新课标版数学（理）高三总复习：题组层级快练82

题组层级快练(八十二)(第二次作业)1．已知ξ的分布列为ξ－101P121316则在下列式中：①E(ξ)＝－13；②D(ξ)＝2327；③P(ξ＝0)＝13.正确的个数是()A．0B．1C．2D．3答案C解析E(ξ)＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D(ξ)＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确．2．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或一枚6点出现时，就说这次实验成功，则在30次实验中成功次数X的均值是()A.556B.403C.503D．10答案C解析至少有一枚5点或一枚6点的概率为1－(1－13)(1－13)＝1－49＝59.∴X～B(30，59)，∴E(X)＝30×59＝503.3．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A.148B.124C.112D.16答案D解析设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为X320PabcE(X)＝3a＋2b＝2≥23a×2b，所以ab≤16.当且仅当3a＝2b时，等号成立．4．设等差数列{an}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的方差为1，则d＝________.答案±12解析a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7的均值为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a77＝a4，则a1－a42＋a2－a42＋…＋a7－a427＝4d2＝1，d＝±12，故填±12.5．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝______时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为______．答案12，25解析D(ξ)＝100p(1－p)≤100·(p＋1－p2)2＝25，当且仅当p＝1－p.即p＝12时，D(ξ)最大为25.6．某校举行一次以“我为教育发展做什么”为主题的演讲比赛，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为23，13，14，且各阶段通过与否相互独立．(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；(2)设该选手比赛的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．答案(1)49(2)179解析(1)记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则P(A)＝23，P(B)＝13，P(C)＝14.所以所求的概率P＝P(AB)＝P(A)P(B)＝23×(1－13)＝49.(2)依题意知ξ的可能取值为1,2,3.P(ξ＝1)＝P(A)＝1－23＝13，P(ξ＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝23×(1－13)＝49，P(ξ＝3)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝23×13＝29.ξ的分布列为ξ123P134929ξ的数学期望E(ξ)＝1×13＋2×49＋3×29＝179.7．(2015·郑州质检)工人在包装某产品时不小心将2件不合格的产品一起放进了一个箱子里，此时该箱子中共有外观完全相同的6件产品．只有将产品逐一打开检验才能确定哪2件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废．记ξ表示将2件不合格产品全部检测出来后4件合格产品中报废品的数量．(1)求报废的合格品少于2件的概率；(2)求ξ的分布列和数学期望．答案(1)15(2)83解析(1)报废的合格品少于2件，即ξ＝0或ξ＝1，而P(ξ＝0)＝A226×5＝115，P(ξ＝1)＝A22A12A146×5×4＝215，故P(ξ2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝115＋215＝15.(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3,4，P(ξ＝2)＝A13×A12×A24A46＝15，P(ξ＝3)＝A14×A12×A34A56＝415，P(ξ＝4)＝A15×A12×A44A66＝13，由(1)知P(ξ＝0)＝115，P(ξ＝1)＝215.故ξ的分布列为ξ01234P1152151541513E(ξ)＝0×115＋1×215＋2×15＋3×415＋4×13＝83.8．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300≤X700700≤X900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．答案(1)均值为3，方差为9.8(2)67解析(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X300)＝0.3，P(300≤X700)＝P(X700)－P(X300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X900)＝P(X900)－P(X700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X300)＝0.7.又P(300≤X900)＝P(X900)－P(X300)＝0.9－0.3＝0.6，由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X900|X≥300)＝P300≤X900PX≥300＝0.60.7＝67.故在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.9．为提高学生学习语文的兴趣，某地区举办了中学生“汉语听写比赛”．比赛成绩只有90分，70分，60分，40分，30分五种，将本次比赛的成绩分为A，B，C，D，E五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：成绩等级ABCDE成绩(分)9070604030人数(名)461073(1)根据上面的统计数据，试估计从该地区参加“汉语听写比赛”的学生中任意抽取1人，其成绩等级为“A或B”的概率；(2)根据(1)的结论，若从该地区参加“汉语听写比赛”的学生(参赛人数很多)中任选3人，记X表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数，求X的分布列及数学期望E(X)．答案(1)13(2)1解析(1)根据统计数据可知，从这30名学生中任选1人，其成绩等级为“A或B”的频率为430＋630＝1030＝13.故从该地区参加“汉语听写比赛”的学生中任意抽取1人，其成绩等级为“A或B”的概率约为13.(2)由已知得，随机变量X的可能取值为0,1,2,3，所以P(X＝0)＝C03(13)0×(23)3＝827，P(X＝1)＝C13(13)1×(23)2＝1227＝49，P(X＝2)＝C23(13)2×(23)1＝627＝29，P(X＝3)＝C33(13)3×(23)0＝127.故随机变量X的分布列为X0123P8274929127所以E(X)＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1.讲评新课标高考的数学试题对概率与统计内容的考查已经悄然发生了变化，其侧重点由以往的概率及概率分布列的问题，变为统计与概率及分布列知识的综合，包括统计案例分析．10．(2015·衡水调研卷)某选修课的考试按A级，B级依次进行，只有当A级成绩合格时，才可继续参加B级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A级考试成绩合格的概率为23，B级考试合格的概率为12.假设各级考试成绩合格与否均互不影响．(1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；(2)在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E(ξ)．答案(1)13(2)83解析设“A级第一次考试合格”为事件A1，“A级补考合格”为事件A2；“B级第一次考试合格”为事件B1，“B级补考合格”为事件B2.(1)不需要补考就获得合格证书的事件为A1B1，注意到A1与B1相互独立，则P(A1B1)＝P(A1)×P(B1)＝23×12＝13.故该考生不需要补考就获得该选修课的合格证书的概率为13.(2)由已知，得ξ＝2,3,4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得：P(ξ＝2)＝P(A1B1)＋P(A1A2)＝23×12＋13×13＝13＋19＝49.P(ξ＝3)＝P(A1B1B2)＋P(A1B1B2)＋P(A1A2B1)＝23×12×12＋23×12×12＋13×23×12＝16＋16＋19＝49，P(ξ＝4)＝P(A1A2B1B2)＋P(A1A2B1B2)＝13×23×12×12＋13×23×12×12＝118＋118＝19，故E(ξ)＝2×49＋3×49＋4×19＝83.即该考生参加考试的次数的期望为83.11．(2014·陕西理)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．答案(1)略(2)0.896思路(1)根据X的可能取值分解为相互独立事件和互斥事件；(2)至少有2季的事件包括恰有2季、恰有3季两类事件，应分类求解．解析(1)设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，因为利润＝产量×市场价格－成本，所以X所有可能的取值为500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000.300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800.P(X＝4000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2.所以X的分布列为X40002000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i＝1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1,2,3)，3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；3季中有2季利润不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.1．(2015·江南十校联考)甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关．甲能攻克的概率为23，乙能攻克的概率为34，丙能攻克的概率为45.(1)求这一技术难题被攻克的概率；(2)现假定这一技术难题已被攻克，上级决定奖励a万元．奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得a2万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得a3万元．设甲得到的奖金数为X，求X的分布列和数学期望．答案(1)5960(2)1759a解析(1)这一技术难题被攻克的概率P＝1－(1－23)(1－34)(1－45)＝1－13×14×15＝5960.(2)X的可能取值分别为0，a3，a2，a.P(X＝0)＝13×1－14×155960＝1959，P(X＝a3)＝23×34×455960＝2459，P(X＝a2)＝23×34×15＋14×455960＝1459，P(X＝