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5解析几何时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·郑州市质检)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]两直线垂直的充要条件为a(a＋2)－3＝0，解得a＝－3或a＝1，故选B．2．(文)已知圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，则过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是()A．x＋y－3＝0B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0D．2x＋y－6＝0[答案]A[解析]圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，即(x－4)2＋(y－1)2＝7，圆心O(4,1)，设过点M(3,0)的最短弦所在的直线为l，∵kOM＝1，∴kl＝－1，∴l的方程为：y＝－1·(x－3)，即x＋y－3＝0.(理)已知动圆C经过点F(0,1)并且与直线y＝－1相切，若直线3x－4y＋20＝0与圆C有公共点，则圆C的面积()A．有最大值为πB．有最小值为πC．有最大值为4πD．有最小值为4π[答案]D[解析]如图所示，由圆C经过点F(0,1)，并且与直线y＝－1相切，可得点C的轨迹为抛物线x2＝4y，显然以抛物线x2＝4y上任一点为圆心可作出任意大的圆与直线3x－4y＋20＝0相交，且此圆可无限大，即圆C的面积不存在最大值，设圆C与3x－4y＋20＝0相切于点A，其圆心为(x0，y0)，则由AC＝PC可得d＝3x0－4y0＋205＝y0＋1(点C在直线3x－4y＋20＝0的右方)，即3x0－x20＋205＝14x20＋1，解得x0＝－2或x0＝103(舍去)，当x0＝－2时，圆心C坐标为(－2,1)，此时圆C的半径为2，即可得圆C的面积的最小值为4π，故应选D．3．(文)(2015·江西上饶三模)已知点M(－6,5)在双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上，双曲线C的焦距为12，则它的渐近线方程为()A．y＝±52xB．y＝±255xC．y＝±23xD．y＝±32x[答案]A[解析]由条件知36a2－25b2＝1，a2＋b2＝c2，c＝6，∴a＝4，b＝25，c＝6.∴渐近线方程为y＝±52x.(理)(2015·新课标Ⅱ理，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.5B．2C.3D．2[答案]D[解析]考查双曲线的标准方程和简单几何性质．设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在Rt△BMN中，|BN|＝a，|MN|＝3a，故点M的坐标为M(2a，3a)，代入双曲线方程得a2＝b2＝c2－a2，即c2＝2a2，所以e＝2，故选D．4．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A、B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()A．y＝2x2B．y2＝2xC．x2＝2yD．y2＝－2x[答案]B[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则y21＝2px1y22＝2px2，两式相减可得2p＝y1－y2x1－x2×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x，故应选B．5．(文)(2015·新课标Ⅰ文，5)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝()A．3B．6C．9D．12[答案]B[解析]抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)．因为E的右焦点与抛物线焦点重合，所以椭圆中c＝2，离心率e＝ca＝12，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4，则椭圆方程为x216＋y212＝1，因为抛物线的准线方程为x＝－2，当x＝－2时，y＝±3，则|AB|＝2×3＝6.故本题正确答案为B．(理)过原点O作直线l交椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)于点A、B，椭圆的右焦点为F2，离心率为e.若以AB为直径的圆过点F2，且sin∠ABF2＝e，则e＝()A.12B．22C.23D．32[答案]B[解析]记椭圆的左焦点为F1，依题意得|AB|＝2c，四边形AF1BF2为矩形，sin∠ABF2＝|AF2||AB|＝|AF2|2c＝e，|AF2|＝2ce，|AF1|2＝(2a－|AF2|)2＝(2a－2ce)2，|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，(2a－2ce)2＋(2ce)2＝(2c)2，由此解得e＝22，选B．6．半径不等的两定圆O1、O2没有公共点，且圆心不重合，动圆O与定圆O1和定圆O2都内切，则圆心O的轨迹是()A．双曲线的一支B．椭圆C．双曲线的一支或椭圆D．双曲线或椭圆[答案]C[解析]设⊙O1、⊙O2、⊙O的半径分别为r1、r2、R，且r1r20，当⊙O1与⊙O2外离时，由条件知⊙O1与⊙O2都内切于⊙O，∴|OO1|＝R－r1，|OO2|＝R－r2，∴|OO2|－|OO1|＝r1－r2,0r1－r2|O1O2|，∴点O的轨迹是以O1、O2为焦点的双曲线靠近O1点的一支；当⊙O2内含于⊙O1时，应有⊙O内切于⊙O1，⊙O2内切于⊙O，∴|OO1|＝r1－R，|OO2|＝R－r2，∴|OO1|＋|OO2|＝r1－r2，∵O1与O2不重合，且r1r2，∴r1－r2|O1O2|，∴点O的轨迹为以O1、O2为焦点的椭圆，故选C.7．(文)已知方程x22－k＋y22k－1＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A．(12，2)B．