等腰三角形的判定

精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜等腰三角形的判定篇一：等腰三角形的性质定理和判定定理一.本周教学内容：等腰三角形的性质和判定二.教学目标：（一）知识与技能：（1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。（2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。（二）情感态度与价值观：通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。三.重点、难点：重点是等腰三角形的性质定理和判定定理难点是利用定理解决实际问题四.教学过程：（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜C（3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）（2）符号语言：∵AB=AC∵AB=AC∵AB=AC∠1=∠2AD⊥BCBD=DC∴AD⊥BC，BD=DC∴∠1=∠2∴∠1=∠2BD=DCAD⊥BC（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。知识3：等腰三角形的判定定理（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜∵∠B=∠C∴AB=AC（3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（AAS）∴AB=AC（4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。说明：①本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义2、利用定理。【典型例题分析】基础知识应用题：例1.如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。解：∵AP=PQ=AQ（已知）∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）∵AP=BP（已知）∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°解答此类题的步骤如下：（1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。（2）利用三角形内角和定理，确定等量关系，借助等式或方程求解。例2.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。求证：△DEF是等腰三角形。证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）∠B=∠DEF（已知）∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）在△BED和△CFE中∠BDE=∠FEC中（已证）BD=CE（已知）∠B=∠C（已知）∴△BED≌△CFE（ASA）∴DE=EF（全等三角形对应边相等）∴△DEF是等腰三角形（等腰三角形定义）综合应用题：例3.已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜求证：OC=OD证明：∵AB∥CD（已知）∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等）∵OA=OB（已知）∴∠A=∠B（等边对等角）∴∠C=∠D（等量代换）∴OC=OD（等角对等边）例4.如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。证法一：证明：作DE⊥AB于E∵DA=DBDE⊥AB∴AE=BE=∵AB=2AC∴AE=AC在△AED和△ACD中∴△AED≌△ACD∴∠C=∠AED=90°∴DC与AC的位置关系为：DC⊥AC证法二：证明：延长AC到F，使CF=AC，连结DF精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜∵AB=2AC，AF=2AC∴AB=AF在△ABD和△AFD中∴△ABD≌△AFD∴DF=DB∵DA=DB∴DA=DF又∵AC=CF∴DC⊥AF说明：法一是利用了“截长法”即在长线段AB上截取AE=AB法二是利用了“补短法”即在短线段AC上补足AF=AB，从而达到解决问题的目的。例5.求证：等腰三角形两腰上的中线相等解：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的中线求证：BD=CE证明：∵BD，CE是△ABC的中线∴AE=AB，AD=AC∵AB=AC∴AE=AD在△ABD和△ACE中精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）说明：这是一个证明文字叙述的几何命题的题目，做这类题时首先要分清题设，结论，画出草图，结合图形写出：已知、求证、然后再证明。例6.如图，点C为线段AB上的一点，△ACM，△BCN是等边三角形，AN，MC相交于点E，CN与BM相交于点F。（1）求证AN=BM（2）求证△CEF为等边三角形证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠NCB=60°∴∠ACN=∠BCM=120°在△ACN和△MCB中∴△ACN≌MCB（SAS）∴AN=BM（2）由（1）中△ACN≌△MCB∴∠ANC=∠MBC在△CEN和△CFB中∴△CEN≌△CFB（ASA）∴CE＝CF又∵∠ECF＝60°篇二：14.6-1等腰三角形的判定精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜日星期__第__12_周篇三：等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理等腰三角形判定某学校某老师上课前感觉大家的心情很好，所以老师的心情也很棒。所以老师临时决定于大家做一个游戏好不好？（好）游戏的规则是这样的，当老师说的是一个陈述句时，请大家重复老师说的话，当老师说的是一个疑问句时，请大家大声并快速的回答，大家听明白了吗？（听明白了，老师说规则一定要慢点，否则有的同学反映慢，游戏效果不好）今天是星期一（今天是星期一）我的心情特别好（我的心情特别好）你们的心情好吗（好）我是最棒的（我是最棒的）你们是最棒的吗（是）好！上课！起立！前面我们学习了等腰三角形的性质，今天我们继续的来学习等腰三角形-1-请大家回顾一下三角形的定义是什么？有两条边相等的三角形叫等腰三角形。那等腰三角形的性质呢？等腰三角形的两个底角相等(在同一个三角形中，等边对等精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜角).等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合(等腰三角形三线合一).请大家思考:根据等腰三角形的意义我们可知,如果一个三角形的两条边相等,那么就一定可判定这个三角形是等腰三角形.除此之外,还有其他的判定方法吗?我们学习过平行线的性质判定，平行线的性质判定是互逆的，那等腰三角形的性质判定是互逆的吗？要是成立的话我们就可以得到等腰三角形的判定了。-2-我们看看当三角形的两个角相等的话，能能证明出它是等腰三角形吗？联想证有关线段相等的知识知道，先需构成以AB、AC为对应边的全等三角形．因为已知∠B=∠C.，没有对应相等边，所以需添辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从A点引出．再让学生回想等腰三角形中常添的辅助线，学生可找出作ΔABC的平分线AD或作BC边上的高AD等，证三角形全等的不同方法，从而推出AB=AC．-3-要说明两条边相等，我们已经有哪些经验？怎样添加一条辅助线，把△ABC分成两个全等的三角形？这样，我们首先过A点做作BC边上的高AD．在三角形BAD精编WORD文档下载可编缉打印下载文档，远离加班熬夜和三角形CAD中，由已知可得∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC=90°，AD为公共边，所以三角形BAD全等于三角形CAD即AB＝AC（全等三角形的对应边相等），由定义可知道三角形ABC为等腰三角形。-4-所以，性质：等腰三角形两个底角相等（等边对等角）和它的逆定理是互逆，且也是成立的，即可以当成等腰三角形的判定。如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)。这个时候有的同学可能要想了，我们等腰三角形一共学习了两个性质，第一个性质的逆定理是判定。那第二个性质的逆定理也可以当成等腰三角形的判定吗？这样，一会咱们再说？老师再给大家介绍其他的证明这个判定的方法.-5-