导数及其应用

精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜导数及其应用篇一：导数及其应用导数及其应用【专题要点】1.导数的定义:利用导数的定义解题;2.求导数(包括求导函数和某一点的导数);3.导数的简单应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的单调性等,复现率较高;4.导数在实际问题中的应用(利润最大,用料最省,效率最高等优化问题);5.综合考查,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机地结合在一起，设计综合问题。包括：（1）函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决单调性、参数的范围等问题，这类问题涉及含参数的不等式、不等式的恒成立的求解；（2）函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决极值、最值等问题，这类问题涉及求极值和极值点、求最值，有时需要借助方程的知识求解；（3）利用导数的几何意义求切线方程，解决与切线方程有关的问题；（4）通过构造函数，以导数为工具证明不等式；（5）导数与解析几何或函数图像的混合问题，这是一个重精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜要问题，也是高考中考察综合能力的一个方向【考纲要求】⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．⑵熟记基本导数公式（C,x(n为有理数),sinx.cosx,logax,ax,ex,lnx的导数）．掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【知识纵横】nf?x0??x??f?x0??01定义：fx?lim?0??x?0??x????1?公式：①常函数，②指，③对，④幂，⑤复合函数。?0?2运算???u????????2?法则：①?au?，②?u?v?，③?uv?，④???v??????1?物理意义：瞬时速度及加速度????斜率：求法有三①知精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜两点②知倾角③求导??0???3意义：?①在该点出的切线方程,??2几何意义??????切线方程：②过某点做曲线的切线方程,?????③知切线求参数值.???????导数???①证明或判断单调性；????1单调性???②求单调区间；???③知单调，求参数范围.???????①求极值；????2求两函数值???②求最值；??40应用：??③知极值或最值，求参数值.??????3?f?x?与f??x?的图像关系?????①证明不等式；????4?综合应用?②比较实数大小；????③讨论方程根的个数.?????【教法指引】（1）近几年各地高考题一直保持对导数知识考查力度，体现了在知识网络交汇点出题的命题风格，重点考查导数概念、单精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜调性、极值等传统、常规问题，这三大块内容是本专题复习的主线，在复习中应以此为基础展开，利用问题链向学生展示题目间的内在联系，揭示解题的通法通解，如讲解利用导数处理函数单调性问题时，可设计这样的问题链：已知函数求单调区间?知函数在区间上单调求参数?若函数不单调如何求参数．（2）要认识到新课程中增加了导数内容，增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域，在复习中要明确导数作为一种工具在研究函数的单调性、极值等方面的作用，这种作用不仅体现在导数为解决函数问题提供了有效途径，还在于它使学生掌握了一种科学的语言和工具，能够加深对函数的深刻理解和直观认识（3）在教学中有意识的与解析几何（特别是切线、最值）、函数的单调性，函数的最值极值，二次函数，方程，不等式，代数不等式的证明等进行交汇，综合运用。特别是精选一些以导数为工具分析和解决一些函数问题、切线问题的典型问题，以及一些实际问题中的最大（小）值问题【典例精析】1.导数定义的应用例1(2008北京高考）如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，，，，，4)(20)(64)，lim解：由图可知f?x???精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜?x?0f?1??x??f?1??_________．?x0?x?2??2x?4，根据导数的定义2?x?3?x?2知lim?x?0f?1??x??f?1??f??1???2．?x例２(2006重庆高考)已知函数f?x??x2?bx?cex,其中b,c?R，（Ⅰ）略，（Ⅱ）若b2?4?c?1?,且??limx?0f?x??c?4，试证：?6?b?2．x解：f??x??x2??b?2?x?b?cex，易知f?0??c．故??lim精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜x?0f?x??cf?x??f?0??lim?f??0??b?c，x?0xx?0?b?c?4,所以?2解得?6?b?2．??b?4c?1,?2.利用导数研究函数的图像例3（2009安徽高考）设a＜b,函数y?(x?a)2(x?b)的图像可能是解：y?(x?a)(3x?2a?b)，由y?0得x?a,x?//2a?b2a?b，∴当x?a时，y取极大值0，当x?33时y取极小值且极小值为负．故选C．或当x?b时y?0，当x?b时，y?0选C．点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也是考试的热点题型.例4（2009年湖南卷）若函数y?f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，．．．则函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象可能是ababa精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜A．B．C．D．解:因为函数y?f(x)的导函数．．．y?f?(x)在区间[a,b]上是增函数，即在区间[a,b]上各点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭．