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2.垂线1.了解垂线的概念，掌握垂线的性质.(重点)2.理解点到直线的距离的概念.3.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线，会用垂线的性质解决问题.(难点)一、垂直的概念及符号表示1.当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是_____时，其他三个角也都成为_____，此时叫做这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做_____.2.垂直的符号是___，直线AB与直线CD垂直，记作_______，直线m与直线n垂直，记作_____.直角直角垂足⊥AB⊥CDm⊥n二、垂线的性质垂线的性质1用三角尺或量角器画已知直线l的垂线：(1)如图1，画已知直线l的垂线，这样的直线能画_____条.(2)如图2，过点A画直线l的垂线，这样的直线能画___条.(3)如图3，过点B画直线l的垂线，这样的直线能画___条.无数一一【思考】(1)通过①的探究，能得到关于垂线的怎样的结论？提示：直线l的垂线有无数条.(2)通过②③的探究，能得到关于垂线的怎样的结论？提示：经过一点只能画一条直线与已知直线垂直.【总结】过一点_____________直线与已知直线垂直.有且只有一条三、点到直线的距离如图，点P为直线l外一点，点A，B，C，D，E为直线l上的点，且PC⊥l于C,用刻度尺或圆规比较线段PA，PB，PC，PD，PE的大小，得到最短的线段为___.PC叫做点P到直线l的垂线段，PC的长度叫做点P到直线l的距离.【总结】从直线外一点到这条直线的_______的长度,叫做点到直线的距离.垂线段PC(打“√”或“×”)(1)作已知直线的垂线，有且只有一条.()(2)两条直线相交成四个角，如果其中一个角是直角，那么另外三个角也一定都是直角.()(3)过直线外一点画已知直线的垂线，只能画一条.()(4)直线l外一点与直线上各点的距离长短不一，最短的是垂线段.()(5)从直线外一点引这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离.()×√√√×知识点1垂线【例1】如图，已知三角形ABC中，∠BAC是钝角.(1)画出点C到AB的垂线段.(2)过点A画BC的垂线.(3)点B到AC的距离是多少？【思路点拨】(1)延长BA→画点C到射线BA的垂线段→得到点C到AB的垂线段.(2)画过点A与BC垂直的直线.(3)延长CA→画出点B到射线CA的垂线段→测量垂线段的长度→得到点B到AC的距离.【自主解答】(1)如图，画出射线BA,过点C作射线BA的垂线，垂足为F,则线段CF就是点C到AB的垂线段.(2)如图，过点A作AD⊥BC于点D，则直线AD就是过A点画的BC的垂线.(3)如图，先画出点B到射线CA的垂线段BE，再量出线段BE的长度，BE的长度即为点B到AC的距离.点B到AC的距离约为1.3cm.【互动探究】垂线段和垂线有什么区别?提示：垂线段是线段，而垂线是直线.【总结提升】垂线与其相关概念的关系1.垂线与垂直：垂线是指互相垂直的两条直线，而垂直则是指两条直线之间的位置关系，垂直强调的是一种位置关系，垂线是一种图形.2.垂线与垂线段：垂线是两条互相垂直的直线，不可度量；垂线段是线段(垂线上一点与垂足之间的线段)，可以度量.垂线和垂线段都是几何图形，垂线段是垂线的一部分.3.垂线段与点到直线的距离：垂线段是一种几何图形，属于“形”的概念；点到直线的距离是指垂线段的长度，属于“量”的概念，不能认为点到直线的距离就是垂线段.知识点2垂线的性质及其应用【例2】如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路线最短，请画出行走路径.【解题探究】1.怎样确定小明家到外婆家最短路程？为什么？提示：小明家到外婆家最短路程是线段AB的长度，理由是两点之间线段最短.2.怎样确定外婆家到小河边的最短路程？为什么？提示：外婆家到小河边的最短路程是点B到河边直线的垂线段的长度，理由是垂线段最短.3.画图，连结AB，过点B作BC垂直河边直线于点C.4.结论：最短行走路径为________.CA→B→C【总结提升】解决“平面上最短问题”的两把钥匙1.两点之间，线段最短.2.垂线段最短.题组一：垂线1.数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.