(1，＋∞)C．(1,2)D．(12，1)[答案]C[解析]由题意可得，2k－12－k0，即2k－12－k，2－k0，解得1k2，故选C.(理)(2014·广东文，8)若实数k满足0k5，则曲线x216－y25－k＝1与曲线x216－k－y25＝1的()A．实半轴长相等B．虚半轴长相等C．离心率相等D．焦距相等[答案]D[解析]∵0k5，∴两方程都表示双曲线，由双曲线中c2＝a2＋b2得其焦距相等，选D．8．(2014·大纲全国理，6)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.x23＋y22＝1B．x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1D．x212＋y24＝1[答案]A[解析]根据条件可知ca＝33，且4a＝43，∴a＝3，c＝1，b2＝2，椭圆的方程为x23＋y22＝1.9．(文)已知P点是x2＋y2＝a2＋b2与双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)在第一象限内的交点，F1、F2分别是C的左、右焦点，且满足|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率e为()A．2B．62C.102D．52[答案]C[解析]设|PF2|＝x，则|PF1|＝3x，∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝10x2＝4c2，∴c＝102x，由双曲线的定义知，2a＝|PF1|－|PF2|＝2x，∴a＝x，∴e＝ca＝102，故选C.(理)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若|AF1||AF2|＝53，则双曲线的离心率等于()A．2B．3C.2D．3[答案]A[解析]设|AF2|＝3x，则|AF1|＝5x，∴|F1F2|＝4x，∴c＝2x，由双曲线的定义知，2a＝|AF1|－|AF2|＝2x，∴a＝x，∴e＝ca＝2.10．(文)过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若AF→＝FB→，BA→·BC→＝36，则抛物线的方程为()A．y2＝6xB．y2＝3xC．y2＝12xD．y2＝23x[答案]D[解析]∵F(p2，0)，设A(x0，y0)，y00，则C(－p2，y0)，B(p－x0，－y0)，由条件知p－x0＝－p2，∴x0＝3p2，∴y20＝2p·3p2＝3p2，∴y0＝3p，∴B(－p2，－3p)，A(3p2，3p)，C(－p2，3p)，∴BA→·BC→＝(2p,23p)·(0,23p)＝12p2＝36，∴p＝3，∴抛物线方程为y2＝23x.(理)过双曲线M：x2－y2b2＝1的左顶点A作斜率为2的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且BC→＝2AB→，则双曲线M的离心率是()A.5B．10C.17D．37[答案]C[解析]由条件知A(－1,0)，∴l：y＝2(x＋1)，双曲线渐近线方程为y＝±bx，∵BC→＝2AB→，∴B在A，C之间，∴由y＝x＋，y＝－bx，得B(－2b＋2，2bb＋2)，由y＝x＋，y＝bx，得C(2b－2，2bb－2)，再由BC→＝2AB→得b＝4，∴e＝17.11．若抛物线y2＝2px上恒有关于直线x＋y－1＝0对称的两点A、B，则p的取值范围是()A．(－23，0)B．(0，32)C．(0，23)D．(－∞，0)∪(23，＋∞)[答案]C[解析]设直线AB：y＝x＋b，代入y2＝2px中消去x得，y2－2py＋2pb＝0，∴y1＋y2＝2p，x1＋x2＝y1＋y2－2b＝2p－2b，由条件知线段AB的中点(x1＋x22，y1＋y22)，即(p－b，p)在直线x＋y－1＝0上，∴b＝2p－1，Δ＝4p2－8pb＝4p2－8p(2p－1)＝－12p2＋8p0，∴0p23.12．(2015·郑州市质检)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|＝|F1F2|，且2|PF1|＝3|QF1|，则椭圆的离心率为()A.35B．45C.34D．325[答案]A[解析]由已知得|PF2|＝|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c，|QF1|＝23|PF1|＝43(a－c)，|QF2|＝2a－|QF1|＝2a－23(2a－2c)＝23a＋43c|PQ|＝103(a－c)在△PF1F2和△PF2Q中，由余弦定理得：cos∠F2PQ＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝|PQ|2＋|PF2|2－|QF2|22|PQ|·|PF2|即a－2c2＋c2－c2a－2cc＝103a－103c2＋c2－23a＋4c32103a－103cc整理得5c2－8ac＋3a2＝0，即5e2－8e＋3＝0，∴e＝35或e＝1(舍)．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．(文)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与抛物线y2＝8x有公共焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的离心率为________．[答案]2[解析]∵抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)中c＝2，又a＝1，∴e＝ca＝2.(理)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线x2b2＋y2a2＝1上，则双曲线的离心率为________．[答案]2[解析]不妨设双曲线的一个焦点为(c,0)，(c0)，一条渐近线方程为y＝bax，由y－0＝－abx－cy＝bax得垂足的坐标为(a2c，abc)，把此点坐标代入方程x2b2＋y2a2＝1，得a4b2c2＋a2b2a2c2＝1，化简，并由c2＝a2＋b2得a＝b，∴e＝ca＝2.14．(文)设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点，