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第5章相交线与平行线5.1相交线1.对顶角1.理解对顶角的概念及其性质.(重点)2.运用对顶角的性质解决相关问题.(难点)一、对顶角的定义如图，画直线AB，CD相交于点O，所成的角有___________________.(1)∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1的位置关系是_____，数量关系是_____.(2)∠1与∠3，∠2与∠4的位置关系是_____.∠1，∠2，∠3，∠4相邻互补相对【思考】1.上面图中∠1与∠3,∠2与∠4各组中的两个角的顶点有什么特点？提示：具有相同的顶点.2.上面图中∠1与∠3,∠2与∠4各组中的两个角的边有什么关系？提示：其中一个角的两边分别与另一个角的两边互为反向延长线.【总结】若两个角具有相同的_____，且一个角的两边分别与另一个角的两边_______________,这样的两个角叫做对顶角.顶点互为反向延长线二、对顶角的性质如图，直线AB，CD相交于点O，因为∠1+∠2=______,∠3+∠2=______，所以∠1__∠3.同理：∠2__∠4.【总结】对顶角_____.180°180°==相等(打“√”或“×”)(1)顶点相对的角是对顶角.()(2)两条直线相交，能形成两对对顶角.()(3)两条直线相交所形成的角中，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角.()(4)不相等的角一定不是对顶角.()×√√√知识点1对顶角的识别【例1】下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的为()【思路点拨】根据对顶角满足的两个条件判断，即①具有相同顶点；②一角的两边与另一个角的两边互为反向延长线.【自主解答】选B.选项D中，∠1与∠2顶点不同；选项A，B，C中，∠1与∠2具有相同顶点，只有选项B中∠1与∠2的两边互为反向延长线，所以B项中∠1与∠2是对顶角.【总结提升】关于对顶角的三点说明1.对顶角是两条直线相交形成的角，并且两条直线相交形成两对对顶角.2.判断对顶角的两个标准：(1)有公共顶点.(2)两个角的两边互为反向延长线.3.在复杂的图形中找一个角的对顶角时，先确定这个角的两条边，再确定这个角两边的反向延长线，最后确定这两条反向延长线组成的角.知识点2对顶角性质的应用【例2】直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOD=100°∠1=30°，求∠2的度数.【思路点拨】由对顶角性质求出∠DOF，再由∠AOD+∠DOF+∠2=180°，求出∠2.【自主解答】因为直线CD，EF相交于点O，所以∠1与∠DOF是对顶角.根据对顶角相等，得∠DOF=∠1=30°.又因为∠AOD+∠DOF+∠2=180°，∠AOD=100°，所以∠2=180°-∠AOD-∠DOF=180°-100°-30°=50°.【总结提升】求解两条直线相交形成的角的大小时常用的三个关系1.对顶角相等.2.平角等于180°.3.周角等于360°.题组一：对顶角的识别1.如图，在所标识的角中，互为对顶角的两个角是()A.∠2和∠3B.∠1和∠3C.∠1和∠4D.∠1和∠2【解析】选A.∠2和∠3有公共顶点，且∠2的两边与∠3的两边互为反向延长线.2.下列语句中，正确的是()A.两条直线相交，任意两个角都是对顶角B.相等的两个角是对顶角C.有一个公共顶点，两边互为反向延长线的两个角是对顶角D.交于一点的三条直线形成3对对顶角【解析】选C.“有一个公共顶点，两边互为反向延长线的两个角是对顶角”符合对顶角的定义，因此选项C正确.3.如图，BE，CF相交于O，OA，OD是射线，其中构成对顶角的角是_________.【解析】根据对顶角的定义，构成对顶角的角是：∠EOF和∠BOC，∠EOC和∠BOF.答案：∠EOF和∠BOC，∠EOC和∠BOF4.如图,直线AB，CD，EF，GH相交于点O，则∠AOD的对顶角为_______,∠COH的对顶角是_______.【解析】∠AOD的两边为OA，OD，且OA，OD的反向延长线分别为OB，OC，故∠AOD的对顶角为∠BOC，同理∠COH的对顶角为∠GOD.答案：∠BOC∠GOD5.学完对顶角之后，小华同学认为对顶角也可以这样定义：有公共顶点，且相等的两个角叫对顶角，你认为正确吗？如果你认为不正确，请举一个说明他定义方法错误的例子.【解析】不正确，如图，∠AOB=∠COD，且这两个角有公共的顶点O，但∠AOB与∠COD的两边不互为反向延长线，故不是对顶角.题组二：对顶角性质的应用1.下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是()【解析】选B.选项B中∠1与∠2是对顶角，所以∠1=∠2.2.如图所示，AB与CD相交于O，∠AOD+∠BOC=280°，则∠AOD为()A.40°B.140°C.120°D.60°【解析】选B.因为∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，又因为∠AOD+∠BOC=280°，所以∠AOD=∠BOC=140°.3.如图是用对顶角量角器测量圆锥形零件的锥角的示意图，则此零件的锥角等于________度.【解析】根据对顶角相等，得零件的锥角等于30°.答案：304.如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠AOM=90°，若∠COB=135°，则∠MOD=________度.【解析】因为直线AB，CD相交于点O，∠COB与∠AOD是对顶角，所以∠AOD=∠COB=135°.又因为∠AOM=90°，所以∠MOD=∠AOD-∠AOM=135°-90°=45°.答案：455.如图，AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，∠AOC=37°，求∠BOE的度数.【解析】因为∠AOC和∠BOD是对顶角，∠AOC=37°，所以∠BOD=37°.又因为OB平分∠DOE，所以∠BOE=∠BOD=37°.【变式训练】如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=76°，则∠BOD=_______°.【解析】因为OA平分∠EOC，所以∠AOC=∠EOC=×76°=38°.因为∠BOD与∠AOC是对顶角，所以∠BOD=∠AOC=38°.答案：382121【想一想错在哪？】如图，直线CD,EF相交于点O，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，∠COF＝150°，试说明∠AOB是平角.提示：运用对顶角的性质时忽略了两个角是对顶角的前提条件，导致说理过程出现错误.