新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练68

题组层级快练(六十八)1．若过抛物线y＝2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝()A．－2B．－12C．－4D．－116答案D解析由y＝2x2，得x2＝12y.其焦点坐标为F(0，18)，取直线y＝18，则其与y＝2x2交于A(－14，18)，B(14，18)，∴x1x2＝(－14)·(14)＝－116.2．设离心率为e的双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()A．k2－e21B．k2－e21C．e2－k21D．e2－k21答案C解析l与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是－bakba，即k2c2－a2a2＝e2－1，即e2－k21，故选C.3．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为()A．32B．23C.303D.326答案C解析设y－1＝k(x－1)，∴y＝kx＋1－k.代入椭圆方程，得x2＋2(kx＋1－k)2＝4.∴(2k2＋1)x2＋4k(1－k)x＋2(1－k)2－4＝0.由x1＋x2＝4kk－12k2＋1＝2，得k＝－12，x1x2＝13.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4－43＝83.∴|AB|＝1＋14·263＝303.4．已知抛物线y＝2x2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－12，那么m的值等于()A.32B.52C．2D．3答案A解析因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2x2上，所以y1＝2x21，y2＝2x22，两式相减，得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)，不妨设x1x2.因为直线AB与直线y＝x＋m互相垂直，所以y1－y2x1－x2＝－1，所以x1＋x2＝－12.而x1x2＝－12，解得x1＝－1，x2＝12，设线段AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝－14，y0＝y1＋y22＝2x21＋2x222＝54.因为中点M在直线y＝x＋m上，所以54＝－14＋m，解得m＝32.5．已知双曲线x2－y24＝1，过点A(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A．4B．3C．2D．1答案A解析①斜率不存在时，方程为x＝1符合．②设斜率为k，y－1＝k(x－1)，kx－y－k＋1＝0.4x2－y2＝4，y＝kx－k＋1，(4－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－5＝0.当4－k2＝0，k＝±2时符合；当4－k2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条．6．(2015·东北三校)设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(－1,0)的直线在第一象限交抛物线于A，B，且满足AF→·BF→＝0，则直线AB的斜率k＝()A.2B.22C.3D.33答案B解析依题意，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入抛物线方程y2＝4x并整理，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以Δ＝(2k2－4)2－4k40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4－2k2k2，x1x2＝1.又因为AF→·BF→＝0，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，(x1－1)(x2－1)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝0，(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝0.把x1＋x2＝4－2k2k2，x1x2＝1，代入并整理，得k2＝12.又k0，所以k＝22，故选B.7．已知抛物线y2＝8x，过动点M(a,0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤8，则实数a的取值范围是________．答案－2a≤－1解析将l的方程y＝x－a代入y2＝8x，得x2－2(a＋4)x＋a2＝0.则|AB|＝2[x1＋x22－4x1x2]＝324＋2a≤8，又∵|AB|0，∴－2a≤－1.8．(2015·上海静安一模)已知椭圆C：x22＋y24＝1，过椭圆C上一点P(1，2)作倾斜角互补的两条直线PA，PB，分别交椭圆C于A，B两点．则直线AB的斜率为________．答案2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，同时设PA的方程为y－2＝k(x－1)，代入椭圆方程化简得(k2＋2)x2－2k(k－2)x＋k2－22k－2＝0，显然1和x1是这个方程的两解．因此x1＝k2－22k－2k2＋2，y1＝－2k2－4k＋22k2＋2.由－k代替x1，y1中的k，得x2＝k2＋22k－2k2＋2，y2＝－2k2＋4k＋22k2＋2，所以y2－y1x2－x1＝2.9．(2015·福建福州质检)已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝bax对称，则该双曲线的离心率为________．答案5解析由题意可知双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝bxa对称，则PF1⊥PF2.又|PF2||PF1|＝ba，联立|PF2|－|PF1|＝2a，|PF2|2＋|PF1|2＝(2c)2，可得b3＋a2b＝2c2a.所以b＝2a，e＝5.10．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．