【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练 专题12 空间中的平行与垂直(

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题12空间中的平行与垂直一、选择题1．(2015·银川市质检)若α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]若α⊥β，m⊂α，则m与β平行、相交或m⊂β都有可能，所以充分性不成立；若m⊥β，m⊂α，则α⊥β，必要性成立，故选B.[方法点拨]应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时，必须按照定理的要求找足条件．2．(2015·东北三校二模)已知a，b，m，n是四条不同的直线，其中a、b是异面直线，则下列命题正确的个数为()①若m⊥a，m⊥b，n⊥a，n⊥b，则m∥n；②若m∥a，n∥b，则m，n是异面直线；③若m与a，b都相交，n与a，b都相交，则m，n是异面直线．A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]对于①，过直线a上一点O作直线a1∥b，则直线a，a1确定平面α，因为m⊥a，m⊥a1，所以m⊥α，同理n⊥α，因此m∥n，①正确；对于②，m，n也可能相交，②错误；对于③，在直线a上取点A，过A作直线m、n与b相交，满足③的条件，因此m，n可能相交，③错误．综上所述，其中正确的命题的个数是1，故选B.3．(文)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若已知m⊥n，m⊥α，则“n⊥β”是“α⊥β”的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]m⊥αm⊥n⇒n∥α或n⊂αn⊥β⇒α⊥β.α⊥βm⊥α⇒m∥β或m⊂βm⊥n⇒/n⊥β.(理)已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．m∥n，m⊥α⇒n⊥αB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β[答案]A[解析]由线面垂直的性质定理知A正确；如图1知，当m1⊂β，m1∩n＝A时满足B的条件，但m与n不平行；当m⊥α，m⊥n时，可能有n⊂α；如图2知，m∥n∥l，α∩β＝l时满足D的条件，由此知D错误．4．(2014·辽宁理，4)已知m、n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α[答案]B[分析]本题考查空间中平行关系与垂直关系．依据线面位置关系的定义及判定性质定理求解．[解析]对于A，m∥α，n∥α，则m、n的关系是平行，相交，异面，故A不正确；对于B，由直线与平面垂直的定义知正确；对于C，n可能在平面α内；对于D，n⊂α，n与α斜交，n⊥α，n∥α都有可能．[点评]这类题目常借助于多面体(如正方体)进行判断，实际解答时只要能确定选项即可，不必逐一判断．[方法点拨]解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中．5．(文)(2015·太原市一模)已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.33B.233C.433D.533[答案]C[解析]由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥P－ABCD，其中底面ABCD是正方形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，故其体积V＝13×22×3＝433.(理)(2015·安徽文，9)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A．1＋3B．1＋22C．2＋3D．22[答案]C[解析]考查1.几何体的三视图；2.锥体的体积公式．由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图如下图所示：其中侧面PAC⊥底面ABC，且△PAC≌△BAC，由三视图中所给数据可知：PA＝PC＝AB＝BC＝2，取AC中点O，连接PO，BO，则Rt△POB中，PO＝BO＝1⇒PB＝2，∴S＝(12·2·62)·2＋(12·2·1)·2＝2＋3，故选C.6．(文)(2015·广东理，8)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A．至多等于3B．至多等于4C．等于5D．大于5[答案]B[解析]n＝4时为正四面体，正四面体的四个顶点是两两距离相等的；n＝5时为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形，且对角线长与边长应相等，这不可能．因此空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值至多等于4，故选B.(理)(2015·海淀区期末)若空间中有n(n≥5)个点，满足任意四点都不共面，且任意两点的连线都与其余任意三点确定的平面垂直，则这样的n值()A．不存在B．有无数个C．等于5D．最大值为8[答案]C[解析]当五点为正四面体的四个顶点和对称中心时，符合任意四点都不共面和任意两点的连线都与其余三点的连线所确定的平面垂直的条件，假设当n≥6时也满足题意，不妨设其中的6个点为A，B，C，D，E，F，则AB⊥平面CDE，AB⊥平面CDF，又因为平面CDF∩平面CDE＝CD，所以平面CDF与平面CDE重合，C，D，E，F四点共面，与题意相矛盾，所以n＝5，故选C.7．(文)设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①α∥βα∥γ⇒β∥γ②α⊥βm∥α⇒m⊥β③m⊥αm∥β⇒α⊥β④m∥nn⊂α⇒m∥α其中，真命题是()A．①④B．②③C．①③D．②④[答案]C[解析]①正确，平行于同一个平面的两个平面平行；②错误，由线面平行、垂直定理知：m不一定垂直于β；③正确，由线面平行，垂直关系判断正确；④错误，m也可能在α内．综上所述，正确的命题是①③，故选C.(理)已知A、B是两个不同的点，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出下列4个命题：①若m∩n＝A，A∈α，B∈m，则B∈α；②若m⊂α，A∈m，则A∈α；③若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；④若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β，其中真命题为()A．