从左向右第一个图形中，BE不是线段；第二个图形中，BE不垂直于AC；第三个图形中，是过点E作的AC的垂线段；第四个图形是过点E作的BC的垂线线.综上所述4个都不正确.2.如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD.若∠COA=36°，则∠DOB的大小为()A.36°B.54°C.64°D.72°【解析】选B.因为OC⊥OD，所以∠COD=90°.又因为∠COA+∠COD+∠DOB=180°，所以∠DOB=180°-36°-90°=54°.【变式训练】如图所示，A，B，C三点在同一条直线上，已知∠1=23°，∠2=67°，则CD与CE的位置关系是_______.【解析】因∠ACB=180°，∠1=23°，∠2=67°，则∠ECD=90°，故CD⊥CE.答案：垂直3.如图，AB⊥CD于点B，BE是∠ABD的平分线，则∠CBE的度数为________度.【解析】因为AB⊥CD，所以∠ABC=∠ABD=90°.因为BE平分∠ABD，所以∠ABE=∠ABD=45°，所以∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°+45°=135°.答案：135214.如图，OA⊥OB，OC⊥OD.若∠AOD=144°，则∠BOC=_____度.【解析】因为OA⊥OB，OC⊥OD，所以∠AOB=∠COD=90°.又因为∠AOD+∠AOB+∠BOC+∠COD=360°，∠AOD=144°，所以∠BOC=360°-∠AOD-∠AOB-∠COD=360°-144°-90°-90°=36°.答案：365.如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB∠DOF=65°.求∠BOE的度数.【解析】因为OF⊥AB，所以∠BOF=90°.因为∠DOF=65°，所以∠BOD=∠BOF-∠DOF=90°-65°=25°.因为OE⊥CD，所以∠DOE=90°，所以∠BOE=∠DOE-∠BOD=90°-25°=65°.题组二：垂线的性质及其应用1.如图，这是一条马路上的人行横道线，即斑马线的示意图，请你根据图示判断，在过马路时三条线路AC，AB，AD中最短的是()A.ACB.ABC.ADD.不确定【解析】选B.由垂线段最短可知，AB最短.2.如图，有三条公路，其中AC与AB互相垂直，小华与小强分别从A地，B地沿AC，BC同时出发，骑车去C城，若他们同时到达，则下列判断正确的是()A.小强骑车的速度快B.小华骑车的速度快C.两人一样快D.因为不知道公路的长度，所以无法判断他们速度的快慢【解析】选A.因为AC⊥AB，所以BC＞AC，由于他们同时出发，同时到达，所以小强骑车的速度快.3.如图是小亮同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段_______的长度.【解析】因为身体在沙坑上所有接触的点中，距离起跳线最近的点到起跳线的距离作为跳远成绩，所以他的跳远成绩是线段BN的长度.答案：BN4.如图所示，PO⊥OB，OC⊥PB，OP=3cm,OB=2cm,则点B到OP的距离是_______cm,点P到OB的距离是_______cm,OB，OC，OP三条线段中，______最短，理由是______.【解析】由点到直线的距离以及“垂线段最短”这一性质可得出答案.答案：23OC垂线段最短5.如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案:方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足分别为E，F，沿CE，DF铺设管道；方案二：连结CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道.这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？【解析】按方案一铺设管道更节省材料.理由如下：因为CE⊥AB，DF⊥AB，而AB与CD不垂直，所以根据“垂线段最短”，可知CECP，DFDP,所以CE+DFCP+DP，所以沿CE，DF铺设管道更节省材料.【想一想错在哪？】若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为()A.10cmB.4cmC.10cm或4cmD.至少4cm提示：分类讨论不全面，漏掉了AB所在直线不与l垂直的情况.