(1)若AF→＝2FB→，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．答案(1)±22(2)4解析(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x，得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.①因为AF→＝2FB→，所以y1＝－2y2.②联立①和②，消去y1，y2，得m＝±24.所以直线AB的斜率是±22.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点．从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.因为2S△AOB＝2×12·|OF|·|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2＝41＋m2，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.11.(2015·四川成都七中适应性训练)如图所示，设抛物线C1：y2＝4x的准线与x轴交于点F1，焦点F2.椭圆C2以F1和F2为焦点，离心率e＝12.设P是C1与C2的一个交点．(1)求椭圆C2的方程；(2)直线l过C2的右焦点F2，交C1于A1，A2两点，且|A1A2|等于△PF1F2的周长，求直线l的方程．答案(1)x24＋y23＝1(2)y＝2(x－1)或y＝－2(x－1)解析(1)由条件，F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C2的两焦点，故半焦距为1，再由离心率为12知长半轴长为2，从而C2的方程为x24＋y23＝1.(2)由(1)可知△PF1F2的周长|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝6.又C1：y2＝4x，而F2(1,0)．若l垂直于x轴，易得|A1A2|＝4，矛盾，故l不垂直于x轴，可设其方程为y＝k(x－1)，与C1方程联立可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，从而|A1A2|＝k2＋1|x1－x2|＝k2＋1·2k2＋42－4k4k2＝4k2＋1k2.令|A1A2|＝6可解出k2＝2，故l的方程为y＝2(x－1)或y＝－2(x－1)．12．(2014·陕西文)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：y＝－12x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足|AB||CD|＝534，求直线l的方程．答案(1)x24＋y23＝1(2)y＝－12x＋33或y＝－12x－33思路(1)构造关于a，b，c的方程组；(2)利用直线与圆的位置关系得|CD|，直线的方程与椭圆方程联立得方程组，利用根与系数的关系得|AB|，构造关于m的方程求m，进而得出直线l的方程．解析(1)由题设知b＝3，ca＝12，b2＝a2－c2，解得a＝2，b＝3，c＝1.∴椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，∴圆心到直线l的距离d＝2|m|5.由d1，得|m|52.(*)∴|CD|＝21－d2＝21－45m2＝255－4m2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝－12x＋m，x24＋y23＝1，得x2－mx＋m2－3＝0.由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.∴|AB|＝1＋－122[m2－4m2－3]＝1524－m2.由|AB||CD|＝534，得4－m25－4m2＝1，解得m＝±33，满足(*)．∴直线l的方程为y＝－12x＋33或y＝－12x－33.13．(2014·辽宁理)圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)．双曲线C1：x2a2－y2b2＝1过点P且离心率为3.(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．答案(1)x2－y22＝1(2)x－(362－1)y－3＝0或x＋(62－1)y－3＝0思路(1)先求切线方程，再利用条件列出方程组求解字母的值；(2)利用关系设出椭圆方程，再利用直线与椭圆的位置关系求解．解析(1)设切点坐标为(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，则切线斜率为－x0y0，切线方程为y－y0＝－x0y0(x－x0)，即x0x＋y0y＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S＝12·4x0·4y0＝8x0y0.由x20＋y20＝4≥2x0y0知当且仅当x0＝y0＝2时，x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(2，2)．由题意知2a2－2b2＝1，a2＋b2＝3a2，解得a2＝1，b2＝2.故C1的方程为x2－y22＝1.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此设C2的方程为x23＋b21＋y2b21＝1，其中b1＞0.由P(2，2)在C2上，得23＋b21＋2b21＝1.解得b21＝3，因此C2的方程为x26＋y23＝1.显然，l不是直线y＝0.设l的方程为x＝my＋3，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝my＋3，x26＋y23＝1，得(m2＋2)y2＋23my－3＝0.又y1，y2是方程的根，因此y1＋y2＝－23mm2＋2，①y1y2＝－3m2＋2.②由x1＝my1＋3，x2＝my2＋3，得x1＋x2＝my1＋y2＋23＝43m2＋2，③x1x2＝m2y1y2＋3my1＋y2＋3＝6－6m2m2＋2.④因为AP→＝(2－x1，2－y1)，BP→＝(2－x2，2－y2)，由题意知AP→·BP→＝0，所以x1x2－2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.⑤将①②③④代入⑤整理，得2m2－26m＋46－11＝0.解得m＝362－1或m＝－62＋1.因此直线l的方程为x－(362－1)y－3＝0或x＋(62－1)y－3＝0.