直角尺另一边过点B.画直线若所画直线与BA重合，则这块木板的对边MN与PQ是平行的，∵AB⊥PQ，AB⊥MN，∴PQ∥MN(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行).【想一想错在哪？】如图，能判断AD∥BC的条件有_______(填序号).①∠1=∠2；②∠ADC+∠C=180°；③∠EAD=∠ABC；④∠3=∠4.提示：两条直线被第三条直线所截的关系角确定不准确，导致平行线的判定出错.