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第九章单元复习课一、相关概念1.变量:在一个变化过程中,变化的量称为变量.2.自变量、因变量:一辆在高速路上匀速行驶的汽车,速度为v,路程为s,时间为t,则有s=vt,其中t是自变量,s是因变量.3.常量:在变化过程中数值始终不变的量叫做常量.二、变量关系的表示1.数量关系的表示:(1)图象法表示数量之间的关系.①每一个确定的自变量的值,都对应着一个确定的因变量的值,从中感受自变量与因变量的对应关系;②由图象观察得到的答案可能会有细微差异,这是正常的,并不重要,重要的是会找这种“对应关系”.(2)表格法表示数量之间的关系.一是在观察分析图象的时候,横向的轴和纵向的轴分别表示两个量,这两个量的对应变化规律是通过图象的变化趋势反映出来的.二是用表格表示的两个数量之间的关系,表格法不可能列出所有的数量关系,这是表格法的一个缺点.2.变量之间关系的表示方法:表达式法、表格法、图象法.三种方法分别从数和形的角度反映了两个变量之间关系的本质,各有优缺点,在实际应用中要根据不同的需要,选取合适的表示方法.三、自变量取值范围的确定在一个表达式中,自变量的取值必须使表达式有意义,这就是自变量的取值范围.1.表达式是整式时,自变量的取值范围是全体实数.2.表达式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为0的实数.3.表达式是二次根式时,自变量的取值范围是使被开方数为非负数的实数.4.表达式是由整式、分式、二次根式组成的式子,自变量的取值范围是使各式都成立的公共解.5.对于实际问题,自变量的取值范围既要使表达式有意义,还要使实际问题有意义.四、应用图象获取有效信息变量间的图象从形的角度直观地反映了两个变量之间的本质特征,解答此类试题时,首先要阅读题目中的文字信息,弄清横、纵轴所代表的实际意义,然后观察、分析图象的起止点、变化趋势、倾斜程度,特别要注意几个图象的交点、图象与坐标轴平行时所代表的含义等,从而作出合理的判断.注:(1)求自变量的取值范围时,考虑不全,顾此失彼,特别是求实际问题中自变量的取值范围时易出错.(2)求因变量的值时,忽视了自变量的取值范围,代入的表达式错误,如分段图象的函数值的求解.问题情境数形结合变量获取信息、归纳预测概念识别变量间的关系自变量因变量表示用途表格表达式图象综合应用计算、求值、分析、判断从表格或图象中获得相关的信息【相关链接】变量与变量之间的关系,初步反映了运动变化思想在数学中的应用,利用变量之间的关系解释现实问题主要有以下两个方面:(1)直接从图象中找出所需的信息.(2)根据图象的数据,进行计算获得所需的结论.【例1】(2012·绥化中考)甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛,两队在比赛时的路程s(米)与时间t(分钟)之间的关系图象如图所示,请你根据图象判断,下列说法正确的是()(A)甲队率先到达终点(B)甲队比乙队多走了200米路程(C)乙队比甲队少用0.2分钟(D)比赛中两队从出发到2.2分钟时间段,乙队的速度比甲队的速度快【思路点拨】观察→获取信息→分析→结论【自主解答】选C.由图象可知,甲走完全程需要4分钟,乙走完全程需要3.8分钟,乙队率先到达终点,A错误;因为甲、乙两队都走了1000米,路程相同,B错误;因为4-3.8=0.2,所以,乙队比甲队少用0.2分钟,C正确;根据0～2.2分钟的时间段图象可知,甲队的速度比乙队的速度快,D错误,故选C.用图象表示变量之间的关系【相关链接】本章中的图象信息题主要考查对图象所反映信息的理解程度,对这种问题尽可能进行多角度、多层次思考,牢牢掌握数形结合思想,通过解读图象,分析变量之间的关系,从而总结规律.【例2】(2012·长沙中考)小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,但行至中途时,自行车出了故障,只好停下来修车,车修好后,因怕耽误上课,他比修车前加快了速度继续匀速行驶,下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的图象,那么符合小明行驶情况的大致图象是()【思路点拨】阅读文字会发现小明上学的行程为3段,其中有一段时间在修车,所以该时间段路程不变,即可获得答案.【自主解答】选C.小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,说明路程s逐步变大;但行至中途时,自行车出了故障,只好停下来修车,在修车的时间段内,行驶路程s是不变的;车修好后,因怕耽误上课,他比修车前加快了速度继续匀速行驶,行驶路程又开始变大,共计分为3段.