由图易知选A.点评：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念——函数的变化率以及图像的变化规律，是以高等数学中函数图像的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考察的还是中学所学的初等数学知识．这也是近年来高考命题的一大特色．3.利用导数解决函数的单调性问题例5（2008全国高考）已知函数f(x)?x3?ax2?x?1，a?R．（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）设函数f(x)在区间??，??内是减函数，求a的取值范围．解：（1）f(x)?x?ax?x?1求导得f?(x)?3x?2ax?1当a?3时，??0，f?(x)?0，f(x)在R上递增；2?2?31?3?322当a?3，f?(x)?0求得两根为x?，2???a?a??a即f(x精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜)在???递增，?递减，????333??????a?????递增。???3??（2）因为函数f(x)在区间??，??内是减函数，所以当x???，??时f??x??0恒成立，结合二次?2?31?3??2?31?3???2??f???3??0???函数的图像可知?解得a?2．?f???1??0?????3?点评：函数在某区间上单调转化为导函数f??x??0或f??x??0在区间上恒成立问题，是解决这类问题的2??3通法．本题也可以由函数在求解．上递减，所以1????31312【变式1】（2004年全国高考）若函数f?x??x?ax??a?1?x?1在区间?1,4?上是减函数，在区间32精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜?6,???上是增函数，求实数a的取值范围．解：f?x??x2?ax??a?1?，令f??x??0得x?1或x?a?1，结合图像知4?a?1?6，故a??5,7?．点评：本题也可转化为f??x??0，x??1,4?恒成立且f??x??0，x??6,???恒成立来解．【变式2】(2005年湖南高考)已知函数f?x??lnx?围；12ax?2x?a?0?存在单调递减区间，求a的取值范21ax2?2x?1.因为函数f??x?存在单调递减区间，解：f??x?(x)??ax?2??所以f??x??0在?0,???上xx解，从而ax?2x?1?0有正解．2①当a?0时，y?ax2?2x?1为开口向上的抛物线，ax?2x?1?0总有正解；22②当a?0时，y?ax?2x?1为开口向下的抛物线，要使ax?2x?1?0总有正解，则2??4?4a?0,解得?1?a?0．综上所述，a的取值范围为??1,0???0,???．【变式3】（2009浙江高考）已知函数精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜f(x)?x3?(1?a)x2?a(a?2)x?b(a,b?R)．若函数f(x)在区间(?1,1)上不单调，求a的取值范围．．．．解：函数f(x)在区间(?1,1)不单调，等价于f??x??0在区间(?1,1)上有实数解，且无重根．2又f??x??3x?2?1?a?x?a?a?2?，由f??x??0，得x1?a,x2??a?2。从而3a?2??1???1,??1?a?1,??1?a?1,??5?a?1,?????3或解得或?a?2???11a?2a??,a??,a??,?a?????.322????3?所以a的取值范围是??5,???????1??1?,1?.2??2?点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。篇二：《导数及其应用》章节测试题及答案选修2-2单元测试题一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分)1.函数y=x2cosx的导数为…………………………………………【】A.y′=2xcosx精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜－x2sinxB.y′=2xcosx+x2sinxC.y′=x2cosx－2xsinxD.y′=xcosx－x2sinx2.下列结论中正确的是……………………………………………【】A.导数为零的点一定是极值点B.如果在x0附近的左侧f'(x)?0右侧f'(x)?0那么f(x0)是极大值C.如果在x0附近的左侧f'(x)?0右侧f'(x)?0那么f(x0)是极小值D.如果在x0附近的左侧f'(x)?0右侧f'(x)?0那么f(x0)是极大值3.曲线y?cosx(0?x?3?与坐标轴围成的面积是……………【】25A.4B.C.3D.2234.函数f(x)?3x?4x，x?[0,1]的最大值是……………………【】A.1B.1C.0D.-125.如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为……………………【】A.0.28JB.0.12JC.0.26JD.精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜0.18J6.给出以下命题：⑴若?baf(x)dx?0，则f(x)>0；⑵?2?0sin?4;⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则?a0f(x)dx??a?TTf(x)dx；其中正确命题的个数为…【】A.1B.2C.3D.07.若函数f(x)?x?x?mx?1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是【】A.(,??)B.(??,)C.[,??)D.(??,]32131313138.设0<a<b，且f(x)＝A.f(a)<f(1??x，则下列大小关系式成立的是…【】.x精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜a?ba?b)<f(ab)B.f()<f(b)<f(ab)22a?ba?bC.f(ab)<f()<f(a)D.f(b)<f()<f(ab)229.函数f(x)?ax2?b在区间(??,0)内是减函数则a,b应满足【】Ａ．a?0且b?0Ｂ．a?0且b?RＣ．a?0且b?0Ｄ．a?0且b?R10.f(x)与g(x)是R定义在上的两个可导函数，若f(x)与g(x)满足f?(x)?g?(x)，则f(x)与