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4角的比较1.我们通过比较线段的方法可归纳出角的比较方法是:(1)度量法:用_______分别测量要比较的角的_____,从而比较大小.量角器度数(2)叠合法:如图比较∠ABC与∠DEF的大小.ED落在∠ABC的_____,那么∠DEF_____∠ABC.记作____________.外部大于∠DEF∠ABC【点拨】运用叠合法比较两个角的大小时,应注意:(1)两角的顶点重合.(2)两角的一条边重合.(3)另一边在重合边的同侧.2.角的平分线:(1)定义:从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成__________的角,这条射线叫做这个角的平分线.(2)符号表示:如图,OC是∠AOB的平分线,则______=∠COB=______,∠AOB=2∠AOC=2______.两个相等∠AOC∠AOB∠COB12【预习思考】你能比较图中∠1与∠2的大小吗?你是怎样比较的.提示:∠1∠2,由图可知:∠1是直角,∠2是锐角.由锐角的定义可知∠1∠2.角的比较【例1】如图所示,∠AOF是一个平角,∠AOM是一个直角.根据图示,比较∠AOB,∠AOC,∠AOM,∠AOD,∠AOE,∠AOF的大小,并找出图中的两个锐角、两个钝角.【解题探究】①观察图形可得这些角有一条重合的边为OA.②再由图可得:OB在∠AOC的内部,OC在∠AOM的内部;OM在∠AOD的内部,OD在∠AOE的内部,OE在∠AOF的内部.③所以由叠合法可得:∠AOB∠AOC∠AOM∠AOD∠AOE∠AOF.④再由∠AOM为直角,∠AOF为平角,所以∠AOB,∠AOC是锐角,∠AOD,∠AOE是钝角.【规律总结】用叠合法比较的三种情况【跟踪训练】1.在∠AOB的内部任取一点C,作射线OC,那么有()(A)∠AOC=∠BOC(B)∠AOC∠BOC(C)∠BOC∠AOB(D)∠AOB∠AOC【解析】选D.因为射线OC在∠AOB的内部,所以∠AOB∠AOC.2.已知∠AOB=25°,∠BOC=70°,∠AOC=45°,那么()(A)射线OB在∠AOC的外部(B)射线OB在∠AOC的内部(C)射线OB与射线OA重合(D)射线OB与射线OC重合【解析】选A.因为∠AOB+∠AOC=70°=∠BOC,所以射线OB在∠AOC的外部.3.如图,已知∠BAE=50°,∠BAD=∠CAE,则∠DAC=°.【解析】因为∠BAD=∠CAE,所以∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE,即∠BAE=∠DAC,所以∠DAC=50°.答案:50角的平分线及相关计算【例2】(6分)如图所示,已知OC是∠AOB的平分线,OE是∠BOD的平分线,如果∠AOB=40°,∠BOD是直角,那么∠COE是多少度?【规范解答】因为OC是∠AOB的平分线,∠AOB=40°,所以∠BOC=∠AOB=×40°=20°.………………………2分又因为OE是∠BOD的平分线,∠BOD=90°,所以∠BOE=∠BOD=×90°=45°,……………………4分所以∠COE=∠BOC+∠BOE=20°+45°=65°.………………………………………………………………6分12121212【规律总结】角平分线的三种表现形式角平分线的定义在使用中根据解题的需要可以有以下三种表现形式:(1)可以写作两角相等的形式.(2)可以写作一个角是另一个角的2倍的形式.(3)可以写作一个角是另一个角一半的形式.【跟踪训练】4.如图所示,OC是∠AOB的平分线,则下列结论中正确的个数有()(1)∠AOC=∠BOC.(2)∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.(3)∠AOC=∠BOC=∠AOB.(4)∠AOB=∠AOC+∠BOC.(5)∠BOC=∠AOB-∠AOC.(A)5个(B)4个(C)3个(D)2个12【解析】选A.因为OC是∠AOB的平分线,所以∠AOC=∠BOC=∠AOB,∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,∠AOB=∠AOC+∠BOC,∠BOC=∠AOB-∠AOC.故选A.125.如图,AB⊥CD于点B,BE是∠ABD的平分线,则∠CBE的度数为.【解析】由AB⊥CD于点B,BE是∠ABD的平分线得∠ABC=∠ABD=90°,∠ABE=45°,所以∠CBE=90°+45°=135°.答案:135°6.如图,A,O,B三点在同一直线上,OC,OE分别是∠AOD,∠BOD的平分线,且∠BOD=72°,求∠COD,∠DOE,∠COE的度数,并比较大小.【解析】因为∠AOD+∠BOD=∠AOB,∠AOB=180°,所以∠AOD=∠AOB-∠BOD=180°-72°=108°.因为OC平分∠AOD,所以∠COD=∠AOD=×108°=54°.因为OE平分∠BOD,所以∠DOE=∠BOD=×72°=36°.所以∠COE=∠COD+∠DOE=54°+36°=90°.所以∠DOE∠COD∠COE.121212121.如图,若∠AOC=∠BOD,那么∠AOD与∠BOC的关系是()(A)∠AOD∠BOC(B)∠AOD∠BOC(C)∠AOD=∠BOC(D)无法确定【解析】选C.因为∠AOC=∠BOD,所以∠AOC+∠COD=∠BOD+∠COD,即∠AOD=∠BOC.2.如果∠1-∠2=∠3,且∠4+∠2=∠1,那么∠3和∠4间的关系是()(A)∠3∠4(B)∠3=∠4(C)∠3∠4(D)不确定【解析】选B.因为∠1-∠2=∠3,所以∠1=∠2+∠3,又因为∠4+∠2=∠1,所以∠3=∠4.3.已知∠A=25°18′,∠B=25.18°,则∠A∠B(填“”“”或“=”).【解析】因为∠A=25°18',∠B=25.18°=25°10'48″,所以∠A∠B.答案:4.已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的一条三等分线,则∠AOC=.【解析】因为OC是∠AOB的三等分线,所以∠AOC=∠AOB或∠BOC=∠AOB,所以∠AOC=20°或∠BOC=20°,所以∠AOC=20°或40°.答案:20°或40°13135.如图,已知∠AOC=60°,∠BOD=90°,∠AOB是∠DOC的3倍,求∠AOB的度数.【解析】因为∠AOD=∠AOC-∠DOC=60°-∠DOC,∠BOC=∠BOD-∠DOC=90°-∠DOC,所以∠AOB=∠AOD+∠DOC+∠BOC=60°-∠DOC+∠DOC+90°-∠DOC=150°-∠DOC,所以150°-∠DOC=3∠DOC,所以∠DOC=37.5°,所以∠AOB=3×37.5°=112.5°.