用简单的表达式表示两个变量的关系【相关链接】表达式确定了变量之间的相等关系,图象是整个问题情境中变化过程的再现,而图象上的点则是有关自变量、因变量之间的一些值的对应.【例3】(2011·潼南中考)目前,全球淡水资源日益减少,提倡全社会节约用水,据测试:拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水,每滴水约0.05毫升.小康同学洗手后,没有把水龙头拧紧,水龙头以测试的速度滴水,当小康离开x分钟后,水龙头滴出y毫升的水,请写出y与x之间的表达式是()(A)y=0.05x(B)y=5x(C)y=100x(D)y=0.05x+100【思路点拨】【自主解答】选B.由题意得,y=100×0.05x=5x.【命题揭秘】结合近几年中考试题的分析,对变量之间的关系的考查主要是用图象刻画变量,用三种方法揭示变量的关系,题型主要以选择题、填空题为主.1.(2012·济宁中考)周一的升旗仪式上,同学们看到匀速上升的旗子,能反应其高度与时间关系的图象大致是()【解析】选D.升旗时旗子匀速上升,上升到一定高度停止,所以选D.2.(2012·鸡西中考)一天晚饭后,小明陪妈妈从家里出去散步,如图描述了他们散步过程中离家的距离s(米)与散步时间t(分)之间的关系,下面的描述符合他们散步情景的是()(A)从家出发,到了一家书店,看了一会儿书就回家了(B)从家出发,到了一家书店,看了一会儿书,继续向前走了一段,然后回家了(C)从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了(D)从家出发,散了一会儿步,到了一家书店,看了一会儿书,继续向前走了一段,18分钟后开始返回【解析】选D.从家出发,到了一家书店,看了一会儿书就回家了,图象为梯形,A错误;B的描述中回家的描述不准确,所以B错误;从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了,图形为上升和下降的两条折线,C错误;D中从家出发,散了一会儿步,到了一家书店,看了一会儿书,继续向前走了一段,18分钟后开始返回,符合图象的特点,所以D正确.3.某天,小明走路去学校,开始他以较慢的速度匀速前进,然后他越走越快走了一段时间,最后他以较快的速度匀速前进到达学校,如图是小明走路的速度v(米/分钟)与时间t(分钟)的关系,能正确反映这一关系的大致图象是()【解析】选A.纵轴表示速度,分三个阶段,开始较慢匀速,然后加速,最后较快匀速,故选A.4.某地某天从6时到14时,气温在不断上升,在这一变化过程中,因变量是.【解析】因为气温随着时间的变化而变化,所以气温是因变量.答案:气温5.小华积攒了200元零花钱,在妈妈生日时,给妈妈买生日礼物花去了x元,设小华剩余的钱数为y元,那么y与x的关系可表示为y=.【解析】由题意知y=200-x.答案:200-x6.张老师带领x名学生到古城游玩,已知成人票每张100元,学生票每张50元,设门票的总费用为y元,则y=.【解析】老师的100元和学生的50x元总共是(100+50x)元,所以y=100+50x.答案:100+50x7.某生活小区一天24小时用电量变化情况如图所示:(1)6时和12时的电量是多少?(2)一天中用电高峰是什么时间?(3)用电量不断上升的时间范围是什么?(4)用电量是180千瓦时的时候大概是几时?【解析】(1)6时的电量为125,12时的电量为150.(2)一天中用电高峰是21时.(3)用电量不断上升的时间范围是0～21时,(4)用电量是180千瓦时的时候大概是15时.8.有一边长为2cm的正方形,若边长增加,则其面积随之改变.(1)在这个变化过程中,自变量和因变量各是什么?(2)如果边长增加了xcm,则其面积y(cm2)关于x的表达式是什么?(3)当x由4cm变化到10cm,其面积y是怎么变化的?【解析】(1)自变量是正方形的边长,因变量是正方形的面积.(2)y=(2+x)2.(3)因为当x=4cm时,y=36cm2,当x=10cm时,y=144cm2.所以当x由4cm变化到10cm时,其面积y由36cm2增加到144cm2.9.如图是某水库蓄水量V(万立方米)与干旱持续时间t(天)之间的关系图,请根据此图回答下列问题:(1)该水库蓄水量为多少万立方米?持续干旱10天后水库蓄水量为多少万立方米?(2)若蓄水量小于400万立方米时,将发出严重干旱警报.请问持续干旱多少天后将发出严重干旱警报?按此规律持续干旱多少天时水库将干涸?【解析】(1)由图象知该水库蓄水量为1000万立方米,持续干旱10天后水库蓄水量为800万立方米.(2)因为30天时水库的蓄水量为400万立方米,所以持续干旱30天后将发出严重干旱警报.由图象可知水库的蓄水量每天减少20万立方米,1000÷20=50,所以按此规律持续干旱50天时水库将干涸.