①③B．①④C．②③D．②④[答案]C[解析]②∵m⊂α，∴m上的点都在平面α内，又A∈m，∴A∈α，∴②对；由二面垂直的判定定理知，③正确．8．(文)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱B1C1的中点，动点P在底面ABCD内，且PA1＝A1E，则点P运动形成的图形是()A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分[答案]B[解析]|AP|＝A1P2－AA21＝A1E2－A1B21＝|B1E|(定值)，故点P在底面ABCD内运动形成的图形是圆弧．(理)正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，P在底面ABCD内运动，且满足∠DPD1＝∠CPM，则点P的轨迹为()A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分[答案]A[解析]由∠DPD1＝∠CPM得MCPC＝DD1DP＝2MCDP，∴PDPC＝2，在平面ABCD内，以D为原点，DA、DC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设DC＝1，P(x，y)，∵PD＝2PC，∴x2＋y2＝2x2＋y－2，整理得x2＋(y－43)2＝49，所以，轨迹为圆的一部分，故选A.9．(文)已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是()A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β[答案]C[解析]对于选项A，m，n有可能平行也有可能异面；对于选项B，n有可能在平面α内，所以n与平面α不一定平行；对于选项D，m与β的位置关系可能是m⊂β，m∥β，也可能m与β相交．由n⊥β，α⊥β得，n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴m⊥n，故C正确．(理)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直[答案]B[解析]①过A、C作BD的垂线AE、CF，∵AB与BC不相等，∴E与F不重合，在空间图(2)中，若AC⊥BD，∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥CE，这样在平面BCD内，过点C有两条直线CE、CF都与BD垂直矛盾，∴A错；②若AB⊥CD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，∵ABBC，∴存在这样的三角形ABC，AB⊥AC，AB＝AC，∴B选项正确，∴选项D错；③若AD⊥BC，又CD⊥BC，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，∵BCAB，这样的△ABC不存在，∴C错误．10．(文)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝2，CC1＝22，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A．2B.3C.2D．1[答案]D[解析]本题考查了正四棱柱的性质，点到直线距离的求解．连接AC、BD，AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥AC1.则点C到平面BDE的距离等于AC1到平面BDE的距离，过C作CH⊥OE于H，CH为所求．在△EOC中，EC＝2，CO＝2，所以CH＝1.本题解答体现了转化与化归的思想，注意等积法的使用．(理)已知四棱锥P－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点E是侧棱PB的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为()A.13B.23C.33D.23[答案]C[解析]设AC与BD的交点为O，∵棱锥的各棱长都相等，∴O为BD中点，∴EO∥PD，∴∠AEO为异面直线AE与PD所成的角，设棱长为1，则AO＝22，EO＝12，AE＝32，∵AO2＋EO2＝AE2，∴cos∠AEO＝OEAE＝33.二、填空题11．a、b表示直线，α、β、γ表示平面．①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a⊥b；④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；⑤若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.其中为真命题的是__________．[答案]②⑤[解析]对①可举反例如图，需b⊥β才能推出α⊥β.对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b不垂直；④对a只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线．所以只有②⑤是正确的．12．(文)已知三棱柱ABC－A1B1C1底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．[答案]33[解析]4πR2＝12π，∴R＝3，△ABC外接圆半径r＝2，∴柱高h＝2R2－r2＝2，∴体积V＝34×(6)2×2＝33.(理)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是线段A1C1上的动点，则四棱锥P－ABCD的外接球半径R的取值范围是______________．[答案]34，32[解析]当P为A1C1的中点时，设球半径为R，球心到底面ABCD距离为h，则R＋h＝1R2－h2＝12，∴R＝34，当P与A1(或C1)重合时，外接球就是正方体的外接球，R＝32，∴R∈[34，32]．三、解答题13．(文)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点．且CC1＝2AC.(1)求证：CN∥平面AMB1；(2)求证：B1M⊥平面AMG.[证明](1)如图取线段AB1的中点P，连接NP、MP，∵CM綊12BB1，NP綊12BB1，∴CM綊NP，∴四边形CNPM是平行四边形．∴CN∥MP.∵CN⊄平面AMB1，MP⊂平面AMB1，∴CN∥平面AMB1.(2)∵CC1⊥平面ABC，∴平面CC1