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第七章单元复习课一、相交线与平行线的相关概念、性质1.在同一平面内,若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.2.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.3.具有公共顶点,且它们的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角.4.如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角.5.如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角.6.两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么称这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.7.如图,点A是直线l外一点,AB⊥l,垂足为B,线段AB叫做点A到直线l的垂线段,垂线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.8.对顶角的性质:对顶角相等.9.补角、余角的性质:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.10.垂线的性质:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.二、平行线的性质1.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.2.平行于同一条直线的两条直线平行.3.两直线平行,同位角相等.4.两直线平行,内错角相等.5.两直线平行,同旁内角互补.注:(1)如果两条平行线所在的图形有折线,那么辅助线一般是过折线的拐点作平行线,下面是常见的折线问题的辅助线作法:(2)平行线间的距离,处处相等.(3)如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.(4)一个常见的图形结构:如图所示:OC平分∠AOB,DE∥OA,则有OE=DE.三、平行线的条件平行线的条件:(1)应用平行线的定义.(2)平行于同一条直线的两条直线平行.(3)同位角相等,两直线平行.(4)内错角相等,两直线平行.(5)同旁内角互补,两直线平行.(6)垂直于同一条直线的两条直线互相平行.相交线与平行线相交线平行线尺规作角余角补角对顶角平行线的特征直线平行的条件作一个角等于已知角同位角相等内错角相等同旁内角互补余角、补角、对顶角【相关链接】余角、补角和对顶角是几何中的基础概念.其中余角和补角是从数量关系定义的,即∠α与∠β互余:∠α+∠β=90°;∠α与∠β互补:∠α+∠β=180°;而对顶角是由两条直线相交形成的,不仅有数量关系而且有特殊的位置关系.在中考中通常以考查角的计算为命题点,题型多为填空题或选择题.【例1】(2010·郴州中考)如图,直线l1与l2相交于点O,OM⊥l1,若∠α=44°,则∠β等于()(A)56°(B)46°(C)45°(D)44°【思路点拨】OM⊥l1→互余→对顶角相等→∠α与∠β互余【自主解答】选B.如图,因为OM⊥l1,所以∠1+∠α=90°.又因∠β=∠1,所以∠α+∠β=90°,所以∠β=90°-44°=46°.平行线的条件【相关链接】平行线的条件是指由角的数量关系判定两条直线平行.通常为判断图形的同位角相等、内错角相等或同旁内角互补,进而得到两直线平行.切记只有“三线八角”的角的数量关系,才能判断两直线平行,其他类型的角不可以.【例2】(2012·贵阳中考)如图,已知∠1=∠2,则图中互相平行的线段是.【思路点拨】∠1和∠2是由AD,BC被AC所截而成,所以根据平行线的判定,由∠1=∠2可得AD∥BC.【自主解答】因为∠1=∠2,所以AD∥BC.答案:AD∥BC(AD与BC)平行线的性质【相关链接】由两直线平行关系(即位置关系),得到角相等或互补关系(数量关系)是平行线的性质.它恰恰与平行线的条件相反,解题时,要注意两者的差异不要混淆.平行线的性质是中考命题热点之一,题型多为选择题、填空题.【例3】(2012·义乌中考)如图,已知a∥b,小亮把三角板的直角顶点放在直线b上.若∠1=40°,则∠2的度数为.【思路点拨】由两直线平行,同位角相等得∠2=∠3.再由三角板的直角得∠1与∠3互余从而求得∠3.【自主解答】因为a∥b,所以∠2=∠3,因为∠3=90°-∠1=90°-40°=50°,所以∠2=50°.答案:50°【命题揭秘】通过对近几年的中考试题的分析与研究,可知相交线与平行线的内容考查以平行线的定义、性质及平行条件为主,题型以选择题、填空题为主,也有少量与其他内容结合在一起的解答题.1.(2012·日照中考)如图,DE∥AB,若∠ACD=55°,则∠A等于()(A)35°(B)55°(C)65°(D)125°【解析】选B.因为DE∥AB,所以∠A=∠ACD=55°.2.(2012·张家界中考)如图,直线a,b被直线c所截,下列说法正确的是()(A)当∠1=∠2时,一定有a∥b(B)当a∥b时,一定有∠1=∠2(C)当a∥b时,一定有∠1+∠2=90°(D)当∠1+∠2=180°时,一定有a∥b【解析】选D.∠1和∠2,既不是同位角,也不是内错角,也不能转化成同位角或内错角,尽管∠1=∠2,也不能得到a∥b;同理,当a∥b时,不能得到∠1=∠2;当a∥b时,只能得到∠1+∠2=180°;而∠1和∠2能根据对顶角相等转换成同旁内角的关系,当∠1+∠2=180°时,一定有a∥b,所以选项D正确.3.(2012·怀化中考)如图,已知AB∥CD,AE平分∠CAB,且交CD于点D,∠C=110°,则∠EAB为()(A)30°(B)35°(C)40°(D)45°【解析】选B.因为AB∥CD,所以∠CAB+∠C=180°,又因为∠C=110°,所以∠CAB=70°,因为AE平分∠CAB,所以∠EAB=∠CAB=35°.124.如图,已知BD平分∠ABC,点E在BC上,EF∥AB,若∠CEF=100°,则∠ABD的度数为()(A)60°(B)50°(C)40°(D)30°【解析】选B.因为AB∥EF,所以∠ABC=∠FEC=100°,又BD平分∠ABC,得∠ABC=2∠ABD=100°,所以∠ABD=50°.5.如图,点A,O,B在同一直线上,已知∠BOC=50°,则∠AOC=________°.【解析】∠AOC=180°-∠BOC=130°.答案:1306.(2012·长沙中考)如图,AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=度.【解析】因为AB∥CD,所以∠BAC+∠ACD=180°,因为EF∥CD,所以∠DCE+∠CEF=180°,所以∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.答案:3607.(2012·徐州中考)将一副直角三角板如图放置.若AE∥BC,则∠AFD=°.【解析】由三角板的性质可知∠EAD=45°,∠C=30°,∠BAC=∠ADE=90°.因为AE∥BC,所以∠EAC=∠C=30°.所以∠DAF=∠EAD-∠EAC=45°-30°=15°.所以∠AFD=180°-∠ADE-∠DAF=180°-90°-15°=75°.答案:758.(2012·鞍山中考)如图,直线a∥b,EF⊥CD于点F,∠2=65°,则∠1的度数是.【解析】因为a∥b,所以∠FDE=∠2,在直角三角形DEF中,∠1=90°-∠FDE=90°-65°=25°.答案:25°9.如图,已知∠1=∠B,∠2=∠C,则∠B=∠D吗?请说明理由.【解析】∠B=∠D.因为∠1=∠B,所以AD∥BC,所以∠2+∠B=180°.因为∠2=∠C,所以∠C+∠B=180°,所以AB∥CD,所以∠2+∠D=180°,所以∠B=∠D.